1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)論文 學(xué)院：航天學(xué)院 班級(jí)：1421201 姓名：郭興達(dá) 學(xué)號(hào)：1142120133 經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的的概率論學(xué)習(xí)，我想將我的感想和收獲寫在論文中，那么我就先介紹一下概率論的發(fā)展簡(jiǎn)史吧。一、發(fā)展簡(jiǎn)史 統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于數(shù)字資料收集、組織、分析與解釋的科學(xué)。 “資料收集”是取得數(shù)量或數(shù)據(jù)的方法。正確的結(jié)論只能來(lái)源于正確的資料，來(lái)源于有代表性的資料。 “資料組織”是以適當(dāng)形式表現(xiàn)所收集的資料，以得出符合邏輯的結(jié)論。 “資料分析”是從給定的量或數(shù)，抽出有關(guān)問(wèn)題，從而得出一個(gè)簡(jiǎn)要的綜合姓的結(jié)果。達(dá)到這個(gè)日的的最重要的量(平均數(shù)、中位數(shù)、極差、標(biāo)推差，等等)。 “資料解釋”是通過(guò)資料分析來(lái)作出

2、結(jié)論的工作，它通常是通過(guò)類似對(duì)象的小的集合提供的信息來(lái)對(duì)有關(guān)對(duì)象的大的集合形成預(yù)測(cè)的。 因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門科學(xué)，它處理在某種程度上可用數(shù)量信息回答的問(wèn)題，而信息是通過(guò)計(jì)數(shù)和量度得到的。不論我們?cè)谏镅芯恐姓{(diào)查昆蟲(chóng)數(shù)、還是在工廠中調(diào)查工人數(shù)或工時(shí)數(shù)，統(tǒng)計(jì)工作者的職責(zé)首先是選擇所裔的那類信息，其次是指導(dǎo)適當(dāng)?shù)挠行У氖占c加工信息，最后是解釋結(jié)果。在解釋結(jié)果中，特別是在資料不完全的情況下，統(tǒng)計(jì)工作者必須運(yùn)用原理與方法以得出有效的調(diào)查結(jié)果。他常常要求面對(duì)不肯定的情況做出明智的決策。 統(tǒng)計(jì)一詞有兩個(gè)顯然不同的意義。當(dāng)用作如上所指的情況時(shí)，它是。一種研究和評(píng)價(jià)數(shù)量資料的科學(xué)方法。當(dāng)用作復(fù)數(shù)時(shí)，它是“數(shù)量資

3、料：一詞的同義語(yǔ)。因此，如果我們說(shuō)在“世界年鑒” 或“美國(guó)統(tǒng)計(jì)摘要”中有統(tǒng)計(jì)，即是說(shuō)在它們中有數(shù)量資料。這是一個(gè)古老的、有普遍意義酌詞。原先，統(tǒng)計(jì)著重為政府首腦管理國(guó)家政務(wù)提供資料。用數(shù)字資料表現(xiàn)的這種信息可以上溯到亞里斯多德及他的“國(guó)家政務(wù)論”。事實(shí)上，“statistics與“state”源于同一詞根，就是一個(gè)明證。早期大多數(shù)文明國(guó)家，由于軍事的與財(cái)政的原因，曾經(jīng)編制大規(guī)模的統(tǒng)計(jì)資料，以確定國(guó)家的入力與物力。我們?cè)诨浇淌ソ?jīng)中曾看到諸如此類的戶口調(diào)查，以及羅馬帝國(guó)各地普遍編制的稅冊(cè)。 概率論的研究始于意大利的文藝復(fù)興時(shí)期，當(dāng)時(shí)賭徒要求找到擲段子決定勝負(fù)的規(guī)則，曾向?qū)W者G卡達(dá)諾(150l-1

4、576)和著名的數(shù)學(xué)天文學(xué)家G加利萊(15641642)求教；加利萊所寫的一篇短文中，說(shuō)明了概率的基本定律，從而為整個(gè)統(tǒng)計(jì)科學(xué)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。 在16與17世紀(jì)，機(jī)會(huì)對(duì)策(賭博)在富人中特別普遍，而且引進(jìn)了更復(fù)雜的對(duì)策，包括更大的賭注，不同的對(duì)策需要一個(gè)合理的計(jì)算“機(jī)會(huì)”，當(dāng)時(shí)這個(gè)問(wèn)題成了一個(gè)非常重要的問(wèn)題。一個(gè)法國(guó)知識(shí)分子C，梅勒也是一個(gè)狂熱的賭徒，他曾向著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家B。帕斯卡爾(16231662)求教，帕斯卡爾的注意促成了與他的數(shù)學(xué)朋友的交往，特別是與P弗曼特馬(1601-16S5)的書信往來(lái)，就成為現(xiàn)代概率論與組合分析的起源。 研究“機(jī)會(huì)”定律的其他聞名的數(shù)學(xué)家有OW萊布尼

5、茲(16461716)與雅可比白努利(16541705)，他是著名的白努利家族九個(gè)數(shù)學(xué)家中的第一個(gè)。他們都贏得了卓越的聲譽(yù)，其中雅可比的兄弟約翰白努利(1667-1748)，侄子尼古拉白努利(1687-H59)與丹尼爾白努利(17001782)都成為世界上知名的人。第一篇廣博的概率論論文是由雅可比白努利寫出的，他詳細(xì)地闡述了大數(shù)定律的原理。尼古拉白努利把概率的概念用于法律問(wèn)題，而丹尼爾白努利則把概率的計(jì)算用于流行病學(xué)與保險(xiǎn)學(xué)的研究。 對(duì)理論的其他貢獻(xiàn)的有J斯特林(16921770)的n!近似公式；M康杜斯(17431794)把概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于社會(huì)問(wèn)題；T貝期(1702176，1)首先歸納地運(yùn)用

6、概率；L尤勒(17071783)首創(chuàng)使用希臘字母西格馬作為求和的符號(hào)；以及T辛普森(1710一1761)把連續(xù)原理運(yùn)用到數(shù)學(xué)橫串理論中。人LR阿勒貝特(17171783)在他的概率研究中使用了氣象資料；人L拉格朗日(17361813)使用了微分學(xué)；Po B蒙特模特(16781719)引進(jìn)了有限差分的計(jì)算。C巴夫(17071788)在現(xiàn)代遺傳的某些方面以及在概率計(jì)算上屬于領(lǐng)先地位，此外，SD泊松(17811840)發(fā)展了以他本人名字命名的分布，即泊松分布。在1835一1870年間，比利時(shí)科學(xué)家LAJ. 魁持奈(17961874)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的發(fā)展與應(yīng)用作出了重大貢獻(xiàn)。他把生物學(xué)的與人類學(xué)的油量和

7、正東曲線緊密池聯(lián)系在一起。：魁特奈把統(tǒng)計(jì)方法不僅用在生物上，而且用到教育與社會(huì)學(xué)上。他顯示出對(duì)統(tǒng)計(jì)的極廣泛的興趣，他是認(rèn)識(shí)大數(shù)穩(wěn)定性的第一個(gè)人，也是首先論證在研究領(lǐng)域里，發(fā)展起來(lái)的統(tǒng)計(jì)方法可以推廣到其他大多數(shù)領(lǐng)域的人之一。在德國(guó)，OF納普(1842一1926)按照魁特奈的原則廣泛地調(diào)查研究死亡統(tǒng)計(jì)，而W劉易斯(18371914)發(fā)展現(xiàn)在叫做一向方差分析的程序。本世紀(jì)初，一位愛(ài)爾蘭吉尼斯啤酒廠的統(tǒng)計(jì)學(xué)家WS戈塞特(1876一1937)，筆名“學(xué)生”，出版了許多篇關(guān)于解釋抽樣資料的文章。他是第一個(gè)入認(rèn)識(shí)到發(fā)展小樣本方法以得出可靠信息的重要性。這種方法以后由RA費(fèi)雪(1890一1962)及其同事在英

8、國(guó)推廣，費(fèi)雪對(duì)科學(xué)作出了很大貢獻(xiàn)，特別是群體遺傳學(xué)方面，他開(kāi)拓了試驗(yàn)理論，注意統(tǒng)計(jì)方法及其在科學(xué)研究領(lǐng)域中的應(yīng)用。正是費(fèi)雪。他引進(jìn)了現(xiàn)在廣泛應(yīng)用的“虛假設(shè)”一詞(null，hypothesis)，并發(fā)展了方差分析的統(tǒng)計(jì)方法。 在統(tǒng)計(jì)研究中有一點(diǎn)要提請(qǐng)注意，認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)是很重要的,即沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法本身能保證數(shù)據(jù)不出現(xiàn)錯(cuò)誤、絕對(duì)準(zhǔn)確，不能保證推理沒(méi)有毛病、結(jié)論正確。原始資料一定要正確、方法一定要恰當(dāng)；而結(jié)果一定要由不僅懂得方法，而且要由懂得應(yīng)用的人來(lái)解釋。本書是把所討論的統(tǒng)計(jì)方法當(dāng)作土具，由適當(dāng)?shù)娜苏莆眨谠O(shè)計(jì)合理的場(chǎng)合加以應(yīng)用，以取得有用的結(jié)論，但統(tǒng)計(jì)方法本身并不能創(chuàng)造奇跡。淺談隨機(jī)變量的數(shù)字特

9、征摘要：我們知道，隨機(jī)變量的分布函數(shù)完全刻畫了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，它反應(yīng)了隨機(jī)變量的全貌，而隨機(jī)變量的數(shù)字特征只是隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的某一個(gè)方面的數(shù)量描述，不能完整地描述隨機(jī)變量，但卻反映隨機(jī)變量取值的一些特征。本文就從這點(diǎn)出發(fā)，主要講述隨機(jī)變量的數(shù)字特征的引出、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及重點(diǎn)和隨機(jī)變量數(shù)字特征的應(yīng)用。 關(guān)鍵字：數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望 方差 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù) 1數(shù)學(xué)期望 設(shè)是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為； 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對(duì)可積，則定義的數(shù)學(xué)期望為 2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則的函

10、數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為； 特別地. 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；特別地 ,. 3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 3.1 (其中c為常數(shù))； 3.2 (為常數(shù))； 3.3 ； 3.4 如果與相互獨(dú)立，則. 4方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量的方差定義為計(jì)算方差常用下列公式： 當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級(jí)數(shù)收斂，則的方差為； 當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分收斂，則的方差為.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義

11、為方差的算術(shù)平方根. 5方差的性質(zhì) 5.1 (c是常數(shù))； 5.2 (為常數(shù))； 5.3如果與獨(dú)立，則. 6協(xié)方差 設(shè)為二維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的協(xié)方差定義為計(jì)算協(xié)方差常用下列公式：當(dāng)時(shí)， 協(xié)方差具有下列性質(zhì)： 6.1 (c是常數(shù))； 6.2 ； 6.3 (是常數(shù))； 6.4 7相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)定義為相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量與之間線性關(guān)系的緊密程度，當(dāng)越大，與之間的線性相關(guān)程度越密切，當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān) 相關(guān)系數(shù)具有下列性質(zhì)： 7.1 ； 7.2 的充要條件是，其中為常數(shù)； 7.3 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則與不相關(guān)，即，但由不能推斷與獨(dú)立 7.4下列5個(gè)命題是等價(jià)的： 7.4.1 ； 7.

12、4.2 ； 7.4.3 ； 7.4.4 )； 7.4.5 利用協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)可以計(jì)算 8原點(diǎn)矩與中心矩 隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩定義為； 隨機(jī)變量的階中心矩定義為； 隨機(jī)變量的階混合原點(diǎn)矩定義為； 隨機(jī)變量的階混合中心矩定義為 一階原點(diǎn)矩是數(shù)學(xué)期望； 二階中心矩是方差D(X)； 階混合中心矩為協(xié)方差. 9常用分布的數(shù)字特征 9.1當(dāng)服從二項(xiàng)分布時(shí)， 9.2 當(dāng)服從泊松分布時(shí)， 9.3 當(dāng)服從區(qū)間上均勻分布時(shí)， 9.4 當(dāng)服從參數(shù)為的指數(shù)分布時(shí)， 9.5 當(dāng)服從正態(tài)分布時(shí)， 9.6 當(dāng)服從二維正態(tài)分布時(shí)，；1.通過(guò)分布求數(shù)字特征如：已知某網(wǎng)站每天的登錄人數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布，而進(jìn)入該網(wǎng)站的每個(gè)人打開(kāi)某網(wǎng)頁(yè)的概率為 ，試求訪問(wèn)該網(wǎng)頁(yè)人數(shù)的分布律及其數(shù)學(xué)期望.解 以 表示登錄網(wǎng)站的人數(shù)， 表示訪問(wèn)某網(wǎng)頁(yè)的人數(shù).依題意:由全概率公式得:可見(jiàn) 仍服從泊松分布，參數(shù)為 ，因此其數(shù)學(xué)期望為 2.利用運(yùn)算性質(zhì)求數(shù)字特征如：已知隨機(jī)變量 和 服從正態(tài)分布 和 ，且 與 的相關(guān)系數(shù) ，設(shè) ， 試求 (1) ， ， ； (2) 與 是否相互獨(dú)立?為什么.解 (1)由運(yùn)算性質(zhì)，有 ，故 ；(2)由于 不一定是二維正態(tài)分布，故由 不能推出 與 相互獨(dú)立.(若 與 均服從正態(tài)分布，且 與 相互獨(dú)立，則 服從二維正態(tài)分布)3.利用分解法進(jìn)行計(jì)算如：對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，直至命中 次為止.