1、2021-2022學年廣東省廣州市等五校高一下學期期末聯考數學試題一、單選題1已知是虛數單位，復數，則z是（）ABCDA【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡即可；【詳解】解：故選：A2已知直線平面，直線平面，則（）A若與垂直，則與一定垂直B若與所成的角為30，則與所成的角也為30C是的充分不必要條件D若與相交，則為一定是異面直線C【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；利用線面平行的判定定理和性質可判斷C選項；根據已知條件直接判斷與的位置關系，可判斷D選項.【詳解】對于A，當與垂直時，由線面垂直判定定理可得與不一定垂直，A錯誤；對于B選項，由線面角的定義可知，

2、與所成的角是直線與平面內所有直線所成角中最小的角，若與所成的角為，則與所成的角滿足，B錯；對于C選項，若，則，即，若，因為，則與平行或異面，即.所以，是的充分不必要條件，C對；對于D選項， 若與相交，則與相交或異面，D錯.故選：C.3集合A=，從A，B中各取一個數，則這兩數之和等于5的概率是（）ABCDB【分析】依據古典概型公式解之即可.【詳解】從A，B中各取一個數，則這兩數之和可能為，共有6個可能的結果，其中兩數之和等于5的有2個，則從A，B中各取一個數，這兩數之和等于5的概率是故選：B4五月初，受疫情影響線下課暫停，某校組織學生居家通過三種方式自主學習，每種學習方式人數分布如圖1所示，解封

3、后為了解學生對這三種學習方式的滿意程度，利用分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意率調查，得到的數據如圖2所示 則下列說法中不正確的是（）A樣本容量為240B若，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C總體中對方式二滿意的學生約為300人D樣本中對方式一滿意的學生為24人B【分析】對A，根據總人數抽取4%的同學進行計算判斷即可；對B，根據統計圖計算樣本總體滿意度進行判斷即可；對C，根據方式二中總人數和樣本滿意度計算判斷即可；對D，根據滿意率計算即可【詳解】對A，由餅圖可得總人數為，故樣本容量為，故A正確；對B，當時，滿意的人數為，故滿意度為，故B錯誤；對C，總體中對方式二滿意的學生約為人，故C正確

4、；對D，樣本中對方式一滿意的學生為人，故D正確；故選：B5ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，設向量，若，則角C的大小為（）ABCDB【分析】因為，所以，再根據余弦定理化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.6已知三棱錐，其中平面，則該三棱錐外接球的表面積為（）ABCDC【分析】根據余弦定理、正弦定理，結合球的性質、球的表面積公式進行求解即可.【詳解】根據題意設底面的外心為，O為球心，所以平面，因為平面，所以，設是中點，因為，所以，因為平面，平面，所以，因此，因此四邊形是平行四邊形，故，由余弦定理，得，由正弦定理，得，所以該外接球的半徑滿足，故選：C關鍵點睛

5、：運用正弦定理、余弦定理是解題的關鍵.7在平行四邊形中，分別是的中點，交于點，則（）ABCDB【分析】過點作的平行線交于，得到，再根據，得到，再利用向量的線性運算求解.【詳解】解：如圖，過點作的平行線交于，則是的中點，且，又，所以，即，所以，又，故選：B8在銳角中，角，的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（）ABCDC【分析】根據余弦定理和的面積公式，結合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍【詳解】解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，聯立得，解得或（舍去），所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，設，其中，所以，由對勾函數單調性知在

6、上單調遞減，在上單調遞增，當時，；當時，；當時，；所以，即的取值范圍是故選：C.關鍵點點睛：由，所以本題的解題關鍵點是根據已知及求出的取值范圍.二、多選題9下列命題正確的是（）A若向量滿足，則為平行向量B已知平面內的一組基底，則向量也能作為一組基底C模等于個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等D若是等邊三角形，則ABD【分析】由平行向量定義可知A正確；由基底的要求可知B正確；由相等向量定義知C錯誤；由向量夾角的定義知D正確.【詳解】對于A，方向相反，是平行向量，A正確；對于B，為一組基底，不共線，也不共線，也可以作為一組基底，B正確；對于C，雖然單位向量模長相等，但方向可以不同，故不是

7、所有單位向量均相等，C錯誤；對于D，為等邊三角形，D正確.故ABD.10一個質地均勻的正四面體個表面上分別標有數字，拋擲該正四面體兩次，記事件為“第一次向下的數字為或”，事件為“兩次向下的數字之和為偶數”，則下列說法正確的是（）A事件發生的概率為B事件與事件互斥C事件發生的概率為D事件與事件相互獨立AD【分析】結合古典概型、互斥事件、對立事件、相互獨立事件的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】拋擲該正四面體兩次，基本事件有種，依題意：事件為“第一次向下的數字為或”，事件為“兩次向下的數字之和為偶數”，所以, A選項正確.若兩次投擲向下的數字都為，則事件同時發生，所以與不互斥，B選項錯

8、誤.事件表示：“第一次向下的數字為或，且兩次向下的數字之和為奇數”，包含的事件為：，共種，所以事件發生的概率為.事件表示：“第一次向下的數字為或，且兩次向下的數字之和為偶數”，包含的事件為：，共種，所以事件發生的概率為.事件包含的事件為，共種，所以，所以，即事件與事件相互獨立，所以D選項正確.故選：AD11小明用某款手機性能測試APP對10部不同品牌的手機的某項性能進行測試，所得的分數按從小到大的順序（相等數據相鄰排列）排列為：81，84，84，87，y，93，96，96，99，已知總體的中位數為90，則（）AB該組數據的均值一定為90C該組數據的眾數一定為84和96D若要使該總體的標準差最小

9、，則ABD【分析】依題意可得，即可求出平均數，即可判斷A、B，再利用特殊值判斷C，利用基本不等式判斷D；【詳解】解：因為總體的中位數為90，所以，所以該組數據的均值為，故A正確，B正確，當時，眾數為84，90，96，當，時，眾數為84，87，93，96，故C錯誤；要使該總體的標準差最小，即方差最小，即最小，又，當且僅當時，即時等號成立，故D正確故選：ABD12如圖，正方形ABCD-A1B1C1D1邊長為1，P是 上的一個動點，下列結論中正確的是（）ABP的最小值為B 的最小值為C當P在直線上運動時，三棱錐 的體積不變D以點B為球心，為半徑的球面與面 的交線長為ACD【分析】當時，BP最小,結合

10、正三角形性質，求得B到直線的距離，判斷A;建立空間直角坐標系，利用空間向量，設求得點，結合兩點間的距離公式，求得PA+PC的最小值，判斷B;根據當P在直線A1D上運動時，三棱錐的底面積以及高的變化情況，可確定體積不變沒判斷C;根據題意確定以點B為球心，為半徑的球面與面 的交線即為的內切圓，即可求得交線長，判斷D.【詳解】對于A，當時，BP最小，由于到直線的距離對對于B,解法一：以為坐標原點建系，以 分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,設,表示平面上之間的距離，表示平面上之間的距離，錯解法二：將平面翻折到平面上，如圖，連接AC，與的交點即為點P，此時取最小值AC，在三角形ADC中，,，B錯

11、誤；對于C,平面，平面到平面的距離為定值,為定值，則為定值，對對于D，由于平面，設與平面交于點，設以為球心，為半徑的球與面交線上任一點為，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長為 ，其內切圓半徑為 ，故此圓恰好為的內切圓，完全落在面內，交線長為正確故選：ACD本題考查了空間幾何中的距離以及距離和的最值問題，以及三棱錐體積和幾何體中的軌跡問題，綜合性強，要求充分發揮空間想象能力，解答時要能借助于幾何體的直觀圖，明確空間的點線面的位置關系，靈活應用空間向量以及相關相關知識解決問題.三、填空題13若復數z滿足，則的最小值為_1【分析】設，由條件可得，根據復數幾何意義可求得最小值.【詳解】設，

12、由可得，軌跡是以原點為圓心以2為半徑的圓，根據復數幾何意義知，表示復平面內到的距離，則最小值為，故114甲、乙獨立地解決同一數學問題，甲解決這個問題的概率是0.8，乙解決這個問題的概率是0.6，那么其中至少有1人解決這個問題的概率是_0.92【分析】先求兩個都沒有解決的概率，然后由對立事件的概率可得.【詳解】解：由題意可得，甲、乙二人都不能解決這個問題的概率是那么其中至少有1人解決這個問題的概率是1-0.08=0.92.故0.9215如圖，三棱臺的上、下底邊長之比為，記三棱錐體積為，三棱臺的體積為，則_【分析】利用相似關系確定上下底面面積的比值，將棱錐轉換頂點，結合體積公式求得兩個幾何體的體積

13、，即可求解.【詳解】由三棱臺的上、下底邊長之比為，可得上、下底面的面積比為，設棱臺的高為，則點到的距離也為，上底面面積為，則下底面面積為，則.故答案為.16在通用技術課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質正四棱錐模型，并要求同學們將該四棱錐切割成三個小四棱錐.某小組經討論后給出如下方案：第一步，過點作一個平面分別交，于點，得到四棱錐；第二步，將剩下的幾何體沿平面切開，得到另外兩個小四棱錐.在實施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形，若，則的值為_.【分析】解法一：以AC、BD交點O為原點，射線OA、OB、OP為x、y、z軸正方向構建空間直角坐標系，設，進而寫出、坐標，可

14、得，由四點共面有，設，求值即可.解法二：利用平面的性質作出點G的位置，再由平面幾何的知識即可得解.【詳解】解法一：建立如圖所示空間直角坐標系，設， (a、b均不為0)，則，由題意四點共面，有，其中，設，由方程組，即，解得.故答案為.解法二：連接AC,BD交于點O，則O是底面的中心，連接PO，PO垂直于底面ABCD，連接AF，交PO于H，可得H為PO的三等分點（靠近O）,連接EH并延長，與PD的交點即為G，在平面內作出三角形PBD，作,垂足分別為S，T，如圖，由題意，,所以，設，則，又由三角形相似得，,所以，解得.解得：故答案為.關鍵點點睛：構建空間直角坐標系，利用四點共面有且，再設，應用空間向

15、量線性關系的坐標表示，列方程組求參數.四、解答題17把一個棋子放在的頂點，棋子每次跳動只能沿的一條邊從一個頂點跳到另一個頂點，并規定：拋一枚硬幣，若出現正面朝上，則棋子按逆時針方向從棋子所在的頂點跳到的另一個頂點；若出現反面朝上，則棋子按順時針方向從棋子所在的頂點跳到的另一個頂點.現在拋次硬幣，棋子按上面的規則跳動次.(1)列出棋子從起始位置開始次跳動的所有路徑（用頂點的字母表示）；(2)求次跳動后，棋子停在點的概率.(1)答案見解析(2)【分析】（1）列舉出所有路徑即可；（2）確定所求事件所包含的基本事件個數，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】(1)解：根據題意可知，棋子從

16、起始位置開始次跳動的所有路徑有：、(2)解：記事件次跳動后，棋子停在點，則事件包含個基本事件，故.18在直三棱柱中， ,點是的中點. （1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值（1）見解析；（2）.【分析】（1）設與的交點為，連接，由三角形中位線定理可證得，從而可得平面（2）由可得為與所成的角（或其補角），在中，可得，解三角形得，即為所求【詳解】（1）證明：設與的交點為，連接，四邊形為正方形， 是的中點，又是的中點，又平面，平面，平面(2)解：，為與所成的角（或其補角），在中，異面直線與所成角的余弦值為求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法 一般有三種類型：利用圖中已有的平

17、行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行，解題時注意異面直線所成角的范圍，根據三角形的內角來確定異面直線所成角的大小19在直角梯形ABCD中，已知，點F是BC邊上的中點，點E是CD邊上一個動點.(1)若，求的值；(2)求的取值范圍.(1)2；(2).【分析】（1）由、，應用向量數量積的運算律及向量位置關系求即可.（2）令且，同（1）應用向量數量積的運算律得到關于的表示式，即可求值.【詳解】(1)由圖知：，所以，所以，又，所以.(2)由（1）知：，令且，則，所以.則.20某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年

18、齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數；（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為37和，第五

19、組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為43和1，據此估計這人中3545歲所有人的年齡的方差.（1）32.25歲；37.5；（2）（i）；（ii）10.【分析】(1) 根據頻率分布直方圖，利用組中值乘以相應的頻率，即可的這人的平均年齡；設第80百分位數為，計算從左到右頻率和為或計算從右到左頻率和為，即可求出；(2)（i）由題意可得，第四組應抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，根據古典概型計算方法求解即可；（ii）根據方差的計算原理計算合并后方差即可.【詳解】解：（1）設這人的平均年齡為，則（歲）.設第80百分位數為，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由題意得，第四組應抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對應的樣本空間為：，共15個樣本點.設事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，共有9個樣本點.所以，.（ii）設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數分別為，方差分別為，則，設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為，方差為.則，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據此，可估計這人中年齡在3545歲的所有人的年齡方差約為10.21如圖，在三棱柱-中， ， ，在底面 的射影為的中點， 為的中點.（1）證明：D 平面；（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.（1）詳見解析；（2）.【詳解】（1）根據條件首先證得平面 ，再證明，即可得證