1、2章測量誤差及數據處理 2.1 測量誤差的分類和測量結果的表征2.2 測量誤差的估計和處理 2.3 測量不確定度 2.4 測量數據處理 2.1 測量誤差的分類和測量結果的表征2.1.1 測量誤差的分類根據測量誤差的性質，測量誤差可分為隨機誤差、系統誤差、粗大誤差三類。1.隨機誤差定義: 在同一測量條件下（指在測量環境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩

2、擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規律變化等。2.1.1 測量誤差的分類（續）例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規律， 但多次測量的總體卻服從統計規律。可通過數理統計的方法來處理,即求算術平均值隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差 2.1.1 測量誤差的分類（續）2.系統誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規律變化的誤差，稱為系統誤差。

3、例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產生的主要原因:儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數習慣等。系統誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越小，測量就越準確。系統誤差的定量定義：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。即2.1.1 測量誤差的分類（續）3.粗大誤差： 粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產生粗差的原因有：測量操作疏忽和失誤 如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。測量方法不當或錯誤 如用普通萬用表電壓檔直接測高

4、內阻電源的開路電壓測量環境條件的突然變化 如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數據處理時，應剔除掉。 2.1.1 測量誤差的分類（續）4.系差和隨差的表達式在剔除粗大誤差后，只剩下系統誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統誤差和隨機誤差的代數和。在任何一次測量中，系統誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉化 2.1.2 測量結果的表征準確度表示系統誤差的大小。系統誤差越小，則準確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素

5、使測量值呈現分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示準確度和精密度都高，意味著系統誤差和隨機誤差都小。射擊誤差示意圖 準確度： 高 低 高精密度： 低 高 高2.1.2 測量結果的表征（續）測量值 是粗大誤差2.2 測量誤差的估計和處理2.2.1 隨機誤差的統計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統計規律。可用數理統計的方法，處理測量數據，從而減少隨機誤差對測量

6、結果的影響。2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續）（1）隨機變量的數字特征 數學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：X為連續型隨機變量： 1. 隨機誤差的分布規律2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） 方差和標準偏差 方差是用來描述隨機變量與其數學期望的分散程度。 設隨機變量X的數學期望為E(X)，則X的方差定義為：D(X)= E(XE(X)2 標準偏差定義為： 標準偏差同樣描述隨機變量與其數學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續）測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設

7、被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態分布。為什么測量數據和隨機誤差大多接近正態分布？(2)測量誤差的正態分布2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續）正態分布的概率密度函數和統計特性隨機誤差的概率密度函數為：測量數據X的概率密度函數為：隨機誤差的數學期望和方差為：同樣測量數據的數學期望E(X) ，方差D(X)2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續）正態分布時概率密度曲線 隨機誤差和測量數據的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：對稱性 單峰性 有界性 抵償性 2.2.1隨機誤差的

8、統計特性及減少方法(續）標準偏差意義標準偏差是代表測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數據越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數據越分散。2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） （3）測量誤差的非正態分布常見的非正態分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。 概率密度:均值: 當 時,標準偏差: 當 時，2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） 2. 有限次測量的數學期望和標準偏差的估計值 求被測量

9、的數字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發生的頻度代替事件發生的概率，當 則令n個可相同的測試數據xi(i=1.2,n) 次數都計為1 ,當 時，則（1）有限次測量的數學期望的估計值算術平均值被測量X的數學期望，就是當測量次數 時，各次測量值的算術平均值 2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續）規定使用算術平均值為數學期望的估計值，并作為最后的測量結果。即： 算術平均值是數學期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術平均值比測量值更接近真值？ 2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） （2）算術平均值的標準偏差 故：算術平

10、均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小 倍。原因是隨機誤差的抵償性 。 *算術平均值：2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） （2）有限次測量數據的標準偏差的估計值殘差（剩余誤差）：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術平均值標準偏差的估計值 ：2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） 【例3.1】 用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：平均值 用公式 計算各測量值殘差列于上表中實驗偏差 標準偏差2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續3. 測量結果的置信問題置信概率：描述誤差處于某一范圍內的可靠程度的量

11、。置信區間：對應置信度的極限誤差范圍，用標準差的倍數K表示（K為正系數，稱為置信系數）。2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續3. 測量結果的置信問題（1）置信概率與置信區間： 置信區間 內包含真值的概率稱為置信概率。 置信限： k置信系數（或置信因子） 置信概率是圖中陰影部分面積2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） （2）正態分布的置信概率當分布和k值確定之后，則置信概率可定 正態分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區間越寬，置信概率越大在置信區間M(x)- , M(x)+內置信度P|i|=0.6826在置信區間M(x)-2 , M(x)+2

12、內置信度P|i|2=0.954在置信區間M(x)-3 , M(x)+3內置信度P|i|3=0.9973 稱為極限誤差或最大誤差當測量次數較多時，用 和 代替M(x)和M(x)-3M(x)+3M(x)-2M(x)+2M(x)-M(x)+2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） （3） 有限次測量時的置信問題有限次測量時，只能根據貝塞爾公式求出來的標準差 估計值來考慮當測量值服從正態分布時， 服從t分布t分布與測量次數有關。當n20以后，t分布趨于正態分布。正態分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態分布有更大的置信區間。 給定置信概

13、率P和測量次數n，查表得置信因子kt。 自由度：v=n-12.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續）2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續） （4）非正態分布的置信因子由于常見的非正態分布都是有限的，設其置信限為誤差極限 ，即誤差的置信區間為 置信概率為100。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布 有 故:2.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法(續）2.2.2 系統誤差的判斷及消除方法（續） 1. 系統誤差的特征：不易發現，也不具有抵償性，因而分析、估計和修正系統誤差很重要。 多次測量求平均不能減少系差。 2.2.2 系統誤差的判斷及消除方法（續） 2. 系統誤差的發現方法 （1）不

14、變的系統誤差： 校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統誤差殘差（剩余誤差）觀察法，適用于系統誤差比隨機誤差大的情況 將所測數據及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數據的殘差值的大小和符號的變化。 存在線性變化的系統誤差無明顯系統誤差2.2.2 系統誤差的判斷及消除方法（續）馬利科夫判據：判斷是否存在線性系統誤差1）求出殘差；2）將殘差分為前后兩部分求和，再求其差值D當n為偶數時， 當n為奇數時， 當DVimax，則認為存在線性系統誤差 2.2.2 系統誤差的判斷及消除方法（續）阿貝赫梅特判據：檢驗周期性系差的存在。 1）求殘差； 2）將殘差倆倆相乘，然后取和的絕對值； 3）求出標準差的估計值

15、4）如果 則認為存在周期性系統誤差2.2.2 系統誤差的判斷及消除方法（續） 3. 系統誤差的削弱或消除方法 （1）從產生系統誤差根源上采取措施要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。 注意周圍環境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。 盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統誤差。應提高測量人員業務技術水平和工作責任心，改進設備。（2）用修正方法減少系統誤差修正值誤差=（測量值真值） 實際值測量值修正值2.2.2 系統誤差的判斷及消除方法（續）（3）采用一些專門的測量方法 零示法 替代法 微差法 系統誤差可忽略不計的準則是：系統誤差或殘余系統誤

16、差代數和的絕對值不超過測量結果擴展不確定度的最后一位有效數字的一半。2.2.3 粗大（疏失）誤差及其判斷準則 粗大誤差出現的概率很小，列出可疑數據，分析是否是粗大誤差，若是，則應將對應的測量值剔除。1. 粗大誤差產生原因以及防止與消除的方法 粗大誤差的產生原因 測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄； 客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產生粗大誤差。2.2.3 粗大誤差及其判斷準則（續） 2. 粗大誤差的判別準則統計學的方法的基本思想：給定一置信概率，確定相應的置信區間，凡超過置信區間的誤差就認為是粗

17、大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法 格拉布斯檢驗法 s：實驗標準偏差；G為格拉布斯系數，按重復測量次數n及置信概率Pc確定 2.2.3 粗大誤差及其判斷準則（續） 應注意的問題所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統一的規定。當偏離正態分布和測量次數少時檢驗不一定可靠。若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數據超出范圍時，應逐個剔除。在一組測量數據中，可疑數據應很少。反之，說明系統工作不正常。2.2.3 粗大誤差及其判斷準則（續） 解： 計算得 s=0.033計算殘差填入表37， 最大， 是可疑數據。 用萊特檢驗法 3 s=30.033=0.099

18、故可判斷 是粗大誤差，應予剔除。再對剔除后的數據計算得： s= 0.016 3s= 0.048各測量值的殘差V填入表37，殘差均小于3 s故14個數據都為正常數據。【例3.3】 對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得結果列于表37，試檢查測量數據中有無粗大誤差。2.2.4 測量結果的處理步驟 對測量值進行系統誤差修正，將數據依次列成表格；求出算術平均值列出殘差 ，并驗證按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值按萊特準則 ，或格拉布斯準則 檢查和剔除粗大誤差；判斷有無系統誤差。如有系統誤差，應查明原因，修正或消除系統誤差后重新測量；計算算術平均值的標準偏差 ；寫出最后結果的表達式，即 （單位）。2.2.4

19、 測量結果的處理步驟（續）【例34】 對某電壓進行了16次等精度測量，測量數據中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內的測量結果表達式。2.2.4 測量結果的處理步驟（續）2.2.4 測量結果的處理步驟（續）2.2.4 測量結果的處理步驟（續）等精度測量與不等精度測量 等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設備、相同測量人員、相同環境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內進行的重復測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權值與標準偏差的平方成反比 。權值 測量結果為加權平均值 2.2.4 測量結果的處理步驟（續）2.

20、2.5 誤差的合成分析問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？2.2.5 誤差的合成分析（續）2.2.5 誤差的合成分析（續）在實際應用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設計階段中對傳感器、儀器及系統等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應措施。但是，更嚴格和更準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定. 2.3 測量不確定度 2.3.1 不確定度的概念由于測量誤差的存在而對測得值不能肯定的程度。

21、表示被測量的分散程度； 1.術語（1）標準不確定度： 用概率分布的標準偏差表示的不確定度 A類標準不確定度：用統計方法得到的不確定度。 B類標準不確定度：用非統計方法得到的不確定度 2.3.1 不確定度的概念（續） （2）合成標準不確定度*由各不確定度分量合成的標準不確定度。*因為測量結果是受若干因素聯合影響。 （3）擴展不確定度*合成標準不確定度的倍數表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標準不確定度得到一個區間半寬度。 *包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。 *通常測量結果的不確定度都用擴展不確定度表示 2.3.1 不確定度的概念（續） 2.不確定度的分類 2.3.1 不確定度的

22、概念（續） 3. 不確定度的來源被測量定義的不完善，實現被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩定性等影響。測量環境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術水平等影響。計量標準和標準物質的值本身的不確定度，在數據簡化算法中使用的常數及其他參數值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩定性。2.3.2 誤差與不確定度的區別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準確得到，是一個定性的概念表示測量結果的分散程度，可根據試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被

23、測量和影響量及測量過程的認識有關。隨機誤差、系統誤差是兩種不同性質的誤差A類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機誤差、系統誤差之間不存在簡單的對應關系。須進行異常數據判別并剔除。剔除異常數據后再評定不確定度在最后測量結果中應修正確定的系統誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應考慮修正不完善引入的不確定度分量。“誤差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進行定性分析。不確定度傳播律更科學，用于定量評定測量結果的合成不確定度2.4 測量數據處理2.4.1 有效數字的處理1. 數字修約規則由于測量數據和測量結果均是近似數，其位數各不相同。為了使測量結果的表示準確唯一，計算簡便，在數據處理時

24、，需對測量數據和所用常數進行修約處理。數據修約規則：（1） 小于5舍去末位不變。（2） 大于5進1在末位增1。（3） 等于5時，取偶數當末位是偶數，末位不變；末位是奇數，在末位增1（將末位湊為偶數）。2.4.1有效數字的處理（續）例：將下列數據舍入到小數第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.3217.695517.70 123.1150123.12需要注意的是，舍入應一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正確結果為0.69 ，錯誤做法是： 0.694990.69500.6950.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶

25、數規則，是為了在比較多的數據舍入處理中，使產生正負誤差的概率近似相等。2.4.1有效數字的處理（續）2. 有效數字若截取得到的近似數其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數末位的半個單位，則該近似數從左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字，稱之為有效數字。例如：3.142四位有效數字，極限誤差0.00058.700四位有效數字，極限誤差0.0005 8.7103二位有效數字，極限誤差0.05103 0.0807三位有效數字，極限誤差0.005 2.4.1有效數字的處理（續）中間的0和末尾的0都是有效數字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數字。 測量數據的絕對值比較大（或比較小），而有效數字又比

26、較少的測量數據，應采用科學計數法，即a10n，a的位數由有效數字的位數所決定。測量結果（或讀數）的有效位數應由該測量的不確定度來確定，即測量結果的最末一位應與不確定度的位數對齊。例如，某物理量的測量結果的值為63.44，且該量的測量不確定度u0.4，測量結果表示為63.40.4。2.4.1有效數字的處理（續）3.近似運算法則保留的位數原則上取決于各數中準確度最差的那一項。（1）加法運算以小數點后位數最少的為準（各項無小數點則以有效位數最少者為準），其余各數可多取一位。例如：（2）減法運算：當兩數相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導致相近兩

27、數相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數字。 2.4.1有效數字的處理（續）（3）乘除法運算以有效數字位數最少的數為準，其余參與運算的數字及結果中的有效數字位數與之相等。例如： 也可以比有效數字位數最少者多保留一位有效數字。 例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結果比原數多保留一位有效數字。例如：（27.8）2772.8(115)21.3221042.4.2測量數據的表示方法1. 列表法根據測試的目的和內容，設計出合理的表格。列表法簡單、方便，數據易于參考比較，它對數據變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經驗

28、公式法的基礎。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.12.4.2測量數據的表示方法2 .圖示法圖示法的最大優點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數的變化規律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規律等。作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數據（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數盡量相等3. 經驗公式法經驗公式法就是通過對實驗數據的計算，采用數理統計的方法，確定它們之間的數量關系，即用數學表達式表示各變量之間關系。有時又把這種經驗公式稱為數學模型。類型有些一元非線性回歸可采用

29、變量代換，將其轉化為線性回歸方程來解。2.4.2測量數據的表示方法（續）一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數1111方次1111y=a+bx 2.4.3 建立經驗公式的步驟 已知測量數據列(xi,yi i=1,2,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標，輸出量yi即測量值作為縱坐標，描繪在坐標紙上，并把數據點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y=f(x)的基本形式。直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：（3）由測量數據確定擬合方程（公式）中的常量。2.4.3 建立經驗公式的步驟 （續）( 4 ) 檢驗所確定的方程的準確性。用測量數據中的自變量代入擬合方程計算出函數值y 計算擬合殘差 計算擬合曲線的標準偏差 式中：m為擬合曲線未知數個數，n為測量數據列長度。如果標準偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯誤，應建立另外形式公式重做。 2章 總 結1 隨機誤差隨機誤差是由大量微小的沒有確定規律的因素引起的，無法避免和控制，不能消除隨機誤差。但應采用數