1、第六章 定積分求總量的問題教學目標（1）理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質；（2）了解微積分基本定理，掌握牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法和分部積分法；（3）了解反常積分的概念，會求無窮限區間上的反常積分；（4）了解定積分中所蘊含的辯證法和李善蘭的貢獻；教學重點：定積分的概念和性質、微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法、定積分在幾何學中的應用；教學難點：定積分的概念、定積分的換元積分法和分部積分法、非正常積分、微元法、定積分在幾何學中的應用；教學時數：8學時；1特殊和式的極限定積分的概念2計算定積分的一般方法微積分基本定理3定積分的拓展非正常積分4定積分的魅力顯示在若干學科中 的應

2、用數學家啟示錄教學內容：1. 1抽象定積分概念的兩個現實原型原型 求曲邊梯形的面積 設f(x)為閉區間 a, b上的連續函數, 且f(x)0. 由曲線y = f(x), 直線x = a、x = b 以及 x 軸所圍成的平面圖形(圖6. 1)稱為f(x) 在 a, b上的曲邊梯形的面積s. xya=x 0b=x 0y=f(x)(圖6. 1)設質點 m 受力 F 的作用沿 x 軸由點a 移動至點b , 并設 F平行于 x 軸(圖6. 2). 如果F是常量, 則它對質點所作的功為W=F(b-a)如果力 F不是常量, 而是質點所在位置x 的連續函數那么F 對質點 m 所作的功W應如何計算呢?我們仍按求

3、曲邊梯形面積的思想方法來進行. 原型 求變力所作的功. oFab圖6. 2定義 設 f(x) 是定義在區間 a, b 上的有界函數, 用點 將區間 a, b 任意分割成 n 個子區間 xi-1, xi (i=1, 2, , n)，這些子區間及其長度均記作 xi =xi -xi-1 (i=1, 2, , n). 在每個子區間 xi 上任取一點 , 作 n 個乘積 的和式 ，1. 2定積分的概念 如果當 , 同時最大子區間的長度 時, 和式 的極限存在, 并且其極限與區間a, b 的分割法以及 的取法無關, 則該極限值稱為函數 f(x) 在區間 a, b 上的定積分, 記作 即 .在連續變力F (

4、x) 作用下, 質點m 沿x 軸從點 a 位移到點b 所作的功為F (x) 在a, b 上的定積分, 即定積分存在稱為可積, 否則稱為不可積. 原型和的問題可以簡潔地表述為: 連續曲線y=f(x) 0 在a, b 上構成的曲邊梯形的面積為函數 y=f(x) 在a, b 上的定積分, 即定積分的幾何意義當 f（x）0 時, 定積分的幾何意義就是以曲線y=f（x）, 直線 x=a、x=b以及x 軸為邊的曲邊梯形的面積S；如圖6. 3所示11但若 f（x）0 , 由定積分的意義可知, 這時S為負值. 對于一般函數f（x）而言, 定積分S的值則是曲線在x 軸上方部分的正面積與下方部分的負面積的代數和.

5、 1. 3求定積分過程中的辨證思維無論是求曲邊梯形的面積, 還是求變力作功, 初等數學都無法解決, 而高等數學可迎刃而解，奧妙在于高數的最主要部分（微積分）本質上式辯證法在數學方面的應用. 定積分中的極限方法可以使有關常量與變量、變與不變等矛盾的對立雙方相互轉化, 從而化未知為已知, 體現了對立統一法則. 同時也體現了否定之否定法則. 1. 4可積條件定理1 （可積的必要條件） 若函數f（x）在a, b 上可積, 則 f（x） 在 a, b 上有界. 定理2 （可積的充分條件） 若 f（x） 是閉區間a, b 上的連續函數, 或者是閉區間a, b 上的單調函數, 或者是a, b 上只有有限個間

6、斷點的有界函數, 則f（x） 在a, b 上可積. 定理3 （對積分區間的可加性）有界函數f（x） 在a, c、c, b 上都可積的充要條件是 f（x） 在a, b 上可積, 且定理2 若 f（x）、 g（x） 在a, b 上可積, 則f（x） g（x） 在a, b 上也可積, 且定理1 若f（x）在 a, b上可積, k為常數, 則kf（x） 在a, b 上也可積, 且1. 5定積分的性質定理5 （有界性）設 m, M 分別是 f（x） 在a, b 上的最小值和最大值. 若f（x）在a, b 上可積, 則定理4 （保序性）設f（x） 與g（x） 為定義在a, b 上的兩個可積函數. 若f（x

7、） g（x）, 則 定理6（定積分的絕對值不等式） 若f（x）在 a, b上可積, 則 在 a, b上也可積, 且 定理7（積分中值定理）若函數f（x）在 a, b上連續, 則在 a, b上至少存在一點 , 使得作業必作題： 用定積分的定義計算 選作題： 習題6第一題. 思考題 定積分的定義中主要體現的數學思想是什么？ 定理1 若函數f（x）在 a, b上連續, 則由變上限定積分定義的函數在 a, b 上可導, 且2. 1微積分基本定理即函數 是被積函數f（x）在 a, b上的一個原函數. 也是f(x)的一個原函數, 而這兩個原函數之差為某個常數, 所以證已知函數F(x)是連續函數f(x)的一

8、個原函數, 又根據定理1, 在上式中令x = b, 就得到所要證明的公式得 C = F(a). 于是定理2設f(x)在a, b上連續, 若F(x)是f(x)在a, b上的一個原函數, 則(6. 7) 稱為牛頓萊布尼茨公式 若令x = a, 則因由于 是 的一個原函數, 應用公式(6. 7)有例1 計算解2. 1定積分的換元積分法和分部積分法定理1 （定積分換元積分法）若函數f(x)在a, b上連續, 函數 滿足下列條件：（2）在 上有連續導數 ，則有定積分換元公式（1） x=asint , t0, , 則 dx=acostdt . 當t 從 0 變到 時, x 從 0 遞增到a , 故取 應用

9、公式（6. 8）, 并注意到在第一象限中cost0, 則有例2計算解 令解 令 u=sint , 則 du=costdt. 當t 由0 變到 時, u從0 遞增到1. 應用換元公式(6. 8)有例3 計算 定理2（定積分分部積分法）若 u, v是a, b 上具有連續導數的函數, 則例5計算 例4計算 解解 作業必作題 習題6 第二題、第四題、第五題. 選作題 習題6第三題. 思考題 1、定積分的換元積分法中應注意的事項？ 2、微積分的基本定理主要解決了定積分的什么問題？ 定義：設函數f(x)定義在無窮區間a, +)上, 且在任何有限區間a, A 上可積, 如果存在極限則稱此極限J為函數f（x）

10、在a, +)上的無窮限反常積分, 簡稱無窮限積分, 記作J=3定積分的拓展非正常積分并稱 收斂. 如果極限不存在, 則稱無窮限積分 發散. 無窮限積分的幾何意義若f(x)0 , 則 無窮限積分 收斂的幾何意義是, 圖(6. 7)中介于曲線 y=f(x) 、直線x=a 及 x 軸之間向右無限延伸的陰影區域有面積, 并以極限的值作為它的面積. 解 任取實數a , 討論如下兩個無窮限積分： 例 討論積分 由于因此, 該積分收斂, 且與的斂散性思考題 檢查下面計算過程對不對？為什么？請給出正確解法. 314 定積分魅力的顯示的在若干學科中的應用4. 1 定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決 ?

11、二 、如何應用定積分解決問題 ? 一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積解決步驟 :1) 大化小.在區間 a , b 中任意插入 n 1 個分點用直線將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得3) 近似和.4) 取極限.令則曲邊梯形面積2. 變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內物體所經過的路程 s.解決步驟:1) 大化小.將它分成在每個小段上物體經2) 常代變.得已知速度n 個小段過的路程為3) 近似和

12、.4) 取極限 .上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結構式相同: 特殊乘積和式的極限表示為一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區間a , b上的某分布 f (x) 有關的2) U 對區間 a , b 具有可加性 ,即可通過“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”定積分定義一個整體量 ;二 、如何應用定積分解決問題 ?第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達式第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達式這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 )元素的幾何形狀常取

13、為: 條, 帶, 段, 環, 扇, 片, 殼 等近似值精確值第二節 4. 2在幾何學中的應用平面圖形的面積由截面面積求立體體積平面圖形的面積一般地, 求由兩條連續曲線y=f（x）（x0）及直線x=a, x=b（ab）所圍成的平面圖形的面積, 如圖（圖6. 8）所示, 可在區間a, b 內任取兩點x, x+dx, 作出圖中的陰影矩形, 則面積微元為xyoabxx+dxy=f(x)y=g(x)圖6. 8 于是所求面積為 例1 求由正弦曲線y=sinx 與直線 x=0, y=0及 x= 所圍成圖形的面積. oxyy=sinx圖6. 9 首先畫草圖(圖6. 9), 解其面積為例2 求拋物線 與直線x-

14、2y-3=0所圍的平面圖形的面積. 求出拋物線與直線的交點P（1, -10）與Q（9, 3）, 把平面圖形分成 兩部分, -1os1 S 2p91xy圖6. 10解首先畫草圖(圖6. 10), 則有于是由截面面積求立體體積設 為一空間立體, 它夾在垂直于x軸的兩平面x=a 及x=b之間（ab） (圖6. 11), 求其體積V. 現用微元法導出由截面面積函數求空間立體體積的公式. 在a, b 內任取相鄰兩點x 與x+dx, 過這兩點分別作垂直于x軸的平面, 則從 上截出一薄片. 設x 處截面面積函數為A(x ), 由于A(x ) 的連續性, 當dx 很小時, 以底面積為A(x ), 高為dx 的

15、薄柱體體積就是體積微元 dV=A（x）dx. 它是薄片的體積 V 的近似值, 即V dV=A(x)dx從而有例. 計算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉而轉而成的橢球體的體積. 解: 利用直角坐標方程則(利用對稱性)4. 3在物理學中的應用變力作功設物體在變力y=f(x) 作用下, 沿x 軸正向從點a移動到點 b , 求它所作的功W. 在a, b上任取相鄰兩點x和x+dx, 則力f(x)所作的微功為dW=f(x)dx, 于是得例4 根據虎克定律, 彈簧的彈力與形變的長度成正比. 已知汽車車廂下的減震彈簧壓縮1cm 需力14000N, 求彈簧壓縮2cm 時所作的功. 解 由題意, 彈簧的彈力為f（x）

16、=kx ( k 為比例常數), 當x=0. 01 m時f(0. 01)=k0. 01=1. 410000N, 由此知 k=14000000, 故彈力為f(x)=1400000 x. 于是即彈簧壓縮2cm時所作的功為280J. 作業 必作題 習題六第七題 思考題 微元法體現的辨證思想方法是什么？微積分學在中國的最早傳播人李善蘭 李善蘭（18111882）是我國清代數學家, 原名心蘭, 字壬叔, 號秋紉, 浙江海寧縣硤石鎮人. 他曾任蘇州府幕僚, 1868年被清政府諭召到北京認同文館數學教授, 執教13年. 李善蘭對尖錐求積術、三角函數與對數的冪級數展開式、高階等差級數求和等都有突出的研究；在素數

17、論方面也有杰出成就, 提出了判別素數的重要法則. 他對有關二項式定理系數的恒等式也進行了深入研究, 曾取各家級數論之長, 歸納出以他的名字命名的“李善蘭恒等式”. 李善蘭一生著作頗豐, 主要論著有方圓闡幽、弧矢啟秘、對數探源、垛積比類、四元解、麟德術解、橢圓正術解、橢圓新術、橢圓拾遺、火器真訣、對數尖錐變法釋、級數回求和天算或問等. 李善蘭不僅在數學研究上有很深造詣, 而且在代數學、微積分學的傳播上作出了不朽的貢獻. 1852年至1859年間, 他與英國傳教士偉烈亞力合作翻譯出版了三部著作：幾何原本 后9卷, 英國數學家德摩根 代數拾級18卷、談天18卷. 與英人艾約瑟合作翻譯了圓錐曲線說3卷、 重學20卷等, 其中大部分譯著, 例如代數學、代微拾級等都分別是中國出版的第一部代數學、解析幾何學、微積分學. 李善蘭不懂外語, 由偉烈亞力口譯,