1、第三節三角恒等變換考綱解讀會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦，正切公式.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦，余弦，正切公式，導出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它們的內在聯系.能利用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差，和差化積，半角公式，但對這三種公式不要求記憶）.命題趨勢探究高考必考，在選擇題，填空題和解答題中都有滲透，是三角函數的重要變形工具.分值與題型穩定，屬中下檔難度.考題以考查三角函數式化簡，求值和變形為主.化簡求值的核心是：探索已知角與未知角的聯系，恒等變換（化同角同函）. 知識點精講常用三角恒等變形公式和角公式差角公式倍

2、角公式降次（冪）公式半角公式輔助角公式角的終邊過點，特殊地，若或，則常用的幾個公式題型65兩角和與差公式的證明題型歸納及思路提示思路提示推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數量積建立它們之間的關系，這就是證明的思路.例4.33證明(1)(2)用證明(3)用(1)(2)證明解析(1)證法一：如圖432（a）所示，設角的終邊交單位圓于,由余弦定理得證法二：利用兩點間的距離公式.如圖432（b）所示由得，故即化簡得變式證明：解析 由在公式中用代替就得到同理可證，證明過程略。題型66化簡求值思路提示三角函數的求值問題常見的題型有：給式求值、給值求值、給

3、值求角等.(1)給式求值：給出某些式子的值，求其他式子的值.解此類問題，一般應先將所給式子變形，將其轉化成所求函數式能使用的條件，或將所求函數式變形為可使用條件的形式.(2)給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，解題的基本方法是：將待求式用已知三角函數表示；將已知條件轉化而推出結論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相互關系，并根據這些關系來選擇公式.(3)給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數圖像、誘導

4、公式求角.一、化同角同函例4.34已知則解析解法一：化簡所求式由得即兩邊平方得即所以故選.解法二：化簡所求式故選.評注解法一運用了由未知到已知，單方向的轉化化歸思想求解；解法二運用了化未知為已知，目標意識強烈的構造法求解，從復雜度來講，一般情況下采用構造法較為簡單.變式1若則解析 化同角。切化弦，。變式2若，是第三象限角，則 解析 由是第三象限角，得= 故故選.另解，同上得 = =故選。變式3若，則 解析 因為 ，又，得所以，故選.二、建立已知角與未知角的聯系（通過湊配角建立） 將已知條件轉化而推出結論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角的相互關系，并

5、根據這種關系來選擇公式. 常見的角的變換有：和、差角，輔助角，倍角，降冪，誘導等.1.和、差角變換如可變為；可變為；可變為例4.35若則的值為（）.或分析建立未知角與已知角的聯系，解析解法一：因為所以，則解法二：因為，所示故選.評注利用和、差角公式來建立已知角與未知角的聯系，常利用以下技巧：等.解題時，要注意根據已知角的范圍來確定未知角的范圍，從而確定所求三角式的符號.變式1已知則 分析 溝通未知角與已知角的聯系，.解析 ，因為，所以. , ,因. 變式2 若，則分析 溝通未知角與已知角的聯系 解析 = 因為 ， ， ， 二、輔助角公式變換例4.36已知，則的值為（）. 分析將已知式化簡，找到

6、與未知式的聯系.解析由題意，得所以故選.變式1設則a,b,c的大小關系為（）.A.abc B.bca C.acb D.bac解析 解法一：輔助角公式變換 ，所以 ，故選 解法二： 故 ，且 得 ，故選變式2將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則函數的一個單調遞減區間是（ ）A B C D解析 因為，所以，則在上遞減變式3 已知，則（ ）A B C D由，展開化簡可得，所以變式4 設當時，函數取得最大值，則_因為，其中，又當當時，函數取得最大值，所以，即，所以3.倍角，降冪（次）變換例4.37 已知為第二象限角，則 分析利用同角三角函數的基本關系式及二倍角公式求解.解析解法一：因為所以

7、得，即.又因為為第二象限角且，則所以故為第三象限角，.故選.解法二：由為第二象限角，得，且，又，則，得，所以， 故選. 變式1若則 分析 使用湊角法溝通未知角與已知角的聯系解析 ， = ，故選變式2 已知，則=（ ）.A B C D解析 .故選A.變式3已知且求值.分析 使用湊角法溝通未知角與已知角的聯系 ， 。變式4若，則 解析 ， ， 故選.變式5已知，且，則解析 由 得故所以 ，所以 ，又因為 所以 所以原式= 4.誘導變換例4.38若，則 分析化同函以便利用已知條件.解析解法一：故選.解法二：則故故選.變式1 是第二象限角，則解 ， 變式2 若，則分析 使用湊角法溝通未知角與已知角的聯

8、系解析 因為 ，所以 。又 ，得 故 故 所以 。變式3 ，則_解析 由題設可得,解之得,故,故應填.最有效訓練題19（限時45分鐘）1.已知函數設，則的大小關系為（ ）. A.abc B. cab C.bac D.bca2.函數的最大值為（ ）.A B1 C D 3.若，則 4.已知，且，則 5.函數的部分圖像如圖433所示，設是圖像的最高點，是圖像與x軸的交點，則.10.8 6.函數的最大值是（）. 7.已知，則8. 已知，則 .9. 10.已知，且，則11.已知函數（1）求函數的最小正周期和值域；（2）若是第二象限角，且，求的值.12.已知三點（1）若，求角；（2）若，求的值.最有效訓練題191、 解 ,故 ， ，因為 在區間 上單調遞增，故 故選.2、解 .故選A.3、 解 依題意得 ，故選.4、 解 因為 所以 因為 又 所以 故選.5、 解析 過 作交于點，由= 得 ， = 故選.6、 解 的幾何意義為點（-4,3）與單位圓上一點所在直線的斜率，設其斜率為，則有 即 ， 得 （舍）， 。故選.7、 解 由 ，所以 ，所以 8、 由 又， 所以 .因為，所以，.因為，所以. 9、4 解 原式= = .10、 解 由 ，得 所以 于是