1、方差分析(續)第四節 兩因素資料的方差分析兩因素資料的方差分析，又稱為雙向分組資料的方差分析很多情況下，我們需要設計兩種不同的因素同時作用于供試動物或在考慮某一因素對供試動物產生影響的同時，還需要考慮不同的環境情況這樣，當試驗結束后，數據的分析就必須進行兩因素（或稱雙向分類資料）的方差分析同時考慮的這兩個因素，我們分別稱之為因素 A 和因素 B，他們各有 a 個水平和 b 個水平有時候，因素 A 和因素 B 是同等重要的有時候，因素 B 是為了從總變異中分剖出環境因素而特意設置的在設計時，因素 A 和因素 B 相互交叉，形成 ab 個組合即：A 因素的每一個水平包含了 B 因素的所有水平B 因

2、素的每一個水平也包含了 A 因素的所有水平即：A 因素的各個水平與 B 因素的各個水平相逢一次，也只相逢一次例如：A 因素有 5個 水平，B 因素有 4 個水平，形成 54 = 20 個組合根據每一個組合內是一個獨立供試動物還是多個獨立供試動物，雙向分類資料又可分為組合內無重復觀測值和組合內有重復觀測值兩種情況一、組合內無重復觀測值的兩向分類資料的方差分析這種類型的資料結構是每一組合內僅一個獨立供試動物（獨立供試單位）其觀測值的數學模型為：這一模型的含義是：每一個觀測值 包含了總體平均值 ，同時還受 A 因素第 個水平的效應和 B因素第 個水平的效應，同時還具有一定的誤差 ：這一模型相應的數據

3、結構為： 因素 T ： ： T T 上頁的數據結構表中，T為求和，不同因素的和的下標不同兩因素無重復資料的方差分析應從 A 和 B 兩個方向進行，我們可以將這種結構看成是兩個單向資料的重合即：對 A 因素來說，有 a 個組（k = a），每一組有b 個觀測值（n = b）對 B 因素來說，有 b 個組（k = b），每一個組有 a個觀測值（n = a）因此我們可以直接用方差分析表來表示這種分剖的結果這里，無效假設有兩個：A：設 不全相等B：設 不全相等方差分析表變異來源 A因素B因素誤 差 T若 顯著，應對 A 因素各水平的平均值進行多重比較，其標準誤為：若 顯著，應對 B 因素各水平的平均值

4、進行多重比較，其標準誤為：下面我們以實例來說明具體分析的過程試驗 4 種藥物配伍（因素 A）對鰱魚腐皮病的治療效果，試驗在 5 個發病的漁場（因素 B）進行，每個漁場隨機抽取 4 個魚池，每個魚池隨機使用其中的一種藥物配伍，得如下治愈率，試比較這 4 種藥物配伍的治療效果藥物 漁 場配伍 76 82 83 79 77 83 89 92 87 84 73 77 80 72 80 81 82 79 85 87由于數據是百分率，因此應作轉換：轉換后的數據見下面這張表（為了分析方便，所有數據轉換后都擴大 100 倍）：藥物 魚 場配伍 106 113 115 109 107 115 123 128 1

5、20 116 102 107 111 101 111 112 113 109 117 120得如下一級數據：藥物 漁 場配伍 550 60560 110.0 3.87 602 72594 120.4 5.32 532 56696 106.4 4.77 571 65283 114.2 4.32 435 456 463 447 454 2255 255133 設 不全相等設 不全相等將上述數據填入方差分析表中：方差分析表變異來源藥物間 3 542.55 180.85 9.57* 3.49 5.95漁場間 4 112.50 28.125 1.49 3.26誤 差 12 226.70 18.892 T

6、 19 881.75對于 A因素，應否定無效假設，即不同的藥物配伍其治療鰱魚腐皮病的療效差異極顯著（p0.05）由于藥物配伍間差異極顯著（p1）個觀測值，整批資料共有 abn 個數據這種類型資料的數學模型為：數據結構見本書P104表7.3（請參看）任一觀測值 包含了總體效應 ，A 因子第 個水平的效應，B 因子第 個水平的效應，A 因子和B 因子第 、 個互作效應，及隨機誤差 ，隨機誤差這一類資料的方差分析表為：方差分析表變異 自由度 平方和 均方 F值來源 A a-1 B b-1AB (a-1)(b-1) e ab(n-1) T abn-1在這種類型資料的方差分析中，人們的注意力和興趣往往集

7、中于互作的檢驗上一般首先完成互作的 F 檢驗，如果互作部分的 F 檢驗顯著，可不再進行 A 因子、B 因子的檢驗（當然習慣上我們還是同時完成 A 因子、B 因子的檢驗），而對組合進行多重比較因為互作的重要性要遠大于單個因子的重要性，它所提供的信息量比單個因子要豐富得多因此，一般的試驗應當同時考察兩個因子一個試驗同時考察兩個因子，一是可以節省時間和財力，二是可以考察因子之間的關系，這種關系在單個因子的試驗中是考察不到的當互作不顯著，則分別檢驗 A 因子和 B 因子是否顯著，哪個因子顯著，就對哪個因子進行多重比較兩個因子都顯著，兩個因子都應當作多重比較考察兩個因子的試驗中，什麼時候在組合內設置重復

8、？一是當我們確認試驗所設置的 A 因子和 B 因子間的確存在互作，我們為了檢驗這種互作二是當我們無法肯定 A、B 因子之間是否存在互作，我們為了發現這種互作，必須設置重復三是為了防止可能存在的互作混雜到誤差項中去而無謂地擴大誤差，因此必須設置重復下面我們用實例來說明這一類型資料的方差分析試驗目的：作飼料增重試驗，同時考察蛋白質（因子 A）和磷（因子 B）的影響A 因子：高、中、低三種水平（a = 3）： ：高含量 ：中含量 ：低含量B 因子：二種形態（b = 2）： ：有機磷 ：無機磷每個組合內有 4 個重復（n = 4）：4水箱一齡青魚（每箱青魚的尾數相等）觀測指標：試驗期內的增重量試驗所得

9、數據結構見下表磷 蛋 白 質形態 9.62 8.68 6.15 7.86 4.93 5.59 9.31 9.97 7.38 7.05 6.10 5.46 =37.58 =28.44 =22.08 88.10 7.74 6.85 6.30 5.81 3.33 2.85 6.34 6.09 6.54 6.63 3.60 3.19 =27.02 =25.28 =12.97 65.27 64.60 53.72 35.05 =153.37 這是一張二維的數據表在計算一級數據時，應從最小單位開始，即首先計算組合的和，然后計算 A 和 B 因子各水平的和，最后計算總和在逐段計算各類和的時候，不要忘記同時計算

10、平方和、平均數做好上述準備工作后，即進行校正值、各類平方和及自由度的計算：各平方和：各自由度：蛋白質A：設 不全相等磷形態B：設 AB：設 不全相等方差分析表變異來源蛋白質（A） 55.8394 2 27.9197 92.48* 磷形態（B） 21.7170 1 21.7170 71.93* AB 3.8444 2 1.9222 6.38*誤差 5.4343 18 0.3019 T 86.8351 23三個無效假設均否定，接受三個備擇假設，即蛋白質的量、磷形態、蛋白質量與磷形態間的互作，差異均達極顯著水平這里，僅需對互作進行多重比較即可多重比較： 2 3 4 5 6 2.97 3.61 4.0

11、0 4.28 4.49 4.07 4.70 5.05 5.38 5.60 0.82 0.99 1.10 1.18 1.23 1.12 1.29 1.39 1.48 1.54（同學們先自行完成這一多重比較）將各組合的平均值按從大到小的次序排列：組合 0.05 0.01 9.40 a A 7.11 b B 6.76 b BC 6.32 bc BC 5.52 c C 3.24 d D （請同學們自行完成平均數表的設置）課堂練習：今有一個試驗，其數據分析為 F 值極顯著，請對資料的 6 個平均值進行多重比較： R 2 3 4 5 6LSR0.05 0.82 0.99 1.10 1.18 1.23LSR

12、0.01 1.12 1.29 1.39 1.48 1.54平均值：1：6.48 2：6.32 3：7.95 4：4.50 5：5.52 6：7.11這里我們介紹的是組合內的數據量是一樣多的情況當組合內數據量不一樣多時，可采用以下兩種方法進行方差分析：1、將每一組合內的數據截取為一樣多例如，有的組合是 5 個數據，有的為 7 個數據，最少的為 3 個，則可將所有組合均截為 3個數據（取每一組合的平均值周圍的數據）進行方差分析2、使用最小二乘方差分析法進行目前使用的統計軟件均為最小二乘方差分析法，這一方法可不考慮組合內樣本量的多少，甚至某一組合內為 0 都可以進行方差分析第五節 系統分組資料的方差

13、分析系統分組設計，又稱為巢式設計、樹狀設計、多因子嵌套設計其英文名稱為：nested design假設有 A、B 兩個因子，這兩個因子的搭配組成不再是上一節的交叉構成，而是 B 因子嵌套在 A 因子內，即 B 因子為次級因子：A 因子的某一個水平包含了 B 因子部分水平A 因子的另一個水平包含了 B 因子的另一部分水平即：B 因子的水平僅從屬于 A 因子的一個水平而 A 因子的水平并不包含 B 因子的所有水平如果有第三個因子 C，則 C 因子嵌套在 B 因子內如果有第四個因子 D，則 D 因子嵌套在 C 因子內以此類推其數據結構呈現樹狀結構如行政區劃，就是典型的系統結構：國家包含若干個省（A）

14、、一個省（A）包含若干個市（B）、一個市（B）包含若干個縣（C）、一個縣（C）包含若干個鎮（D）、一個鎮（D）包含若干個村（E）再如：畜牧生產中：一頭公畜（A）交配若干頭母畜、一頭母畜（B）生產若干頭仔畜、每頭仔畜（C）有若干次生產成績在這種數據結構中，各 因子的重要性是不完全相等的，下一級因子的重要性往往低于上一級因子 A1 Ai AaB11 B12 B1b Bi1 Bi2 Bib Ba1 Ba2 Bab C111 C112 C11c Ca11 Ca12 Ca1c A 因子稱為一級因子，B 因子稱為二級因子，因子之間是一種從屬關系，而非上一節 A、B 因子的交叉構成中所討論的那種平行關系 下

15、面我們寫出兩因子系統分組資料的數據結構：A因子 B因子 觀測值 B因子和 A因子和 T A1 B11 x111 x112 x11. B12 x121 x122 x12. x1.A2 B21 x211 x212 x21. B22 x221 x222 x22. x2.Ai Bi1 xi11 xi12 xi1. Bi2 xi21 xi22 xi2. xi.Ap Bp1 xp11 xp12 xp1. Bp2 xp21 xp22 xp2. xp. x根據這一數據結構我們可以寫出其數學模型：式中，為總體平均i為 A 因子第 i 個水平的效應ij為 A 因子第 i 個水平下的 B 因子第 j 個水平的效應i

16、jk為隨機誤差，且p為 A 因子的水平數；qi為第 i 個 A 因子水平下 B 因子的水平數；nij為第 i 個 A 水平中第 j 個 B 水平中的觀測值下面我們先介紹兩個概念：固定因子（fixed factor）：如果一個試驗中，某一因子的水平是我們有目的地挑選的，因而我們只是希望將這幾個水平進行比較，也只是希望知道這幾個水平的差異，并不將分析結果引申到其他水平，這樣的因子就是固定因子，固定因子的水平所產生的效應就是固定效應（fixed effect）隨機因子（random factor）：如果一個因子的各個水平是從這因子的所有水平中隨機挑選出來的，我們的試驗目的是希望通過這幾個水平的差異情

17、況了解整個因子的變異情況，即對這一因子的方差進行檢驗和估計，從而知道這一因子的方差組分，這樣的因子就是隨機因子，隨機因子的各個水平所產生的效應就是隨機效應（random effect）在數學模型 中：如果 A、B 兩個因子所產生的效應都是固定效應，這樣的數學模型就是固定效應模型（簡稱固定模型 fixed model），我們的檢驗目的是希望比較這一因子各參與試驗的水平之間的差異固定模型中，我們總假定：如果 A、B 兩因子所產生的效應都是隨機效應，這樣的數學模型就是隨機模型（random model），我們的檢驗目的是希望知道每個因子的不同水平效應的方差2 和2 是否為 0兩因子各個水平的效應之間

18、相互獨立A 因子和 B 因子效應之間也相互獨立且:如果兩個因子，一個為固定因子（如 A 因子），另一個為隨機因子（如 B 因子），由這樣的兩個因子組成的數學模型即為混合模型（mixed model），我們的檢驗目的是：A 因子各水平之間是否存在差異B 因子不同水平效應的方差2是否為 0這時：且不同的ij彼此獨立我們在上一節討論的兩因子（A、B因子）交叉分組資料也有固定模型、隨機模型、混合模型之分，但在一般情況下，這種分組資料更多的是固定模型，因此其方差分析方法是固定效應的分析而系統分組資料則三種模型都有系統分組資料常見于數量遺傳學、動物育種學中此時我們往往希望通過方差組分的計算估計遺傳參數，從

19、而進行數量遺傳學的研究但系統分組資料進行固定效應的估計也是常見的下面我們給出平方和與自由度的剖分公式：每一觀測值的總離均差平方為：等式兩邊求和（各乘積項的和均為 0 ） 上式中，右手第二項稱為 A因子內 B因子水平間 SS 為 A 因子第 i 個水平中的觀測值個數上一頁的僅為推導的理論公式在實際計算時，我們使用以下公式（從理論公式如何到下面的實際計算公式，同學們應當很清楚了）校正值：總平方和：A因子平方和：B因子平方和：A 因子內 B 因子水平間平方和：誤差平方和：相應的自由度： 相應的均方：根據試驗的要求不同，次級及次級內觀測值可分為重復數相等和不等兩種情況下面我們以例題來說明具體的分析方法

20、一、次級樣本含量相等的系統分組資料例1：對鯉魚進行選育，考察 4 個鯉魚品種 B，每個品種選擇 2 個家系 F，每個家系考察 3 尾雌性親魚的平均后代增重xijk，得數據如下表（數據已經過了簡化）B F xijk F B F SS F B B 后代增重 后代 后代 和 平均 和 平均1 1 2.2 2.3 2.0 3 6.5 14.13 2.17 2 2.0 2.1 2.3 3 6 6.4 13.70 2.13 12.9 2.152 3 1.6 1.5 1.7 3 4.8 7.70 1.60 4 1.8 2.0 1.7 3 6 5.5 10.13 1.83 10.3 1.723 5 2.6 2

21、.5 2.2 3 7.3 17.85 2.43 6 2.4 2.4 2.2 3 6 7.0 16.36 2.33 14.3 2.38 4 7 1.8 1.5 1.7 3 5.0 8.38 1.67 8 1.5 1.6 1.4 3 6 4.5 6.77 1.50 9.5 1.58 24 24 47.0 95.02 47 上表中，p = 4，q = 2，n = 3 N = 24校正值 C = 92.0417SST = (2.22+2.32+.1.42) - C = 95.02 - C = 2.9783SSB = (12.92+9.52)/6 - C = 94.54 - C = 2.4983 （一級

22、樣本間）SSF(B) = (6.52+4.52)/3 - (12.92+9.52)/6 = 94.68 - 94.54 = 0.14 （二級樣本間）SSe = SST SSS - SSD(S) = 2.9783 - 2.4983 -0.14 = 0.34自由度：dfT = 423 1 = 23dfB = 4 1 = 3dfF(B) = 4 (2 - 1) = 4dfe = 42(3 - 1) = 16 將平方和及自由度填入方差分析表中，并計算各均方和 F 值：方差分析表：變異來源 SS df MS F F0.05 F0.01品種間B 2.4983 3 0.8328 23.79* 6.59 16

23、.69(公豬內)家系間F 0.14 4 0.035 1.64 3.01誤 差e 0.34 16 0.02125 T 2.9783 23 上述計算中，即：兩個不同級別的 F 值均由下一級的 MS 作為比較標準，而不再是統一由誤差項均方作為比較標準而查 F所用的自由度也應作相應的變動，即：FB的自由度分別為 df1=3，df2=4FF的自由度分別為 df1=4，df2=16由于不同品種間的增重差異極顯著，而家系間差異不顯著，因此，應對品種（一級樣本）作多重比較： R 2 3 4 品種 0.05 0.01 q0.05 3.93 5.00 5.76 3 2.38 a A q0.01 6.51 8.12

24、 9.17 1 2.15 a ABLSR0.05 0.30 0.38 0.44 2 1.72 b BLSR0.01 0.50 0.62 0.70 4 1.58 b B如果家系間差異亦顯著，則應當對家系進行多重比較，比較時的標準誤以誤差項均方為分子，每個家系的樣本量為分母進行計算查 q 表時用誤差項自由度本例中，我們將品種、家系均作為固定因子處理，因此其模型為固定模型如果是估計遺傳參數，則品種、家系均為隨機因子，則模型為隨機模型當然也可以將品種作為隨機因子，家系作為固定因子處理，則模型為混合模型處理實際數據資料時，樣本量肯定要大得多，本例僅是一個說明統計方法的例子而已二、次級樣本含量不等的系統分

25、組資料我們還以例子來說明統計方法調查 3 個縣的漁業情況，各縣抽取若干個鄉鎮，每個鄉鎮抽取若干個調查樣點，得漁業產值（為了方便計算，數據已經過簡化）如下，試進行分析縣別 鄉別 各樣點觀測值 鄉樣 縣樣 鄉和 平方和 鄉平均 縣和 縣平均一級 二級 點數 點數 A B nij ni. Tij xij Ti xi 1 21 19 21 18 20 5 99 1967 19.8 1 2 16 18 18 3 52 904 17.3 3 18 19 20 18 4 12 75 1409 18.75 226 18.83 2 4 16 14 16 13 15 14 6 88 1298 14.7 5 17

26、16 15 17 4 10 65 1059 16.25 153 15.30 6 15 18 16 17 15 5 81 1319 16.2 3 7 16 14 17 15 15 13 6 90 1360 15 8 17 18 18 3 14 53 937 17.7 224 16.0 36 36 603 10253 603將原始數據整理成表，并計算右邊的一級數據，與左邊連成一個表此例中：p = 3 為一級樣本數q1 = 3，q2 = 2，q3 = 3 為二級樣本數n11 = 5，n12 = 3，n33 = 3 得：n1 = 12，n2 = 10，n3 = 14 校正值 C = 10100.25

27、設立無效假設（此處略，該如何設立？）建立方差分析表變異來源 SS df MS F F0.05 F0.01縣別間 A 80.98 2 40.49 6.33* 5.79 13.27鄉別間 B 32.00 5 6.40 4.51* 2.56 3.76誤 差 39.77 28 1.42 T 152.75 35其中：由于縣、鄉兩級分別為顯著、極顯著，因此應分別作多重比較首先對縣進行多重比較，各縣的樣本量不等，因此先求k1:然后求SE： R 2 3 q0.05 3.61 4.54 q0.01 5.70 6.97 LSR0.05 2.65 3.33 LSR0.01 4.18 5.11縣別 0.05 0.01

28、 1 18.83 a A 3 16.0 b A 2 15.30 b A 對鄉別進行多重比較：首先求k2：然后求SE： R 2 3 4 5 6 7 8 q0.05 2.90 3.49 3.86 4.13 4.32 4.48 4.62 q0.01 3.91 4.48 4.84 5.09 5.28 5.44 5.58LSR0.05 1.67 2.00 2.21 2.37 2.47 2.57 2.65 LSR0.01 2.24 2.57 2.77 2.92 3.02 3.12 3.20多重比較表：鄉別 0.05 0.01 1 19.8 a A 3 18.75 ab AB 8 17.67 bc ABC

29、2 17.30 bc ABC 5 16.25 cd BC 6 16.20 cd BC 7 15.00 d C 4 14.67 d C請同學們自行作兩個平均值表或平均值圖可能大家都注意到了：在上面兩個例子中我們并沒有用到隨機因子和固定因子這兩個概念，這是因為我們這里僅僅進行了普通的方差分析，而沒有涉及到遺傳參數的分析，因此這里的因子都是固定因子，其所涉及的數學模型就都是固定模型在第一例中如果我們需要分析公豬和母豬在后代增重這一性狀方面的遺傳參數，就要將其作為隨機模型或混合模型，從而計算方差組分，進而估計遺傳參數思考與習題：1、試驗不同的餅類飼料的養魚效果，得如下數據，試作方差分析： 豆餅 菜餅

30、棉餅 花生餅 湖泊 5.4 4.8 3.7 4.5 水庫 5.5 5.0 4.1 4.6 河道 5.1 4.5 4.2 4.8 魚池 5.9 5.7 4.8 5.0 稻田 5.8 5.3 3.9 4.52、不同給食率和不同的飼料劑型都對魚的產量會產生影響，用莫桑比克羅非魚作網箱養殖試驗，得如下數據（試驗指標：凈產kg/m2），試分析 低給食率 中等給食率 高給食率 濕團狀料 14.15 13.26 15.80 15.32 16.32 16.88 15.23 15.98 17.54干 料 15.63 15.54 17.20 17.65 19.56 19.24 16.01 18.32 18.78顆 粒 料 15.24 15.89 16.74 18.45 20.88 21.56 14.58 18.01 21.42膨 化 料 15.87 16.54 19.55 20.45 23.44 24.17 16.71 20.89 23.873、在草魚餌料內添加不同百分率的尿素，使用不同的餌料加工方法，試驗對草魚的增產效果，所得日增重如下，試作分析 0% 4.0% 8.0%一次成型