1、第23講 數列的新定義問題 一、單選題1（2021全國高二課時練習）南宋數學家楊輝在詳解九章算法和算法通變本末中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有一個高階等差數列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數列的第8項為（ ）A99B131C139D141【答案】D【分析】根據題中所給高階等差數列定義，找出其一般規律即可求解.【詳解】設該高階等差數列的第8項為，根據所給定義，用數列的后一項減去前一項得到一個數列，得到的數列也用后一項減

2、去前一項得到一個數列，即得到了一個等差數列，如圖：由圖可得，則.故選：D2（2021北京東直門中學高二月考）在一個數列中，若每一項與它的后一項的乘積都同為一個常數（有限數列最后一項除外），則稱該數列為等積數列.是等積數列，且，公積為，則的值是（ ）ABCD【答案】D【分析】根據等積數列定義可推導得到數列的奇數項為，偶數項為，由此可求得結果.【詳解】由等積數列定義可知：，又，由此推導可得：數列的奇數項為，偶數項為；設等差數列的首項為，由得：，共有項，.故選：D.3（2021江蘇蘇州高三月考）若數列中不超過的項數恰為，則稱數列是數列的生成數列，稱相應的函數是數列生成的控制函數.已知，且，數列的前項

3、和，若，則的值為（ ）A9B11C12D14【答案】B【分析】根據生成數列的定義，先求出，然后分為偶數和奇數討論即可求解.【詳解】解：由題意可知，當為偶數時，可得，則；當為奇數時，可得，則，所以，則當為偶數時，則，因為，所以無解；當為奇數時，所以，因為，所以，故選：B.4（2021寧夏六盤山高級中學高二月考（理）對于正項數列，定義為數列的“勻稱值”.已知數列的“勻稱值”為，則該數列中的等于（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知得，由此推導出，從而能求出.【詳解】解：，數列的“勻稱值”為，時，得，當時，滿足上式，故選：D5（2021湖北黃石高三開學考試）普林斯頓大學的康威教授發現了一類有趣的數列

4、并命名為“外觀數列”，該數列的后一項由前一項的外觀產生以1為首項的“外觀數列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，即第一項為1，外觀上看是1個1，因此第二項為11；第二項外觀上看是2個1，因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2，1個1，因此第四項為1211，按照相同的規則可得其它項，例如為3，13，1113，3113，132113，若的第n項記作，的第n項記作，其中i，若，則的前n項和為（ ）ABCD【答案】C【分析】列出、的前四項，觀察規律，即得.【詳解】由題得， 由遞推可知，隨著的增大，和每一項除了最后一位不同外，其余各位數都相同，所以，的前n項和為.故選：C.6（202

5、1貴州威寧高一期末）對于數列，定義為數列的“美值”，現在已知某數列的“美值”，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】由，可得進而求得，所以可得是等差數列，由可得，即可求解【詳解】由可得，當時，當時，又因為，兩式相減可得：，所以，顯然滿足時，所以，所以，可得數列是等差數列，由對任意的恒成立，可得：，即可求解，即且，解得：，所以實數的取值范圍是，故選：C7（2021全國高三專題練習（文）對任一實數列，定義，若，則（ ）A1000B2000C2003D4006【答案】D【分析】根據定義，可求出的通項，從而可得，利用累加法可得，再由求出及，即可求出.【詳

6、解】由題意知，所以是公差為的等差數列， 所以，所以，當時，,將以上各式兩邊對應相加，得，所以，由，得，解得，所以.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于讀懂題目，準確把握“”的定義.8（2021江蘇高二單元測試）對于數列若存在常數，對任意的，恒有，則稱數列為有界數列.記是數列的前項和，下列說法錯誤的是（ ）A首項為1，公比為的等比數列是有界數列B若數列是有界數列，則數列是有界數列C若數列是有界數列，則數列是有界數列D若數列、都是有界數列，則數列也是有界數列【答案】B【分析】根據有界數列的定義，利用不等式放縮，可判斷A、C正確；設，可判斷B錯誤；根據數列和數列的有界性，用和來控制，即可選項D

7、.【詳解】解：對A:設滿足題設的等比數列為，則，當時，所以，即，所以首項為1，公比為的等比數列是有界數列，故A正確；對B: 事實上，設，則，易知數列是有界數列，而此時，所以，由的任意性，知數列不是有界數列，故B錯誤；對C：因為數列是有界數列，所以存正數，對任意有，即，于是，所以數列是有界數列，故C正確；對D：若數列、都是有界數列，則存在正數，使得對任意，有；，又因為同理，可得，所以，所以，數列也是有界數列，故D正確.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于讀懂題目，準確把握“有界數列”的定義.9（2021湖南長郡中學高二期中）對任一實數序列，定義序列，它的第項為.假定序列的所有項都為1，且，

8、則（ ）A1000B2000C2003D4006【答案】D【分析】是公差為的等差數列，可先設出的首項，然后表示出的通項，再用累加法表示出序列的通項，再結合求出的首項和的首項，從而求出序列的通項公式，進而獲解.【詳解】依題意知是公差為的等差數列,設其首項為,通項為，則，于是由于,即,解得.故.故選：D【點睛】本小題主要考查新定義數列的性質,考查等差數列的前項和公式以及通項公式.題目定義的數列為二階等差數列.高階等差數列的定義是這樣的：對于對于一個給定的數列，把它的連續兩項與的差記為，得到一個新數列，把數列稱為原數列的一階差數列，如果常數，則為二階等差數列，可用累加法求得數列的通項公式.10（20

9、20江蘇省梁豐高級中學高二期中）幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推.求滿足如下條件的最小整數：且該數列的前項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是（ ）A95B105C115D125【答案】A【分析】將數列按行排列，第行和為，前和為，把第N個數轉化為，前N和則為，進而可得結果.【詳解】將數列排成行的形式11，21，2，41，2，4，8第行為： ，第

10、行和為，前行共有行個數，前和為第行第個數共有N個數，則前N和為，若和為2的整數冪，則有，且為奇數，當時，無整數解當時，此時故選：A【點睛】關鍵點點睛：將數列按行排列，把第N個數轉化為，前N和則為，進而問題變得簡單.本題考查了運算求解和轉化的數學思想，邏輯推理能力，屬于難題.11（2021山東嘉祥縣第一中學高三期中）在進行的求和運算時，德國大數學家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法已知數列滿足，則（ ）ABCD【答案】B【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【詳解】依題意，記，則，又，兩式相加可得，則.故選：B二、多選題1

11、2（2021全國高二課時練習）在數列中，若（，p為常數），則稱為“等方差數列”.下列對“等方差數列”的判斷，其中正確的為（ ）A若是等方差數列，則是等差數列B若是等方差數列，則是等方差數列C數列是等方差數列D若是等方差數列，則（，k為常數）也是等方差數列【答案】ACD【分析】利用等方差的定義和等差數列的定義依次判斷即得【詳解】對于A，是等方差數列，可得（，p為常數），即有是首項為，公差為p的等差數列，故A正確.對于B，例如：數列是等方差數列，但是數列不是等方差數列，所以B不正確.對于C，數列中，（，），所以數列是等方差數列，故C正確對于D，數列中的項列舉出來是，數列中的項列舉出來是，因為，所以

12、，即，所以數列是等方差數列，故D正確.故選：ACD.13（2021江蘇蘇州中學高二月考）已知數列中的前項和為，若對任意的正整數，都有，則稱為“和諧數列”，下列結論，正確的有（ ）A常數數列為“和諧數列”B為“和諧數列”C為“和諧數列”D若公差為的等差數列滿足：為“和諧數列”，則的最小值為-2【答案】BD【分析】根據給定“和諧數列”的定義，對各選項中的數列逐一分析計算即可判斷作答.【詳解】對于A，數列中，令(c為常數)，當c0時，此時的常數數列不為“和諧數列”，A不正確；對于B，數列中，令，則，即成立，B正確；對于C，數列中，令，不是“和諧數列”，C不正確；對于D，令，則，數列是首項為，公差為的

13、等差數列，其前n項和為，則，因是“和諧數列”，于是有，即有，從而得，又，即對恒成立，若，則有對恒成立，必有，即，因此，若，則對應的是開口向下的拋物線在x取正整數時的函數值，由二次函數性質知，當正整數n足夠大時，的值是負數，不成立，從而只有，且，的最小值為-2，D正確.故選：BD14（2021全國高二單元測試）設數列的前項和為，若存在實數，使得對于任意的，都有，則稱數列為“數列”則以下數列為“數列”的是（ ）A是等差數列，且，公差B是等比數列，且公比滿足CD，【答案】BC【分析】求出數列的前項和，然后判斷對，有無正實數，使得成立.【詳解】A中，若是等差數列，公差，則，是關于的二次函數，當時，對于

14、任意的，不存在實數，使得恒成立，所以數列不是“數列” B中，若是等比數列，且公比滿足，則，所以數列是“數列”C中，所以，則數列是“數列”D中，在數列中，當是奇數時，數列中奇數項構成常數列，且各項均為1；當是偶數時，即任意兩個連續偶數項和為0，則對于任意的，不存在實數，使得恒成立所以數列不是“數列”故選：BC15（2021全國高二課時練習）記數列的前項和為，若存在實數，使得對任意的，都有，則稱數列為“和有界數列”下列說法正確的是（ ）A若數列是等差數列，且公差，則數列是“和有界數列”B若數列是等差數列，且數列是“和有界數列”，則公差C若數列是等比數列，且公比滿足，則數列是“和有界數列”D若數列是

15、等比數列，且數列是“和有界數列”，則公比滿足【答案】BC【分析】利用給定定義結合等差數列前n項和對選項A，B并借助一次、二次函數性質分析判斷；結合等比數列前n項和對選項C并借助即可推理判斷，舉特例判斷選項D作答.【詳解】若數列是公差為d的等差數列，則，當時，若，則，是的一次函數，不存在符合題意的，A錯誤；數列是“和有界數列”，當時，是的二次函數，不存在符合題意的，當，時，存在符合題意的，B正確；若數列是公比為的等比數列，則，因滿足，則，即，則存在符合題意的實數，即數列是“和有界數列”，C正確；若等比數列是“和有界數列”，當時，若為偶數，則，若為奇數，則，即，從而存在符合題意的實數，D錯誤.故選

16、：BC16（2021廣東天河高三月考）在數列中，若（，為常數），則稱數列為“開方差數列”，則下列判斷正確的是（ ）A是開方差數列B若是開方差數列，則是等差數列C若是開方差數列，則也是開方差數列（，為常數）D若既是開方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列【答案】CD【分析】根據開方差數列、等差數列的定義判斷、是否為常數即可判斷A、B正誤；C由，應用累加法求得，即可知正誤；D令，m為常數，易得，結合開方差數列定義求證是否為常數列.【詳解】A：，故不是開方差數列，錯誤；B：不一定為常數，錯誤；C：，所以為常數，即為開方差數列，正確；D：由題意，且，m為常數，則，所以時為常數，則為常數列，當時，則也

17、為常數列，正確.故選：CD17（2021江蘇高二專題練習）在數列中，對任意，都有（為常數），則稱為“等差比數列”下面對“等差比數列”的判斷正確的是（ ）A不可能為0；B等差數列一定是等差比數列；C等比數列一定是等差比數列；D通項公式為的數列一定是等差比數列【答案】AD【分析】A選項利用反正法即可判斷，B、C選項舉出反例即可判斷，D選項按照新定義證明即可判斷.【詳解】A選項：若，則數列是常數列，所以分母為0，因為不可能為0，故A正確；B選項：當等差數列是常數列時，分母等于0，不成立，故B錯誤；C選項：當等比數列是常數列時，分母等于0，不成立，故C錯誤；D選項：因為，所以，為常數，是等差比數列，故

18、D正確，故選：AD.18（2021江蘇高三專題練習）在數列an中，若為常數），則an稱為“等方差數列”，下列對“等方差數列”的判斷，其中正確的為（ ）A若an是等方差數列，則an2是等差數列B若an是等方差數列，則an2是等方差數列C（1）n是等方差數列D若an是等方差數列，則akn（kN*，k為常數）也是等方差數列【答案】ACD【分析】利用等方差的定義和等差數列的定義逐個進行演算，能夠推出B不正確，其余的都正確【詳解】對于A中，數列an是等方差數列，可得為常數），即有是首項為，公差為d的等差數列，故A正確；對于B中，例如：數列是等方差數列，但是數列不是等方差數列，所以B不正確；對于C中，數列

19、中，所以數列是等方差數列，故C正確；對于D中，數列an中的項列舉出來是：，數列中的項列舉出來是，因為（ak+12ak2）（ak+22ak+12）a2k2a2k12p所以（ak+12ak2）+（ak+22ak+12）+（a2k2a2k12）kp所以akn+12akn2kp，所以，數列akn是等方差數列，故D正確故選：ACD【點睛】與數列的新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的

20、特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.三、雙空題19（2021全國模擬預測）定義：記滿足下列兩個條件的有窮數列為n階“期待數列”.；.試寫出一個3階“期待數列”_；若2021階“期待數列”是遞增的等差數列，則_.【答案】，0，（答案不唯一） 【分析】（1）根據新定義直接寫出答案即可；（2）設出等差數列的公差，結合新定義得到數列的通項公式，然后求解即可.【詳解】（1）寫出一個滿足條件的數列即可，如，0，或，（答案不唯一）；（2）解法一：設等差數列為階“期待數列”，公差為d（），即，（等差數列通項公式的應用）， ，（根據數列遞增及而得）， ，

21、即，由得，即，令，解得，故.解法二：設等差數列的公差為d，則，即，即.由等差數列的性質，得.因為數列為遞增數列，所以，即，將代入，解得，所以.故答案為：，0，（答案不唯一）；20（2021全國高二課時練習）對于數列，若任意，都有（為常數）成立，則稱數列具有性質（1）若數列的通項公式為，且具有性質，則的最大值為_；（2）若數列的通項公式為，且具有性質，則實數的取值范圍是_【答案】6 【分析】（1）設，可得對任意 恒成立，即是單調遞增數列，由恒成立可求；（2）由題得恒成立，即可求出.【詳解】（1）由題可得對任意恒成立不妨令，則，即對任意恒成立令，則對任意恒成立，即的最大值為6（2）由題得對任意恒成

22、立，即，故的取值范圍為故答案為：6；.21（2021湖北漢陽一中模擬預測）牛頓選代法又稱牛頓拉夫遜方法，它是牛頓在世紀提出的一種在實數集上近似求解方程根的一種方法具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的次近似值一般的，過點作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值設的零點為，取，則的次近似值為_；設，數列的前項積為若任意恒成立，則整數的最小值為_【答案】 【分析】（1）對函數求導，依次求出切點、斜率、斜線方程，即可得出結果.（2）由（1）可得，進而可得，即可得出

23、結果.【詳解】（1），所以當，所以當（2）因為所以，為整數， 故答案為：；2【點睛】關鍵點點睛：由和，觀察得出是本題的關鍵.本題考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.22（2021全國高二課時練習）數列的前項和為，定義的“優值”為，現已知的“優值”，則_，_【答案】 【分析】根據列出等式，以代得到另一個等式，兩式作差可求得時的，再驗證即可；利用等差數列的前項和公式求解出即可.【詳解】因為，所以，所以，當時，兩式作差可得：，所以，當時，所以，符合的情況，所以；因為，所以是首項為，公差為的等差數列，所以，故答案為：；.四、填空題23（2020江蘇江陰市成化高級中學高二月考）對于數列，規定

24、為數列的一階差分數列，其中，對自然數，規定為數列的階差分數列，其中.若，且，則數列的通項公式為_.【答案】【分析】根據階差分數列的定義，結合已知條件等式可得，寫出的通項，進而可得的通項公式.【詳解】由題設，知：，即為首項為1，公差為1的等差數列，即.故答案為：.24（2021河南三門峽高三月考（理）在數列中，如果對任意，都有（為常數），則稱數列為比等差數列，稱為比公差.則下列結論：等比數列一定是比等差數列；等差數列一定不是比等差數列；若，則是比等差數列，且比公差為；若數列是公差不為零的等差數列，是等比數列，則數列一定不是比等差數列.其中正確的有_.（填序號）【答案】【分析】根據數列的新定義，由

25、比等差數列的定義：對任意，都有（為常數），對各個命題逐一分析判斷即可得出答案.【詳解】解：對于，設等比數列的公比為，則，所以，所以等比數列一定是比等差數列，故正確；對于，若，則數列是等差數列，則，則此等差數列為比等差數列，故錯誤；對于，則，所以，所以是比等差數列，且比公差為，故正確；對于，設數列的公差為，數列的公比為，則，則因為不是定值，所以數列一定不是比等差數列，故正確.故答案為：.25（2021江蘇高二單元測試）取出數列的任意連續四項，若其中奇數項之和，偶數項之和均為同一個常數（如連續四項，滿足），則稱數列為錯位等和數列，其中常數是公和.若表示的前項和，有如下命題：（1）若一個等差數列是錯

26、位等和數列，則；（2）若一個等比數列是錯位等和數列，則；（3）若，則錯位等和數列一定是最小正周期為4的周期數列；（4）在錯位等和數列中，且，若是偶數，則；其中，真命題的序號是_【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】在（1）（2）中根據等差、等比數列的性質即可知為常數數列，即可判斷正誤；由有，結合已知即可判斷正誤；由（3）的結論及已知得、即可得，進而可知正誤.【詳解】（1）由得，即為常數數列，所以正確；（2）由得，所以為常數數列，所以，正確；（3）任取四項，則，且，即有，同理，又，所以錯位等和數列一定是最小正周期為4的周期數列，正確；（4）由（3）及，得，又，即，所以，且，而錯位等和數列一定是

27、最小正周期為4的周期數列，所以.故答案為：（1）（2）（3）（4）【點睛】本題考查了數列新定義，綜合應用了等差、等比數列的性質，以及數列的周期性，屬于中檔題.26（2021廣東東莞市光明中學高三開學考試）若有窮數列，（m為正整數）滿足條件：，則稱其為“對稱”數列例如，數列1，2，5，2，1與數列8，4，2，4，8都是“對稱”數列已知在21項的“對稱”數列中，是以1為首項，2為公差的等差數列，則_【答案】19【分析】根據“對稱”數列可知，再利用等差數列的通項公式即可求解.【詳解】根據題意可得，是以1為首項，2為公差的等差數列，所以.故答案為：19【點睛】本題考查了等差數列的通項公式、數列的新定義

28、，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.五、解答題27（2021江蘇高二單元測試）對于數列，定義為數列的差分數列，其中如果對任意的，都有，則稱數列為差分增數列（1）已知數列為差分增數列，求實數的取值范圍；（2）已知數列為差分增數列，且，若，求非零自然數k的最大值；（3）已知項數為2k的數列（）是差分增數列，且所有項的和等于k，證明：【答案】（1）；（2）65；（3）證明見解析【分析】（1）利用差分增數列的定義可得關于的不等式組，即可求解；（2）根據，可得，從而可得，即可求解；（3）利用反證法推出矛盾，即可得證【詳解】（1）數列1，2，4，16，24的差分數列為1，2，8，由題意可得，解得，故實數

29、的取值范圍是（2）由題意，因為數列為差分增數列，所以對任意的，都有，所以，同理，所以當時，所以，解得，所以非零自然數的最大值為65（3）證明：假設，由題意知，2，3，因為項數為的數列所有項的和等于，所以，即，所以，因為數列，2，3，是差分增數列，所以，所以，因此，所以對任意的，都有，即，所以，所以與矛盾，故假設不成立，所以【點睛】關鍵點睛：對于數列的新定義的題，解題的關鍵是理解清楚題意，熟練掌握數列中常見的解題方法.28（2020江蘇模擬預測）對數列an，規定an為數列an的一階差分數列，其中anan+1an（nN*），規定2an為an的二階差分數列，其中2anan+1an（nN*）.（1）數

30、列an的通項公式（nN*），試判斷an，2an是否為等差數列，請說明理由？（2）數列bn是公比為q的正項等比數列，且q2，對于任意的nN*，都存在mN*，使得2bnbm，求q所有可能的取值構成的集合；（3）各項均為正數的數列cn的前n項和為Sn，且2cn0，對滿足m+n2k，mn的任意正整數m、n、k，都有cmcn，且不等式Sm+SntSk恒成立，求實數t的最大值.【答案】（1）是，是；理由見解析；（2），；（3）2.【分析】（1）推導出，從而，由此得到是首項為3，公差為2的等差數列，由，得到是首項為2，公差為0的等差數列（2）推導出，根據，進行分類討論，能求出所有可能的取值構成的集合（3）推

31、導出，從而是等差數列，設的公差為，則，由等差數列前項和公式可得，從而，推導出，則當時，不等式都成立；當時，令，則，進而得到，由此推導出的最大值為2【詳解】（1），是首項為3，公差為2的等差數列，是首項為2，公差為0的等差數列（2）數列是公比為的正項等比數列，且對任意的，都存在，使得，若，則，解得（舍，或，即當時，對任意的，都有若，則，解得（舍，或，即當時，對任意的，都有若，則，對任意的，不存在，使得綜上所述，所有可能的取值構成的集合為，（3），是等差數列，設的公差為，則，當時，與數列的各項均為正數矛盾，故，由等差數列前項和公式可得，則當時，不等式都成立，另一方面，當時，令，則，則，當時，即，綜上，的最大值為2【點睛】本題考查等差數列的判斷，考查實數的取值范圍、實數的最大值求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題29（2020黑龍江哈師大附中高二開學考試（理）若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”已知數列中，點在函數的圖象上，其中為正整數（1）證明數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；（2）設（1）中“平方遞推數列”的前項積為，即，求；（3）在（2）的條件下，記，求數列的前項和，并求使 的的最小值【答案】