1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 “完全數”是一些特殊的自然數，它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身.古希臘數學家畢達哥拉斯公

2、元前六世紀發現了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發現后續三個完全數”分別為496，8128，33550336，現將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（ ）ABCD2在復平面內，復數對應的點的坐標為（ ）ABCD3為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區域為不平等區域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數.對于下列說法：越小，則國民分配越公平；設勞倫茨曲線對應的函數為，則對，均有；若某國家某年的勞倫

3、茨曲線近似為，則；若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：ABCD4已知集合，若，則實數的取值范圍為（ ）ABCD5已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：函數的最小值為4. 給出下列命題：；，其中真命題的個數為( )A1B2C3D46要得到函數的圖象，只需將函數圖象上所有點的橫坐標（ ）A伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度7已知向量，設函數，則下列關

4、于函數的性質的描述正確的是A關于直線對稱B關于點對稱C周期為D在上是增函數8已知函數，若對任意的，存在實數滿足，使得，則的最大值是( )A3B2C4D59設，分別為雙曲線（a0，b0）的左、右焦點，過點作圓 的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD10如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 （ ）ABCD11已知雙曲線：的焦距為，焦點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（）ABCD12在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

5、。13已知，則的值為_.14在正方體中，分別為棱的中點，則直線與直線所成角的正切值為_.15已知f(x)為偶函數，當x0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是_.16已知是夾角為的兩個單位向量，若，則與的夾角為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）的內角的對邊分別為，已知.（1）求的大小；（2）若，求面積的最大值.18（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為

6、極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當時，求M點的極坐標；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.19（12分）已知橢圓的焦距為2，且過點（1）求橢圓的方程；（2）設為的左焦點，點為直線上任意一點，過點作的垂線交于兩點，（）證明：平分線段（其中為坐標原點）；（）當取最小值時，求點的坐標20（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，為的中點.（1）證明：；（2）設點是線段上的動點，當直線與直線所成的角最小時，求三棱錐的體積.21（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點，且，.求證：平

7、面；求點到平面的距離.22（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】先求出五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，根據即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據題意，將五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則

8、基本事件總數為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，6和28不在同一組的概率.故選：C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數的應用.2C【解析】利用復數的運算法則、幾何意義即可得出【詳解】解：復數i（2+i）2i1對應的點的坐標為（1，2），故選：C【點睛】本題考查了復數的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題3A【解析】對于，根據基尼系數公式，可得基尼系數越小，不平等區域的面積越小，國民分配越公平，所以正確.對于，根據勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以錯誤.對于，因為，所以，所以錯誤.對于，因為，所以，所以正確.故選A4A【

9、解析】解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數的定義域化簡集合的表示，根據可以得到集合、之間的關系，結合數軸進行求解即可.【詳解】，.因為，所以有，因此有.故選：A【點睛】本題考查了已知集合運算的結果求參數取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數的定義域，考查了數學運算能力.5A【解析】先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題q的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而判斷復合命題的真假，可得出選項.【詳解】已知對于命題，由得，所以命題為假命題；關于命題，函數，當時，當即時，取等號，當時，函數沒有最小值，所以命題為假命題.所以和是真命題，所以為假命題，為假命題，為假

10、命題，為真命題，所以真命題的個數為1個.故選：A.【點睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應用，以及復合命題的真假的判斷，注意運用基本不等式時，滿足所需的條件，屬于基礎題.6B【解析】分析：根據三角函數的圖象關系進行判斷即可詳解：將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到 再將得到的圖象向左平移個單位長度得到 故選B點睛：本題主要考查三角函數的圖象變換，結合和的關系是解決本題的關鍵7D【解析】當時,f(x)不關于直線對稱；當時, ,f(x)關于點對稱；f(x)得周期，當時, ,f(x)在上是增函數本題選擇D選項.8A【解析】根據條件將問題轉化為，對于恒成立，然后構造函

11、數，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，對任意的，存在實數滿足，使得， 易得，即恒成立，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，故存在，使得，即，當時，單調遞減；當時，單調遞增.,將代入得：，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉化思想，屬于難題.9C【解析】設過點作圓 的切線的切點為，根據切線的性質可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設過點作圓 的切線的切點為，所以是中點，.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學計算能力，屬于中檔題

12、.10A【解析】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數量積分拆，設，數量積轉化為關于t的函數，用函數可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設=所以當時，上式取最小值 ，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數求最值。11A【解析】利用雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，求出，的關系式，然后求解雙曲線的漸近線方程【詳解】雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，可得：，可得，則的漸近線方程為故選A【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，構建出的關系是解題的關鍵，考查

13、計算能力，屬于中檔題.12A【解析】根據正弦定理可得，求出，根據平方關系求出.由兩端平方，求的最大值，根據三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，即，即，當且僅當時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數量積運算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先求，再根據的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數函數值的求解，涉及對數的運算，屬基礎題.14【解析】由中位線定理和正方體性質得，從而作出異面

14、直線所成的角，在三角形中計算可得【詳解】如圖，連接，分別為棱的中點，又正方體中，即是平行四邊形，（或其補角）就是直線與直線所成角，是等邊三角形，60，其正切值為故答案為：【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角15y=2x【解析】試題分析：當x0時，-x0時，函數y=f(x)，則當x0時，求函數的解析式”有如下結論：若函數f(x)為偶函數，則當x0時，函數的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數，則函數的解析式為y=-f(-x)16【解析】依題意可得，再根據求模，求數量積，最后根據夾角公式計算可得；【詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，所以，

15、因為所以；故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，結合誘導公式可化簡邊角關系式，求得，根據可求得結果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得： ，又 ，即由得：（2）由余弦定理得：又（當且僅當時取等號） 即三角形面積的最大值為：【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理化簡邊角關系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應用、基本不等式求積的最大值、誘導公式的應用等知識，

16、屬于常考題型.18（1）點M的極坐標為或（2）【解析】（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.（2）設出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設點M在極坐標系中的坐標，由，得，或，所以點M的極坐標為或（2）由題意可設，.由，得，.故時，的最大值為.【點睛】本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.19（1）（2）（）見解析（）點的坐標為【解析】（1）由題意得，再由的關系求出，即可得橢圓的標準方程；（2）（i）設，的中點為，設直線的方程為，代入橢圓方程中，運用根與系數的關系和中點坐標公式，結合

17、三點共線的方法：斜率相等，即可得證；（ii）利用兩點間的距離公式及弦長公式將表示出來，由換元法的對勾函數的單調性，可得取最小值時的條件獲得等量關系，從而確定點的坐標.【詳解】解：（1）由題意得， ，所以，所以橢圓方程為（2）設， 的中點為，（）證明：由，可設直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，所以，則直線的斜率為，因為，所以，所以三點共線，所以平分線段；（ii）由兩點間的距離公式得由弦長公式得 所以，令，則，由在上遞增，可得，即時，取得最小值4，所以當取最小值時，點的坐標為【點睛】此題考那可是橢圓方程和性質，主要考查橢圓方程的運用，運用根與系數的關系和中點坐標公式，同時考查弦長公式，屬于較難

18、題.20（1）見解析；（2）.【解析】（1）要證明，只需證明平面即可；（2）以C為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法求，并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】（1）連結AC、AE，由已知，四邊形ABCE為正方形，則，因為底面，則，由知平面，所以.（2）以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設，則，所以，設，則，所以當，即時，取最大值，從而取最小值，即直線與直線所成的角最小，此時，則，因為，則平面，從而M到平面的距離，所以.【點睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計算、換元法求函數最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的內容較多，計算量較大，解決此類問題最關鍵是準確寫出點的坐標，是一道中檔題.21（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；（2）取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】（1）因為，是的中點，為直三棱柱，所以平面，因為為中點，所以 平面，又,平面（2），又分別是中點，.由（1）知，,又平面,取中點為,連接如圖,則，平面，設點到平面的距離為，由，得，即，解得，點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質定理、等體積法求點到面的距離；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握線面垂直的判定定理和性質定理是求解本題的關鍵；屬于中檔題.2