1、復雜網絡上動力系統同步的研究進展 報告人：趙明2005.5.多種多樣的同步現象夏日夜晚青蛙的齊鳴、螢火蟲的同步發光；心肌細胞和大腦神經網絡的同步；劇場中觀眾鼓掌頻率的逐漸同步； 同步的基本概念 兩個或多個動力學系統，除了自身的演化外其間還有相互作用(耦合)，這種作用既可以是單向的，也可以是雙向的。當滿足一定條件時，在耦合的作用下，這些系統的狀態輸出就會逐漸趨同進而完全相等，稱為同步(精確同步)。廣義的同步還包括相同步和頻率同步等等。 同步概念的數學表述（1）（2）當這兩個系統同步時滿足： x1x2 s。設差信號 z1 x1 - s，對系統（1）在同步流形s附近做線性化，得到 （3）差信號z1表

2、示系統狀態變量與同步流形的距離，如果隨時間的演化，差信號趨近于零，就說明系統的同步狀態是穩定的。反之，同步狀態失穩。描述同步穩定性的另一種方法 李雅普諾夫指數是用來描述系統穩定與否的數學量，它的符號描述了系統的穩定性：若為負，系統穩定；為正，不穩定。 我們也可以用它來研究同步系統的穩定性問題：計算差信號方程（3）的李雅普諾夫指數(此時的李雅普諾夫指數被稱作條件李雅普諾夫指數)，若其值為負，則同步狀態穩定。復雜網絡上的動力學： 研究網絡結構和動力系統之間的相互影響，相互作用。同步是其中的一個重要的現象。Pecora和Carroll 給出的同步的基本假設：(1)所有的耦合振子都是完全相同的，(2)

3、從每個振子提取的用于耦合其它振子的函數也是完全相同的，(3)同步流形是不變流形，(4)節點的耦合方式使在同步流形附近可以線性化。復雜網絡同步的定義 如果在網絡的每個節點上加上一個動力學系統，這個動力學系統既可以是極限環也可以是混沌的；如果兩個節點之間有邊相連，就表示其間存在相互的耦合作用，就形成了一個動力學網絡。 具體地，設網絡有N個節點，第i個節點在n時刻的m維狀態變量為xi(n) ，單個節點(不存在耦合作用)所滿足的狀態方程是：xi(n+1) F(xi(n+1)。設： H:Rm Rm是每個節點狀態變量的函數，用于對其它節點進行耦合。對于連續系統 其中是耦合強度，Gij表示耦合矩陣G的矩陣元

4、。這樣，在存在耦合作用下第i個節點所滿足的狀態方程是：（4）（5）其中ki是第i個節點的度，i是與節點i相連的節點的集合。耦合矩陣G包含了網絡結構的全部信息。耦合矩陣定義如下：（6）幾種規則網絡的鄰接矩陣最近鄰耦合網絡 星型網絡 完全網絡 在耦合的作用下，經過一段時間的演化，使得 x1 x2 xN s ，網絡就進入了同步狀態。當然并不是所有的網絡在任意耦合強度或耦合方式下都能實現同步。報告的內容： 1.復雜網絡同步的穩定性分析 ； 2.復雜網絡上動力學系統同步的特點 ； 3.網絡的幾何特征量對同步穩定性的影響 ； 4.提高網絡同步能力的一種方法 。復雜網絡同步的穩定性分析Pecora和Carr

5、oll 的主穩定性函數(master stability function )方法汪小帆和陳關榮的結論Chen等人的結合主穩定性函數與Gershgrin 圓盤理論(Gershgrin disk theory) 方法Pecora和Carroll 的主穩定性函數方法 首先對動力學網絡的同步流形進行線性穩定性分析。已知連續系統的狀態方程 在同步狀態s附近對其進行線性化，得到其中DF()和DH()分別是函數F和H的mm階雅可比(Jacobian)矩陣。利用mN階矩陣z(z1, z2 , , zN )重寫(7)式，得 （7）（8）根據約丹規范型(Jordan canonical forms)理論，上式的

6、穩定性是由G的特征值決定的，設其對應的特征向量為e，并且令uze，將e右乘上式，得到 這樣原來要討論的mN維空間的穩定性問題被簡化到mm維空間，并且通常情況下m0以及兩個常數 和 ，使得對所有 都成立， 是單位陣。如果 也成立，那么同步狀態穩定。 （11）（12）設網絡的狀態方程是：（13）由于 、 ，不等式(6)等價于2的值越小， | 2|的值越大，這表明網絡(11)可以在一個很小的耦合系數下同步。因此，在特定的耦合方式下，耦合矩陣G的第二大特征值表征了網絡(11)的同步能力。 Wu和Chua的工作表明：只要耦合強度的值足夠大，都會使耦合振子系統進入同步狀態。 （14）Pecora和汪小帆等

7、人的工作矛盾？ 連續系統同步區域無界(圖(a)或有界(圖(b)由耦合方式和系統的其它參量決定。 Pecora等人研究的是同步區域有界情況下的同步穩定條件，汪小帆等人研究的是同步區域無界情況下的同步穩定條件。幾點結論當網絡結構相同時，如果節點上的動力學系統不同，網絡的同步穩定性是不同的。當節點上的動力學系統相同，但耦合方式不同，即使將該系統放在同樣的網絡結構上，動力學網絡的同步的穩定性仍然不同；對于同一個動力學系統，相同的耦合方式，網絡結構對動力學網絡的同步穩定性也有影響。 動力學系統、耦合形式、網絡結構決定了動力學網絡同步穩定性Chen等人的結合主穩定性函數與Gershgrin 圓盤理論的方法

8、 前面的分析方法都是要計算耦合矩陣的特征值，對于復雜網絡來說計算出的都是近似值，因此前述的方法都是近似方法。Yonghong Chen 等人將主穩定性函數方法與Gershgrin 圓盤理論(Gershgrin disk theory)結合，為網絡結構對同步穩定性的影響給出了更精確的理論。 Gershgrin 圓盤定理的內容是：一個nn階矩陣A=aij的特征值處于n個圓盤的并集中，這些圓盤的定義是：(15)將Gershgrin 圓盤定理應用于復雜網絡同步穩定性的研究中，需要將對應于同步流形的特征值0去掉，下面我們首先介紹該過程。設有矩陣G，已知它的一個特征值是 ，對應的特征向量是e。通過變換可以

9、使e的任一部分等于1。在這里，不失一般性，我們令第一個元素為1，那么e=(1,eN-1T)T。將G寫成下面的形式：其中：取通過P對G進行相似變換，并設 得到由于P-1GP與G有相同的特征值譜，那么(N-1)(N-1)階矩陣D1=GN-1-eN-1rT與G有除了 外相同的特征值。 通過變換令e的不同元素為1，可以得到N個不同的約化矩陣，用Dk(k=1,2,N)表示。 將上述方法用于耦合矩陣G中，令 ，e=(1 1 1)T，得到Dk=dijk，其中dijk=GijGkj。根據Gershgrin圓盤定理，動力學網絡同步穩定性條件表述如下：(1) 每個Gershgrin圓盤的中心位于穩定區域 即 ；(

10、2) 每個Gershgrin圓盤的半徑滿足不等式 (16)這里(x)是實軸上x到穩定區域的邊界的距離。幾個規則網絡的同步能力 最近鄰耦合網絡:耦合矩陣的特征值 其中 特征值比星型網絡: 特征值比完全網絡:耦合矩陣的特征值只有0和N 特征值比復雜網絡上動力學系統同步的特點 小世界網絡上的相和頻率同步； 小世界網絡上動力學系統的精確同步；小世界網絡的快速響應和相干振動現象；無標度網絡的精確同步 。 小世界網絡上的相和頻率同步 Hong，Choi和Kim在WS型小世界網絡的每一個節點上放置一個振子，節點i上的狀態由位相描述，網絡上N振子系統的動力學方程是： (17)K是耦合強度，i是與節點i相連接的

11、節點的集合，i是節點i的固有頻率，它們依據分布函數g()隨機取值。網絡上耦合振子系統運動的整體行為由以下兩個參數表示： 對時間求平均； 對各種可能的固有頻率取值的實現方式求平均；c是一個足夠大的常數。當達到相和頻率同步時，m 1，q 1；反之m 0，q 0。(19)(18)重連概率為P0.5時得到了和P1時幾乎相同的同步結果。取k3，固有頻率取自方差為1的高斯分布函數耦合強度、重連概率空間中的相同步臨界曲線不同耦合強度下實現相同步和頻率同步的馳豫時間當重連概率增加到0.5時，網絡的同步就達到了“飽和”，再次表明當P0.5時就能得到和P1接近的同步效果Hong，Choi和Kim還研究了熱噪聲和相

12、的隨機淬火對相同步的影響，當存在熱噪聲時，網絡上N振子系統的動力學方程是：這里J是耦合強度； i依據高斯分布隨機取值，高斯分布的方差為2，當所有振子的頻率相同(2=0)時，系統沒有隨機淬火，系統退化為經典的XY自旋模型；i表示熱噪聲，即平均值為零的白噪聲，其相關性為： (20)噪聲幅值T(=0)可認為是波爾茲曼常數為1(kB=1)的系統的溫度。 (21)(a)2=0.00，(b)2=0.05。當沒有隨機淬火時，如果系統的溫度很低，即使重連概率很小，系統也能實現相同步；但是，當存在隨機淬火時，即使系統溫度很低，也只有在重連概率比較大的情況下系統才能實現相同步。即隨機淬火不利于網絡的相同步。 相同

13、步臨界曲線O:同步區域，D:非同步區域 小世界網絡上動力學系統的精確同步長程連接網絡(1996 ，Gade)：設有N個獨立的節點，每個節點都隨機的與其它k個節點相連接，允許節點的重連和自連。耦合振子滿足的動力學方程是： (22)設0是耦合矩陣對應于特征向量e=(1 1 1)T的特征值，其它N1個特征值i，i=1,2,N 1，其順序是 ，設映射f的李雅普諾夫指數是那么網絡同步狀態穩定的條件是：只有| 0e |1 ，其它| ie |1，對所有i=1,2,N 1都成立。因此，只要耦合矩陣的非0的絕對值最大的特征值小于一常數，即 | 1|e -，同步狀態就是穩定的。Gade發現對于長程連接| 1|與

14、成正比。 中程連接網絡(近鄰耦合網絡)(1999 ，Gade和胡進錕 )：與長程連接網絡不同，其同步能力取決于節點每一邊鄰居的數目與總節點數的比值，而不是這一數目本身。 NW型小世界網絡(2000 ，Gade和胡進錕 )：網絡的同步能力與長程連接網絡相似，是由與某個節點耦合的長程節點數決定，即| 1|與 成正比，p是加邊概率。 不是與某個節點耦合的節點數與網絡總節點數的比而是其數目決定了同步的穩定性汪小帆、陳關榮關于（NW型）小世界網絡同步的結論對于一定的節點數目N，當加邊的概率p從0到1變化時，耦合矩陣次最大特征值降到-N對于一定的加邊的概率p ，節點數目N增加到時，耦合矩陣次最大特征值降到

15、加邊概率、節點數目空間中的相同步臨界曲線Barahona和Pecora得出的(NW型)小世界網絡的同步性質 (a) (b)(a)隨機網絡(點劃線)、近鄰耦合網絡(方塊(數值模擬)和實線(理論分析)和小世界網絡(點線)的拉普拉斯算子的特征值比同f的變化關系，f表示網絡的邊數與同樣節點數目的完全網絡的邊數的比值(b)在同樣的網絡規模下不同的網絡實現同步所要求的邊數比f，祁豐、侯中懷和辛厚文給出了鐘擺模型的小事界網絡同步能力分析 祁豐、侯中懷和辛厚文研究了一種與小世界網絡相似的網絡的運動規律。該網絡的模型是：滿足自由邊界條件的最近鄰耦合網絡，隨機地加入M條捷徑，捷徑數與總的可能的捷徑數的比是q=2M

16、/(N1)(N2)。在每個節點上放置一個受迫阻尼鐘擺，鐘擺所滿足的運動方程是： n表示第n個節點上鐘擺的擺角，n=0,1,N1，N=128 (23)當q0.0時，系統處于時空混沌狀態；當q0.01時，M80，系統在空間上處于同步態而在時間上處于周期運動狀態；當q0.02時，系統在空間上仍處于同步態而在時間上處于混沌態了。這表明隨機的捷徑可以使混沌運動規則化，并且存在一個最優的隨機程度使得系統運動最規則。 為了進一步量化他們的結論，祁豐等人還引入了一個參數， 值越大表示系統的運動越規則 隨比率q的變化關系帶誤差棒的圓點:小世界網絡,虛線:隨機網絡插圖:當增大近鄰耦合范圍，即每個節點與K個鄰居耦合

17、， 隨K的變化規律 給規則網絡隨機的增加捷徑更有助于系統形成規則的時空行為 小世界網絡的快速響應(fast response)和相干振蕩(coherent oscillations)現象 Lago-Fernndez等人分析了以Hodgkin-Huxley神經元為節點上動力學系統的近鄰耦合網絡、WS型小世界網絡和隨機網絡的運動規律，發現近鄰耦合網絡雖然能夠形成網絡整體上的相干振蕩但對刺激的反應速度很慢；隨機網絡雖然對刺激能夠作出快速響應，但形成不了相干振蕩；而小世界網絡對刺激的反應既迅速，又能形成大振幅的相干振蕩，可以很好的描述神經網絡的快速響應和相干振蕩現象 規則網絡：一致振蕩小世界網絡：快速

18、相應、一致振蕩隨機網絡：快速響應無標度網絡的精確同步汪小帆、陳關榮關于無標度網絡同步的結論耦合矩陣次最大特征值 (24)無標度網絡同步的魯棒性和脆弱性Lind、Gallas和Herrmann對無標度網絡同步規律的研究 Lind等人以Logistic映像為節點上的動力學系統，研究了無標度網絡同步穩定性與隨節點上的動力系統和拓撲參數的函數關系。在他們的研究中，當存在耦合作用時節點所滿足的動力學方程是： 函數 f 取Logistic映像 f (x)=1-ax2。參數是用來調節耦合的均勻性的實數：當為正值時，度大的點具有更大的耦合強度；反之當0時，度小的節點起到更大的作用；0表示節點間的均勻耦合。 (

19、25)三種無標度網絡模型隨機無標度網絡(BA網絡)確定性偽分形無標度網絡(deterministic pseudofractal scale-free network)阿波羅網絡(Apollonian network)隨機無標度網絡上的同步規律1動力學網絡的同步能力除了受耦合強度的影響外，更主要地收到了網絡生成時加入的每個節點伸出的邊數k的影響；2分割網絡同步與否的臨界耦合強度c是臨界邊數kc的冪函數，即 ，指數的取值由動力學參數a決定；3通過調節耦合強度和新加入節點的度k使動力學網絡向同步態的轉變都是一階相變確定性網絡上的同步規律1在同樣的動力學參數a下，無論如何調節耦合強度的取值，都不能使

20、確定性網絡同步，其原因是這兩種網絡的k值太小(分別為2和3)。若想實現確定性無標度網絡的同步，要求耦合非對稱，即 并且耦合強度太小和太大都會使同步狀態失穩2對于確定性無標度網絡通過調節耦合強度使動力學網絡向同步態的轉變也是一階相變網絡的幾何特征量對同步穩定性的影響(a)(b):同步區域有界時半隨機無標度網絡(semirandom model of SF networks) 的幾何特征量對同步穩定性的影響;(c)(d):DM老化網絡的一些相應結果 他們認為度和負載分布的不均勻性降低了網絡的同步能力Nishikawa等人的研究結果：一種變形的小世界網絡的幾何特征量對同步穩定性的影響各個幾何特征量與

21、同步穩定性的關系式(未經理論上的嚴格證明)： (26)Hong等人對WS型小世界網絡的研究結果 小世界網絡特征值比和各個幾何特征量隨重連概率p的變化關系 最大介數是描述網絡同步穩定性的最恰當的特征量，并且網絡的最大介數越小，網絡的穩定性越強。 Motter，Zhou和Kurths的通過調節耦合強度提高網絡同步能力的方法設動力學網絡所滿足的方程是： (26) 是拉普拉斯算子L的矩陣元。當可調參數0時，耦合矩陣退化為拉普拉斯矩陣； 時，網絡(耦合)變成有向含權網絡(耦合)，從而降低了網絡的不均勻性，提高網絡的同步能力。耦合矩陣G的定義如下：(27)(a) 隨機無標度網絡(Random SFNs);

22、 (b) 理想無標度分布網絡(Networks with expected scale-free sequence);(c) 生長無標度網絡(Growing SFNs)(d) NW型小世界網絡 參考文獻L. M. Pecora and T. L. Carroll, Phys. Rev. Lett. 80, 2109 (1998).J. F. Heagy, T. L. Carroll, and L. M. Pecora, Phys. Rev. E 50,1874(1994).J. F. Heagy, T. L. Carroll, and L. M. Pecora, Phys. Rev. Lett

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