1、代數部分交作業郵箱： 1多項式的表達與計算多項式的表達用多項式的系數組成的行向量來表達多項式，如果有缺項，輸入時用0作為缺項的系數。例 輸入多項式 p=1 0 2 3 9以慣用的方式表示上述多項式y=poly2str(p,x)2多項式的運算多項式a與b之和、差：a+b, a-b （a, b表示多項式對應的系數向量）多項式a與b乘積：conv(a,b) 多項式a除以b：q,r=deconv(a,b) 商是q, 余式是r3例 求兩個多項式的和、差、乘積和除法運算，并用習慣形式表達a=1 7 16 18 8;b=0 0 0 1 3;a+by1=poly2str(a+b,x)a-by2=poly2st

2、r(a-b,x)conv(a,b)q,r=deconv(a,b)如果改成下述命令呢？a=1 7 16 18 8;b=1 3;4計算多項式a的變量在點x處的值：polyval(a,x)，x可以是向量，也可以是矩陣，計算結果是與x同維的向量或矩陣。例 求多項式3*x2+2*x+1在x=1,4,5,8時的值p=3,2,1;x=1,4,5,8;polyval(p,x)5對有理分式求導數：num, den=polyder(p1,p2), p1 是有理分式的分子，p2是有理分式的分母，num 是導數的分子，den是導數的分母。例 p1=1 1 -6 2 0 4 p2=1 4 1 -7 num, den=p

3、olyder(p1,p2); d1=poly2str(num,x) d2=poly2str(den,x)6代數式的符號運算factor(s): 對s定義的多項式因式分解expand(s) 對s定義的多項式展開collect(s,x) 對s定義的多項式中x的同類項合并simple(s) 對s定義的多項式化簡subs(s,old,new) 用變量old替換new后，s的結果7例 對多項式a3-b3進行因式分解s=sym(a3-b3 )y=factor(s)例 設多項式s=(1+2*x-y)2,求其展開的多項式，并按y的冪次合并形式展開多項式s=sym(1+2*x-y)2)p=expand(s)co

4、llect(p,y)8例 對多項式x3-6*x2+11*x-6進行因式分解，并求x=1時的函數值s=sym(x3-6*x2+11*x-6)y=factor(s)z=subs(s,x,1)vpa(z) %給出數值型計算結果9求多項式方程的根roots(p) 求多項式p的所有的根solve(s,x) 對方程s關于變量x求解x1,x2,xn=solve(s1,s2,sn,x1,x2,xn) 對n個方程s1,s2,sn的指定變量x1,x2,xn求解，并將結果賦給x1,x2,xn。10例 求方程組 的解 syms x ys1=x+3*y;s2=x2+y2-1;x,y=solve(s1,s2,x,y)11

5、例 求方程x5+x4-4*x3+9*x-10的所有根p=1 -4 0 9 -10r=roots(p)或者s=sym(x4-4*x3+9*x-10=0)y=solve(s)double(y)12矩陣的建立逐個元素輸入；編輯器創建；導入到Matlab；（其它方法）一維數組a=1:0.1:10b=linspace(1,10,100)%線性采樣法c=1:-0.1:0d=logspace(0,3,4)%對數采樣法f=logspace(1,2,5)x= %建立一個空矩陣13生成單位矩陣、零矩陣、元素全為1的矩陣、對角矩陣 eye(3); eye(3,4);zeros(3,4);zeros(3);ones(

6、3);ones(3,4) ;a=1 2 3 4 5diag(a)diag(a,1)diag(a,2)diag(a,-2)14提取矩陣的對角線元素設A為mn矩陣，diag(A)函數用于提取矩陣A主對角線元素，產生一個具有min(m,n)個元素的列向量。diag(A)函數還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。15例 先建立55矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，對A

7、的每行乘以一個指定常數16產生01間均勻分布的隨機矩陣rand(2,4)產生均值為0，方差為1的標準正態分布隨機矩陣randn(3,5)生成隨機排列向量randpem(6)17用于專門學科的特殊矩陣 (1) 魔方矩陣魔方矩陣有一個有趣的性質，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,nn共nn個整數組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。18例 將101-125等25個數填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。M=100+magic(5)19 (2) 范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde

8、)矩陣最后一列全為1，倒數第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數第二列的點乘積。可以用一個指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數vander(V)生成以向量V為基礎向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩陣。20 (3) 伴隨矩陣MATLAB生成伴隨矩陣的函數是compan(p)，其中p是一個多項式的系數向量，高次冪系數排在前，低次冪排在后。例 為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：p=1,0,-7,6;compan(p)21查詢a=2 3 5 0 9 6 7 8a(3)a(1 4)a(4:end)a(3:-1:1)%由前

9、三個元素倒排a(find(a7)%查詢大于7的所有元素a(2)=16a(1 3 6)=1 34 67size(a)22b=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12b(3, 1)b(3)%查詢第三個元素（以列的順序）b(3,:)b(:,3)b(:)%把矩陣的每列以左右為次序，首尾相連成一個列向量b(2 4; 5 6)b(2 4)b(find(b7)b(:,1:3)b(2,1:3)23求向量的最大和最小值y=max(X) 返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復數元素，則按模取最大值。y,I=max(X) 返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復數元素，則按模取最大

10、值。求向量X的最小值的函數是min(X)，用法和max(X)完全相同。 24例 已知x=-43,72,9,16,23,47， 求向量x的最大值和最小值。y=max(x) %求向量x中的最大值y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其該元素的位置z=min(x) %求向量x中的最小值z,m=min(x) %求向量x中的最小值及其該元素的位置25 max(A) 返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。 Y,U=max(A) 返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。求矩陣最小值的函數是min，其用法和max完全相同。求矩陣元素的最大值和最小值

11、26矩陣的基本運算矩陣的加、減、數乘、乘、轉置、逆運算、矩陣乘冪分別為a+b;a-b;k*a;a*b;a;transpose(a);inv(a);a(-1);an計算方陣的行列式、求矩陣的秩、矩陣行變換化簡、矩陣的跡分別為det(a); rank(a); rref(a)； trace(a)它們都符合矩陣的運算規律。27矩陣除法在MATLAB中，有兩種矩陣除法運算：和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則AB和B/A運算可以實現。AB等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。對于含有標量的運算，兩種除法運算的結果相同，

12、如3/4和43有相同的值，都等于0.75。又如，設a=10.5,25，則a/5=5a=2.1000 5.0000。對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數矩陣和被除數矩陣的關系。對于矩陣運算，一般ABB/A。28矩陣的偽逆如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉置矩陣A同型的矩陣B，使得：ABA=ABAB=B此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數是pinv(A)。29例a=1,2,3b=1,2,3a+ba-ba試試下列命令a*binv(a)a.*ba*ba*b例a=1,2;3,4b=1,2;1

13、2a*binv(a)a/b %ab-1ab %a-1b30例 計算行列式 syms a b c dD=a b c d;a a+b a+b+c a+b+c+d;a 2*a+b 3*a+b+c 4*a+3*b+2*c+d;a 3*a+b 6*a+b+c 10*a+6*b+3*c+d;det(D)31解線性方程組求逆法對于線性方程組Ax=B，或者xA=B，如果A是可逆方陣，則可直接求出。例 解下列方程組 A=1 2 3;1 3 5;1 3 6b=2 4 5x=inv(A)*bx=Ab32練習 解方程組 33A=2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 3 -3 4;3 3 -2 -2;b=4 6 12

14、 6; x=inv(A)*b 執行結果為：x = 0.6429 0.5000 -1.5000 0.2143由執行結果可知方程組的解為： 0.6429 0.5000 -1.5000 0.2143 。34例 求矩陣X，使滿足：AXB = C。A=1 2 3;2 2 1;3 4 3;B=2,1;5 3;C=1 3;2 0;3 1;X=AC/B35初等變換法通過對系數矩陣、增廣矩陣進行行初等變換來求解。例 求非齊次方程的解 A=2 3 1;1 -2 4; 3 8 -2; 4 -1 9B=4;-5;13;-6b=(A,B)rref(b)36對于齊次線性方程組，還可以用下述命令求解null例 求方程組的解

15、 A=1 -2 3 -4; 0 1 -1 1; -1 0 -1 2; 1 -3 4 -5a=null(A)試試看：a=null(A,r)37矩陣的特征值與特征向量poly(A) 求矩陣A的特征多項式d=eig(A) 方陣A的全部特征值組成列向量dV,D=eig(A) 得到一個矩陣A的特征值在對角線上的對角矩陣D，矩陣V的列是相應的特征向量，滿足AV=VD。注意：這三條指令求出的是數值解，并不是解析解。38例 求矩陣 的特征多項式，特征值，特征向量A=1,-1;2,4p=poly(A)poly2str(p,x)V,D=eig(A)39矩陣的對角化代數中的結論：如果n階矩陣A有n個互異的特征值，則

16、A與對角矩陣相似；如果A是實對稱矩陣，則必有可逆矩陣P，使得，其中B是以A的特征值為對角元素的對角矩陣，P可由A的線性無關的特征向量得到，實際上，對于實對稱矩陣來說，其n個互異的特征值對應的特征向量組成的是正交矩陣。40例 求矩陣P，將下述矩陣A對角化，并求 A=4 6 0; -3 -5 0; -3 -6 1p,d=eig(A)p*d10*inv(p)41例 求正交矩陣P，將下述矩陣A對角化,A=2 -2 0; -2 1 -2; 0 -2 0p,d=eig(A)p*pp(-1)*A*pp*A*p的輸出結果呢？42例 判斷下述二次型 的類型（正定、負定、半正定、半負定），并將其化為標準形，A=-

17、5 2 2; 2 -6 0; 2 0 -4p,d=eig(A)43例 用求特征值的方法解方程:3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p); %A的相伴矩陣(友矩陣)x1=eig(A) %求A的特征值x2=roots(p) %直接求多項式p的零點44同型的向量或矩陣比較U=max(A,B) A,B是兩個同型的向量或矩陣，結果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應元素的較大者。U=max(A,n) n是一個標量，結果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A對應元素和n中的較大者。min函數的用法和max完全相同。 45例

18、分析下列程序的功能。x=4 5 6;1 4 8; y=1 7 5;4 5 7; p=max(x,y) ; p分析：取兩個23的二維數組x和y同一位置上的元素值大者構成一個新矩陣p。46平均值和中值求數據序列平均值的函數是mean，求數據序列中值的函數是median。mean(X) 返回向量X的算術平均值。median(X) 返回向量X的中值。mean(A) 返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術平均值。47median(A) 返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。mean(A,dim) 當dim為1時，該函數等同于mean(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是

19、A的第i行的算術平均值。median(A,dim) 當dim為1時，該函數等同于median(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的中值。48例 已知x=1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1，從不同維方向求出其平均值和中值。median(x) median(x,1) %按列方向，求數組的中值median(x,2) %按行方向，求數組的中值mean(x) mean(x,1) %按列方向，求數組的平均值mean(x,2) %按行方向，求數組的平均值49求和與求積sum(X) 返回向量X各元素的和。prod(X) 返回向量X各元素的乘積。 設A是一個矩陣，函數的調

20、用格式為：sum(A) 返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A) 返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。50sum(A,dim) 當dim為1時，該函數等同于sum(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim) 當dim為1時，該函數等同于prod(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。51例 已知x=4 5 6;1 4 8，分析矩陣x的每行、每列元素的乘積和全部元素的乘積。sum(x)sum(x,1) %求數組各列元素的和sum(x,2) %求數組各行元素的和sum(sum(x) %求數組所有元素的和52prod(x)prod(x,1) %求數組各列元素的乘積prod(x,2) %求數組各行元素的乘積prod(prod(x) %求數組所有元素的乘積53累加和與累乘積cumsum(X) 返回向量X累加和向量。cumprod(X) 返回向量X累乘積向量。cumsum(A) 返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。