1、第二章自動控制系統的數學模型第二章自動控制系統的數學模型 通過前面的學習我們知道，自動控制理論是研究自動控制系統三方面性能的基本理論。 設控制系統控制系統輸入輸出加上輸入信號tr(t)0tc(t)0求出輸出響應根據輸出響應即可分析系統的性能。 怎樣根據輸入信號求系統的輸出響應？ 如果知道控制系統的數學模型就可求出系統的輸出響應。 分析系統性能的第一步就是建立系統的數學模型，這是第二章的主要內容。數學模型：描述系統動態特性的數學表達式。數學模型反映了系統各變量之間的關系。常用的數學模型：(2) 微分方程(3) 傳遞函數(4) 頻率特性(1) 代數方程(5) 動態結構圖 其中微分方程是最基本的，其

2、它可以通過微分方程求得。 建立微分方程的方法：(1) 解析法(2) 實驗法這一章介紹解析法。第1頁，共24頁。第一節 控制系統的微分方程第三節 傳遞函數第四節 動態結構圖第五節 反饋控制系統的傳遞函數第六節 數學模型的建立與化簡舉例 第七節 用MATLAB處理系統數學模型 第二節 數學模型的線性化第二章自動控制系統的數學模型第2頁，共24頁。第一節控制系統的微分方程一、建立微分方程的一般步驟二、常見環節和系統的微分 方程的建立 三、 線性微分方程式的求解上一目錄第二章自動控制系統的數學模型第3頁，共24頁。第一節 控制系統的微分方程（1）確定系統的輸入變量和輸出變量一、建立系統微分方程的一般步

3、驟 系統通常由一些環節連接而成，將系統中的每個環節的微分方程求出來，便可求出整個系統的微分方程。列寫系統微分方程的一般步驟： 根據各環節所遵循的基本物理規律，分別列寫出相應的微分方程組。（2）建立初始微分方程組 將與輸入量有關的項寫在方程式等號右邊，與輸出量有關的項寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標準化 下面舉例說明常用環節和系統的微分方程的建立第4頁，共24頁。ucur二、常見環節和系統微分方程的建立1 RC電路+-ucur+-CiR輸入量：輸出量：第一節 控制系統的微分方程(1) 確定輸入量和輸出量(2) 建立初始微分方程組(3) 消除中間變量，使式子標準化ur= Ri + uc

4、i = Cducdt根據基爾霍夫定律得： 微分方程中只能留下輸入、輸出變量，及系統的一些常數。RCducdt+ uc= urRC電路是一階常系數線性微分方程。第5頁，共24頁。2機械位移系統系統組成：質量彈簧阻尼器輸入量彈簧系數km阻尼系數fF(t) 輸出量y(t) (2) 初始微分方程組F = ma根據牛頓第二定律第一節 控制系統的微分方程系統工作過程：(1) 確定輸入和輸出F(t) FB(t) FK(t) = ma中間變量關系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中間 變

5、量得:第6頁，共24頁。3他激直流電動機Ud系統組成：直流電機負載輸入:電樞電壓勵磁電流If電磁轉矩Te負載轉矩TL摩擦轉矩Tf工作原理： 電樞電壓作用下產生電樞電流，從而產生電磁轉矩使電動機轉動.輸出:電動機速度n第一節 控制系統的微分方程第7頁，共24頁。根據基爾霍夫定律有 電動機的電路等效圖:eb+-udLaidRadiddt ud = Rd id+Ld+ebeb =CenCe 反電勢系數反電勢根據機械運動方程式 dndt Te -TL Tf =GD2375Te =Cm id Cm 轉矩系數GD2 飛輪慣量為了簡化方程，設TL = Tf = 0id =GD2375Cmdndt.+ n =

6、+GD2 Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2Cm CeRaLaRaudCe定義機電時間常數：GD2 Ra375Cm CeTm =電磁時間常數：LaRaTa = 電動機的微分方程式為：+ n =d2ndt2Tm Ta+ TmdndtudCe第一節 控制系統的微分方程第8頁，共24頁。4液位系統第一章里已經介紹了工作原理：其中:qi0流入箱體 的流量qo0流出箱體 的流量qi0qo0h0液面高度h0qi流入箱體 流量增量+qiqo流出箱體 流量增量+qoh液面高度 增量+hA箱體面積根據物料平衡關系dtAdh0+h(t)=qi0+qi(t)-qo0+qo(t)平衡時：qi0=qo0

7、故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式qo(t)=ah(t)得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)第一節 控制系統的微分方程第9頁，共24頁。 根據實例可知：系統微分方程由輸出量各階導數和輸入量各階導數以及系統的一些參數構成。第一節 控制系統的微分方程系統微分方程的一般表達式為：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1 將已知輸入信號代入微分方程中，求解微分方程即可求得系統輸的出響應。微分方程r(t)c(t)

8、第10頁，共24頁。三、線性微分方程式的求解第一節 控制系統的微分方程 工程實踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時域t拉氏變換代數方程復數域s代數方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第11頁，共24頁。第一節 控制系統的微分方程1拉氏變換的定義如果有一函數滿足下列條件：(1) t 0 時 f(t)=0 (2) t0 時 f(t)是分段連續的 0(3) f(t)e dt -stf(t)的拉氏變換為：0F(s)= f(t)e dt -st記作 F(s)=Lf(t)拉氏反變換為： f(t)=L-1 F(s)第12頁，共24頁。2常用函數的拉氏變換第一

9、節 控制系統的微分方程(1) 單位階躍函數I(t)f(t)t010F(s)= I(t)e dt -st=S1(2) 單位脈沖函數(t)f(t)t00F(s)=(t)e dt -st=1(3) 單位斜坡函數tf(t)t00F(s)= t e dt -st=S21(4) 正弦函數Sintt0f(t)=s2 +20F(s)= Sint e dt -st(5) 余弦函數Cost0F(s)= Cost e dt -st=s2 +2s(6) 指數函數-atef(t)t010F(s)= e e dt -at-st=1s+a(7) 拋物函數t212t2e120F(s)= -st dt f(t)t0=S31第1

10、3頁，共24頁。3拉氏變換的定理(1) 線性定理 Laf1(t)+bf2(t)= aF1(s)+bF2(s)例 求正弦函數f(t)=Sint的拉氏變換 解：2je -eSint =jt-jt LSint= 2j1s-j1-s+j1=s2 +2(2) 微分定理 L df(t)dt= sF(s)-f(0)例 求階躍函數f(t)=I(t)的拉氏變換 解：已知 dtdt=I(t) Lt= s21 LI(t)= L( dtdt)=ss21-0=1s第一節 控制系統的微分方程 L d2f(t)dt2= s2F(s)-sf(0)-f(0)第14頁，共24頁。(3) 積分定理 Lf(t)dt=1sF(s)+f

11、-1(0)s(4) 延遲定理 Lf(t-)-s=eF(s)例 求f(t)=t-的拉氏變換 解：f(t)t0tt-sF(s)=Lte=s2-s1e(5) 位移定理-atLe f(t)=F(s+a)解：例 求f(t)=e Sint的拉氏變換 -atF(s)=(s+a)2+2(6) 初值定理Lim f(t )=lim sF(s)st0(7) 終值定理Lim f(t )=lim sF(s)ts0第一節 控制系統的微分方程第15頁，共24頁。4拉氏反變換象函數的一般表達式：F(s) =b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bma0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s +

12、an分解為K(s z1 )(s z2 )(s zm )(s p1 )(s p2 )(s pn )=零點極點轉換為=s-p1A1+s-p2A2+s-pnAn則p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+部分分式法求拉氏反變換 , 實際上是求待定系數A1 ,A2 ,An .極點的形式不同,待定系數的求解不同,下面舉例說明. 待定系數第一節 控制系統的微分方程第16頁，共24頁。(1) 不相等實數極點Ai= F(s)(s-pi ) s=pi解：例 求拉氏變換 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 (s+1)(s+3) F(s)=1+ s+2=1+s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p

13、1 ) s=p1(s+1)(s+3) = s2+5s+5 s=-1=(s+1)(s+3) (s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2 ) s=p2s=-3=(s+1)(s+3) (s+2)(s+3)21=21+f(t)=(t)+e-t21e-3t第一節 控制系統的微分方程第17頁，共24頁。(2) 復數極點A(s)(s p1 )(s p2 )(s pn )F(s)=p1 ,p2 共軛復數極點分解為=(s-p1 )(s-p2 )A1 s+A2+s-p3A3+s-pnAn F(s)(s-p1 )(s-p2 ) s=p1=A1s+A2 s=p1根據求待定系數A1 ,A2 . 例 求拉氏變換

14、s(s2+9) F(s)= s+1解：A1s+A2 +s (s2+9) F(s)=A3 =A1s+A2 s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1 19A1= - 19A3= -s/9+1 +s(s2+9) =1/9 s/9 -s(s2+9) F(s)=1/9 1 +(s2+9) 1391-f(t)=Sin3t91Cos3t +第一節 控制系統的微分方程第18頁，共24頁。(3) 重極點第一節 控制系統的微分方程A(s)(s p1 )r(s pr+1 )(s pn )F(s)=有r個重極點分解為=(s-p1 )rA1 +s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1 )r-1A2 +s-p1

15、Ar dr-1F(s)(s-p1 )rAr= s=p11 ( (r-1)! dsr-1)下面舉例說明第19頁，共24頁。例 求拉氏變換 第一節 控制系統的微分方程(s+2)F(s)= s(s+1)2(s+3) 解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解為按不相等實數極點確定A1 ,A3 ,A4 得：-12A1= 23A3= 112A4= d2-1F(s)(s-p1 )2A2= s=p11 ( (2-1)! ds2-1)d= s=-1 ds(s+2) s(s+3) -34= -34A2= +-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121將各待定系數代入上式得：第2

16、0頁，共24頁。5用拉氏變換解微分方程 下面舉例說明求解線性微分方程的方法。第一節 控制系統的微分方程例 求拉氏反變換 r(t) =20I(t)+2c (t) = r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dt c(0)=5c(0)=15解：(1) 將微分方程拉氏變換s2C(s)-sc(0)-c(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20s20s+5s+30= C(s)(s2+3s+2) (2) 解代數方程 s(s2+3s+2) C(s)= 5s2+30s+20(3) 求拉氏反變換 s(s+1)(s+2)= 5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t第21頁，共24頁。例 已知系統的微分方程式，求系統的 輸出響應。r(t) =(t) + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt c(0) = c(0) = 0解：將方程兩邊求拉氏變換得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 + 11求拉氏反變換得：c(t) = e t sin t 輸出響應曲線 c(t)r(t)r(t)t0