1、 . . 28/28第五章 線性微分方程組5.1 存在唯一性定理習題5.1 1給定方程組， （*）試驗證，分別是方程組（*）的滿足初始條件，的解；試驗證是方程組（*）的滿足初始條件的解，其中是任意常數證明，顯然，所以，分別是方程組（*）的滿足初始條件，的解，又，所以是方程組（*）的滿足初始條件的解，其中是任意常數2將下面的初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題：，；，；， （提示：令）解設，則，即與該初值問題等價的一階方程組的初值問題為設，則，則得等價的一階方程組的初值問題為，令，有 ，為與原初值問題等價的一階方程組的初值問題3試用逐步逼近法求方程組， 滿足初始條件的第三次近似解解，第三次

2、近似解為 5.2 線性微分方程組的一般理論習題5.2 1試驗證是方程組，在任何不包含原點的區間上的基解矩陣證明設，則由于，所以都是方程組的解，因而是所給方程組的解矩陣又由于在任何不包含原點的區間上，（），故是所給方程組的基解矩陣2考慮方程組， （5.15）其中是區間上的連續矩陣，它的元素為，如果是（5.15）的任意個解，那么它們的Wronsky行列式滿足下面的一階線性微分方程（提示：利用行列式的微分公式，求出的表達式）；解上面的一階線性微分方程，證明下面的公式：，證明，所以是一階線性微分方程的解由知，分離變量后兩邊積分求解得，時就得到，所以，3設為區間上的連續實矩陣，為方程的基解矩陣，而為其一

3、解試證：對于方程的任一解必有常數；為方程的基解矩陣的充要條件是存在非奇異的常數矩陣，使證明由于是方程的解，故有，為方程的解，故所以，所以常數“”是方程的基解矩陣，因此，是方程的基解矩陣，故，且和所以，故是常數矩陣，設，則，因此存在非奇異常數矩陣，使“”若存在非奇異常數矩陣，使，則有，所以，即是非奇異矩陣或說的各列是線性無關的又，并注意到，有，即從而是方程的基解矩陣4設為方程（為常數矩陣）的標準基解矩陣（即），證明，其中為某一值證明 由于為常數矩陣，故在有定義、連續，從而它的解也在連續可導由為方程的基解矩陣，故，有，并且有，從而對某個，有，且，即亦為方程的基解矩陣由推論2*，存在一個非奇異常數矩

4、陣，使得在區間上，又因為，所以因此，其中為某一值5設分別為在區間上連續的矩陣和維列向量證明方程組存在且最多存在個線性無關解證明 設方程組的基解矩陣為，而是方程組的一個特解，則其通解為，其中是任意的常數列向量若不恒為0，則必與線性無關，從而，線性無關，即方程組存在個線性無關解又假若是方程組的任意一個解，則一定有確定的常數列向量，使得，將其加入，這一組向量就線性相關，故方程組的任何個解必線性相關從而方程組存在且最多存在個線性無關解6試證非齊線性微分方程組的疊加原理：設分別是方程組，的解，則是方程組的解證明 因為分別是方程組，的解，故，所以有，所以是方程組的解7考慮方程組，其中，試驗證是的基解矩陣；

5、試求的滿足初始條件的解證明，成立而，所以是的基解矩陣，這樣，由定理8，方程組滿足初始條件的解就是，對應的齊線性方程組滿足初始條件的解就是，所以，所求方程組的滿足初始條件的解為8試求，其中，滿足初始條件的解解 由上題知，且這里，所以，所求方程組的滿足初始條件的解為9試求下列方程的通解：，；解易知對應的齊線性方程的基本解組為，用公式（5.31）來求方程的一個解這時，取，有所以方程的通解為 由于特征方程的根是，故對應的齊線性方程的基本解組為，原方程的一個特解由公式（5.29）有（?。?，其中，所以，故通解特征方程，得到特征根，故對應的齊線性方程的基本解組為，取，由（5.31），得特解，所以得到通解10

6、給定方程，其中在上連續，試利用常數變易公式，證明：若在上有界，則上面方程的每一個解在上有界；若當時，則上面方程的每一個解，滿足（當時）證明 對應的特征方程有特征根，故對應的齊線性方程的基本解組，由公式（5.31）得原方程的一個特解（）為，所以方程的任一解可寫為由于在上有界，故，有又由于，從而當時，即方程的每一個解在上有界當時，故由知，若有界，則，若無界，由于在連續，故為無窮大量，因此，即總有同理從而對方程的每一個解，有11給定方程組，這里是區間上的連續矩陣設是它的一個基解矩陣，維向量函數在上連續，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （*）的連續解反之，（*）的連續解也是初值問題（*）

7、的解證明是初值問題（*）的解，故，這說明是的向量函數，于是由公式（5.27）得，即是積分方程組（*）的連續解反之，設是積分方程組（*）的連續解，則有，兩端對求導，就有，即也是初值問題（*）的解5.3 常系數線性微分方程組習題5.3 1假設是矩陣，試證：對任意的常數都有；對任意整數，都有（當是負整數時，規定證明因為 ，所以矩陣與可交換，故先證明，有，這只須對施以數學歸納法當時，成立，設當時，則當時，有，故對一切自然數，若是負整數，則，注意到，并由以上證明應用于矩陣，就有，由，對一切整數，均有2試證：如果是滿足初始條件的解，那么證明 由于 ，又，故是方程組滿足初始條件的解由解的唯一性，命題得證3試

8、計算下列矩陣的特征值與對應的特征向量； ； ； 解特征方程，特征值，對應于特征值的特征向量必須滿足方程組，得到，是對應于特征值的特征向量類似地可求得對應于特征值的特征向量為，其中的任意常數特征方程，特征值，對應于特征值的特征向量必須滿足方程組，得到，是對應于特征值的特征向量類似地，可以求出對應于特征值以與的特征向量分別為 （的任意常數）和 （的任意常數）特征方程，特征值，對應于特征值的特征向量必須滿足方程組，得，是對應于特征值的特征向量類似地，可以求出對應于特征值的特征向量為 （的任意常數）特征方程，特征值，由，推出，是對應于特征值的特征向量同樣可求得對應于特征值和的特征向量分別為（的任意常數

9、）和（的任意常數）4試求方程組的一個基解矩陣，并計算，其中為：； ； ； 解特征方程，得是特征值對應的特征向量分別為，為任意常數所以方程組的一個基解矩陣為由第3題立即得到方程組的一個基解矩陣為由第3題立即得到方程組的一個基解矩陣為特征方程，特征值為，對應的特征向量分別為，均為不等于零的任意常數故方程組的一個基解矩陣為由立即可得，其中列向量函數，（該題計算量太大，作為該法的習題不是太好?。?試求方程組的一個基解矩陣，并求滿足初始條件的解：，；，；，解由上題知，所以所求解為由上題知，其中所以所求解為由第3題知，矩陣的特征值為，對應于特征值的特征向量 （的任意常數）又由，得到 （是任意常數），由解出

10、依公式（5.52），得滿足初始條件的解為6試求方程組的解：，；，；，解由第4題知，由公式（5.61）得由第3題知的特征值，對應的特征向量分別為，其中均是不為零的任意常數的一個基解矩陣為，而由公式（5.61）得的特征方程，求解得特征值，對應的特征向量分別是，其中是不為零的任意常數所以方程組的一個基解矩陣為，從而，由公式（5.61）得7假設不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如，其中是常數向量證明 設方程組有形如的解，代入方程得，由此得，即因為不是矩陣的特征值，故，即矩陣可逆，得到唯一確定所以方程組有一解8給定方程組 試證上面方程組等價于方程組，其中，；試求中的方程組的基解矩陣；試求原方程

11、組滿足初始條件，的解解設，則原方程組化為或，即或反之，設，則方程組化為即 由，得矩陣的特征值，對應的特征向量分別為，其中均為不等于零的任意常數由此得的一個基解矩陣求與之等價的方程組，滿足初始條件的解，所以，原方程組滿足初始條件，的解為9試用Laplace變換法解第5題和第6題解5方程組兩邊取Laplace變換，有，即，由具體數值代入得方程組，根據Gramer法則得，所以，故初值問題5的解為5對方程組兩邊施行Laplace變換，并化簡有，用具體數值代入得方程組，根據Gramer法則得，所以，故初值問題5的解為5對方程組兩邊施行Laplace變換，并化簡有，用具體數值代入得方程組，根據Gramer法則得，所以，故初值問題5的解為6對方程組兩邊施行Laplace變換，得，即具體數據代入得，所以，故有，因而初值問題6的解為6對方程組兩邊施行Laplace變換，并化簡有，代入具體數值有，解得 ，所以得， ，因而初值問題6的解為6對方程組兩邊施行Laplace變換，并化簡有，代入具體數值有，解得，所以，故初值問題6的解為10求下列初值問題的解： ，； ，； ，解對方程組的每一個方程兩邊施行Laplace變換，得，解出，得到，所以初