1、第四章 插值法(Interpolation Method)1已經測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M） 466 741 950 1422 1634水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據這些數據，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫舉例這就是本章要討論的“插值問題”2 當精確函數 y = f(x) 非常復雜或未知時，在區間a,b上一系列節點 x0 xm 處測得函數值 y0 = f(x0), , ym = f(xm)，由此構造一個簡單易算的近似函數 g(x) f(x)，滿足條件 g(xj) = f(xj) (j = 0, m) (*

2、)這個問題稱為“插值問題”插值問題的定義這里的 g(x) 稱為f(x) 的插值函數。節點 x0 xm稱為插值節點, 條件（*)稱為插值條件，區間a,b稱為插值區間3x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x)4最常用的插值函數是 ?代數多項式用代數多項式作插值函數的插值稱為代數插值本章主要討論的內容插值函數的類型有很多種插值問題插值法插值函數5一、插值問題解的存在唯一性？二、插值多項式的常用構造方法？三、插值函數的誤差如何估計？代數插值64.2 代數插值問題解的存在惟一性 給定區間a,b上互異的n+1個點xjnj=0的一 組函數值f(xj)，j =0，, n，求一個n次多項式pn(x)Pn，使得

3、 pn(xj)=f(xj)，j=0,1,，n. . (1) 令 pn(x)=a0+a1x+anxn, . (2) 只要證明Pn(x)的系數a0 ,a1, an存在唯一即可7為此由插值條件(1)知Pn(x)的系數滿足下列n+1個代數方程構成的線性方程組 a0+a1x0+anx0n=f(x0) a0+a1x1+anx1n= f(x1) .a0+a1xn+anxnn= f(xn) (3)8而ai(i=0,1,2,n)的系數行列式是Vandermonde行列式由于xi互異，所以(4)右端不為零，從而方程組(3)的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。9 通過解上述方程組(3)求得插值多項式pn(x)的

4、方法并不可取.這是因為當n較大時解方程組的計算量較大，而且方程組系數矩陣的條件數一般較大（可能是病態方程組）,當階數n越高時，病態越重。為此我們必須從其它途徑來求Pn(x)：不通過求解方程組而獲得插值多項式10基本思想：在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數0(x),1(x), 3（x),使pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +an 3（x)不同的基函數的選取導致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值11n = 1可見 P1(x) 是過 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP-+=101xxxx-010 x

5、xxx-= y0 + y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl4.3 Lagrange插值求 n 次多項式 使得已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求12構造基函數 （2）與 節點有關，而與f 無關這里每個lj(x)都是n次多項式，且由(1)式容易驗證lj(x）滿足j=0,1,，n （1）13對任意的pn(x)Pn，都有pn(x)=c0 l0(x)+c1 l1(x)+cn ln(x)其中c0 ,c1 ,cn 為組合系數可以證明函數組l0(x)，l1(x)，, ln(x) 在插值區間a,b上線性無關，所以這n+1個函數可作為Pn的一組基函數，稱為Lagrange插值基函數14由La

6、grange插值基函數滿足(2)式可知，方程組變成因此得到插值多項式pn(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+ f(xn) ln(x)記為Ln(x) f(xj)lj(x)稱Ln(x)為n次Lagrange插值多項式15 The mathematician S. had to move to a new place. His wife didnt trust him very much, so when they stood down on the street with all their things, she asked him to watch their ten tr

7、unks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: I thought you said there were ten trunks, but Ive only counted to nine! The wife said: No, theyre TEN! But I have counted them: 0, 1, 2, . 16 插值余項 /* Remainder */定理4.3.1 若在a , b內存在, 則在a , b上的n+1個互異的點，對 f（x)所作的n次Lagrange插值

8、多項式Ln (x) 有誤差估計 Rolles Theorem的推論: 若 充分光滑，且存在使得17證明：由于Rn(xi) 0 ，i=0,1,，n任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察(t)有 n+2 個不同的根 x0 xn x18例：已知分別利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值計算 sin 50， 并估計誤差。 解：n = 1分別利用x0, x1 以及 x1, x2 計算利用19sin 50 = 0.7660444利用x0, x1 作為插值節點的實際誤差 0.01001利用 計算得：sin 50 0.76008, 利用x1, x2作為插值節點的實際誤差 0.0059620n = 2sin 50 = 0.76604442次插值的實際誤差 0.0006121計算實習： Lagrange Polynomial 1 輸入n,x,y,x* 2 賦初始值Pai=1.0，Slag=0.03for i=0，1，n 3.1Pai*(x*-xi)Paiend for(i) 4for j=0,1,，n 4.1Tai=1.0 4.2for i=0,1，n 4.2.1ifij then Tai*(xj-xi