1、 2016年普通高等學校招生全國統一考試(四川卷)數學(文科)第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1)【2016年四川，文1,5分】設i為虛數單位，則復數(1+i)2=()(A)(x|1x3(B)xI-1x1(C)x11x2(D)x12x3)答案】C【解析】試題分析：由題意，(1+i)2=1+2i+i2=2i，故選C.【點評】本題考查了復數的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.2016年四川，文2，5分】設集合A=x|1x1且y1，q:實數x，y滿足x+y2，則p是q的()(A)充分不必要條件(B)必要不充

2、分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件答案】A【解析】由題意，x1且y1，則x+y2，而當x+y2時不能得出，x1且y1.故p是q的充分不必要條件，故選A.點評】本題考查了不等式的性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.2016年四川卷，文6，5分】已知a函數f(x)=x3-12x的極小值點，則a=(A)4(B)2(C)4(D)2答案】D【解析】廣(x)二3x212=3(x+2)(x-2),令廣(x)=0得x=2或x=2，易得f(x)在(2,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，故f(x)極小值為f(2),由已知得a=2，故選D.點評】考查函數極小值點的定義

3、，以及根據導數符號判斷函數極值點的方法及過程，要熟悉二次函數的圖象.7)2016年四川，文7，5分】某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發獎金投入。若該公司2015年全年投入研發獎金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發獎金比上一年增長12，則該公司全年投入的研發獎金開始超過200萬元的年份是()(參考數據：lgl.12二0.05,lgl.3二0.11,lg2二0.30)(A)2018年(B)2019年(02020年(D)2021年【答案】B【解析】設從2015年后第n年該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元，由已知得130 x(1+12%)n200,200、丄寸e、也./口1v1200lg2

4、lg1.30.30.11.1.12n，兩邊取吊用對數得nlg1.12lg,/.n=3.8,/.n4,130130lg1.120.05【點評】本題考查了等比數列的通項公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.(8)【2016年四川，文8,5分】秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州(現四川省安岳縣)人，他在所著的數書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例。若輸入n,x的值分別為3,2.則)(B)20故選B.v=l輸出v的值為(A)35答案】C【解析】初始值n二3,(C)18(D)9rfz-1x二2，程序

5、運行過程如下表所示v二1,i二2,i二0,v二9x2+0二18,i二1，跳出循環,v二1x2+2二4,i二1,輸出v二18，故選C.v二4x2+1二9,【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環次數不多，或有規律可循時，可采用模擬程序法進行解答._(9)【2016年四川，文9,5分】已知正三角形ABC的邊長為2占，平面ABC內的動點P,ap二1,PM=Me，則BM2的最大值是()M滿足i=f-lFp=nr+Jr二49(B)竺4(A)434【答案】B【解析】如圖所示，建立直角坐標系.B(0,0),點M的軌跡方程為：(-爲)+(yee0,2兀).又PM_Me，貝ym一晶2(31+-sine122丿

6、(C)37+634(D)_+cos。122丿BM2的最大值是49，故選B.4【點評】本題考查了數量積運算性質、圓的參數方程、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.lnx,0 x1,r圖象上點P,P處的切線,lnx,x1,12l與l垂直相交于點P，且l,分別與y軸相交于點A,B，則APAB的面積的取值范圍是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+s)【答案】ABM(10)【2016年四川，文10,5分】設直線l,l分別是函數f(x)斗12(D)(1,+s)【解析】解法1：設P(x,y),P(x,y)(xx)，易知x1，x1，k_丄，k1112221212$xl1y_-藝+

7、1lnx，l:y_丄x+lnx1，與y軸的父點為(0,1lnx),(0,lnx1)，設a_x1，則父點橫x12x2122122122坐標為一1，與y軸的交點為(0,lna+1),(0,lna1)，則SAPAB_x2x亍_亍a+a+a+aaa2.xx=1，則直線l：121，故SG(0,1)APAB解法2：特殊值法，若x_x_1，可算出S_1，丁x幻，故S豐1，排除BC；12APABAPAB出S1，故選A,故選A.APAB令x1二2,x2二2，算【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用基本不等式求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，屬中檔題.第II卷(共100分)、填空題：

8、本大題共5小題，每小題5分(11)【2016年四川，文11,5分】sin750P=【答案】12【解析】由三角函數誘導公式sin750。=sin(720。+30。)=sin30o=【點評】本題考查運用誘導公式化簡求值，著重考查終邊相同角的誘導公式及特殊角的三角函數值,屬于基礎題.(12)2016年四川，文12,5分】已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是【答案】巴3【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且底面積為S=x2：3x1=*3，高為1,_2三棱錐的體積為V=Sh=1x3x1=*-.333【點評】本題考查了棱錐的三視圖和體積計算，是基礎題.(13)【2016年四川，文13，5

9、分】從2、3、8、9任取兩個不同的數值，分別記為a、b，則logb為整數的概a【答案】16【解析】從2，3，8，9中任取兩個數記為a,b，作為作為對數的底數與真數，共有A2=12個不同的基本事件,421其中為整數的只有log&log9兩個基本事件，所以其概率P=-.23126【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用.(14)【2016年四川，文14，5分】若函數f(x)是定義R上的周期為2的奇函數，當0 x1時，f(x)=4x，則f(一2+f(2)=V2丿【答案】-2【解析】函數f(x)是定義R上的周期為2的奇函數，當0 x0.5,：中位數應在(2,2.5組

10、內，設出未知數x，令0.08x0.5+0.16x0.5+0.30 x0.5+0.42x0.5+0.52x=0.5，解得x=0.038；.:中位數是2+0.038=2.038.【點評】本題用樣本估計總體，是研究統計問題的一個基本思想方法.頻率分布直方圖中小長方形的面積=組距xjg，各個矩形面積之和等于】，能根據直方圖求眾數和中位數，屬于常規題型.2016年四川，文17,12分】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄CD，AD/BC，ZADC=ZPAB=90。，CBC=CD=1AD.2在平面PAD內找一點M，使得直線CM/平面PAB，并說明理由；證明：平面PAB丄平面PBD.解：(1)解法1:M為P

11、D的中點，直線CM/平面PAB.取AD的中點E，連接CM，ME，CE，則ME/PA，7ME匸平面PAB，PAu平面PAB，AME/平面PAB.7AD/BC，BC=AE，AABCE是平行四邊形，ACE/AB.7CE匸平面PAB，ABu平面PAB，ACE/平面PAB.7MEPICE=E.平面CME/平面PAB，7CMu平面CME,ACM/平面PAB.解法2：取棱AD的中點M(Mw平面PAD),點M即為所求的一個點.理由如下：因為AD/BC,BC=1AD,2所以BC/AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM/AB.又ABu平面PAB,CM匸平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是

12、直線MN上任意一點).(2)7PA丄CD,ZPAB=90。,AB與CD相交，APA丄平面ABCD,7BDu平面ABCD,APA丄BD,由(1)及BC=CD=1AD，可得ZBAD=ZBDA=45。,AZABD=90。，：BD丄AB,7PApAB=A,2ABD丄平面PAB,7BDu平面PBD,A平面PAB丄平面PBD.【點評】本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題.(18)【2016年四川，文18,12分】在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，且+竺=里匹.(1)證明：sinAsinB=sinC；2 (2)若b2

13、+c2一a2=be，求tanB.5解：(1)由正弦定理宀=丄，可知原式可以化解為空+C0SB=SinC=1，丁A和B為三角形內sinAsinBsinCsinAsinBsinC角，：sinAsinB豐0，則兩邊同時乘以sinAsinB，可得sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB,由和角公式可知，sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sin(兀C)=sinC，原式得證.cosA3cosAcosBsinCcosB11sinA4sinAsinBsinCsinBtanB4cosB1由題b2+a2=5be，根據余弦定理可知，cosA=迸嚴=5，A為為三角形內角，A弘兀)，si

14、nA0，貝UsinA=：tanB=4.【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，三角形面積公式的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題.(19)【2016年四川，文19，12分】已知數列a的首項為1，S為數列a的前n項和，S=S+1，其中TOC o 1-5 h znnnn+1nq0，ngN+.若a，a，a+a成等差數列，求數列a的通項公式； HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 2323n設雙曲線x2-蘭=1的離心率為e，且e=2，求e2+e2+.+e2.a2n212nn解：(1)由已知，S+=qS+1,S+=qS

15、+1,兩式相減得到a十=qa+,n1.又由S=qS+1得到a=qa，n1nn2n1n2n12121故aqa對所有n1都成立所以，數列a是首項為1，公比為q的等比數列從而a=q1.n1nnn由a，a，a+a成等差數列，可得2a=a+aa，所以a=2a,，故q=2所以a=2n1(nEN*).2323322332n(2)由(1)可知，a=qn一1.所以雙曲線x2蘭1的離心率e=冷；1+a2=+q2(廠1).na2nnn由e1+q2=2解得q=込.所以，e2+e2+e2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(1)212nq2n一11=n+1+q2+2(廠i)=nn(3n1).q212【點評】本題考查數列

16、的遞推公式以及數列的求和，涉及雙曲線的簡單幾何性質，注意題目中q0這一條件.(20)【2016年四川，文20，13分】已知橢圓E:蘭+蘭=1(ab0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形a2b2的三個頂點，點P巧,1在橢圓E上.(2丿球橢圓E的方程；設不過原點O且斜率為1的直線1與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM2與橢圓e交于c，D，證明：mb|=|mc|-ImD.解：(1)由已知，a=2b又橢圓丈+a2b2蘭=l(ab0)過點P4i,2；1一4一加+234/7故x2+y2=141y=x+m所以橢圓E的方程+y2=設直線1的方程為y=2x+m(m豐)，AWyi)，B%y

17、i)，由方程組0，即2-m20, 解得-丫2m:2.由得x+x=-2m,12xx=2m2一2.12所以M點坐標為f-m,尬I2丿直線om方程為y=_和，由方程組1時，g(x)0；確定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在區間(1,+8)內恒成立.f,(x)=2ax-丄=2爐二-(x0).當a0時，廣(x)0時，xx由f，(x)=0，由f，(x)=0，有x=2a時，廣(x)0，f(x)單調遞增.令s(x)=ex-1-x，貝9s，(x)=ex-1一1.當x1時，s(x)0，所以ex-1x，從而g(x)=丄0.xex-1由(2),當x1時，g(x)0.當a1時，f(x)=ax2-1)-lnxg(x)在區11間(l,+8)內恒