1、第七章 FIR濾波器的設計IIR數字濾波器：可以利用模擬濾波器設計但相位非線性FIR數字濾波器： 可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性因果穩定系統可用FFT計算但階次比IIR濾波器要高得多主要內容線性相位FIR濾波器的特點窗函數設計法頻率抽樣設計法IIR與FIR比較7.1 引言一、 FIR濾波器的主要特點： 單位沖激響應只有有限多項 可以設計成線性相位系統 只在原點處有極點，因此系統總是穩定的 便于DSP實現（并可用立即數乘加指令編程，節約存儲器）二、FIR與IIR相比較： 首先在相頻特性控制上可以做到線性相位，IIR而不能做到這一點，這一點在通信等領域中要求卻很重要； 其次，FIR不存在穩定性

2、問題，其非遞歸結構不會產生極限環現象等有限精度問題； 最后，FIR還可以FFT用來濾波。故FIR應用越來越多。三、線性相位設計的重要性1、系統的相移會造成信號波形的改變時間 t幅度原始信號時間 t幅度相移90o時間 t幅度相移 180o2、系統非線性相移造成輸出信號失真f1 f2f時延f1 f2f時延f1 f2f()f1 f2f() 系統相位特性決定了信號不同頻率的時延3、忽略相位信息的后果輸入波形DFT變換忽略相位信息IDFT變換輸出波形4、要求線性相位的例子通信系統：調制解調器、綜合業務數據網（ISDN）等。希爾伯特變換器：要求輸入輸出信號正交。高保真音響系統：音樂的相位失真必須減到最小，

3、盡可能逼真地重現原來的聲音。理想微分器：線性相位要求：5、線性相位的FIR濾波器設計基礎- 系統的群延遲7.2 線性相位FIR濾波器特點 FIR濾波器的單位沖激響應：系統函數：在 z 平面有N 1 個零點在 z = 0 處是N 1 階極點 一線性相位條件如果FIR DF的單位抽樣響應h（n）為實數，而且滿足偶對稱h（n）=h（N-1-n），或滿足奇對稱h（n）=-h（N-1-n），其對稱中心在 處，可證明filter就具有準確的線性相位。 N又分為偶數和奇數兩種情況，所以有4種線性相位FIR DF，如下所述。1、N為奇數的偶對稱例如 N=11，對稱中心為n0123456789102、N為偶數時

4、的偶對稱例如 N=10，對稱中心為n01234567893、N為奇數時的奇對稱例如，N=11，對稱中心為 n0123456789104、N為偶數時的奇對稱例如，N=10，對稱中心為4.5， n0123456789有兩類準確的線性相位，分別要求滿足：其中、均為常數因此有：令上兩式實部虛部相等，則有：若將前頁的實部虛部相除：從而有：要使上式成立，必須：對另一相位形式，必須有：二線性相位頻率響應特點命題：設FIR單位沖激響應h(n)為實序列，且滿足偶對稱（或奇對數）條件：則：證明：1、偶對稱時：即： 所以有： 則 為線性相位。其物理意義： 該FIR有(N-1)/2個 采樣周期的群時延。02奇對稱時即

5、所以有：或則 為線性相位 可見，其相位特性是線性相位，而且還產生一個900相移，這樣就使得通過filter的所有頻率都相移900，因此稱它為正交變換網絡。（相移900的信號與原信號為正交的）。0二幅度特點1、h(n)偶對稱，N為奇數對（1）式由于:由于得其中:由于 對 是偶對稱的。因此， 對 為偶對稱。線性相位濾波器的幅度特點其中， 2、h(n)偶對稱，N為偶數對（1）式與如上合并項，注意到由于N為偶數， 項即為0，則由于 時，且對 呈奇對稱。因此， 對 呈奇對稱。并有:3、h(n)奇對稱，N為奇數所以有：為奇對稱的，即： 代入式:其中,由于 在 均為0并對這些點呈奇對稱。其中： 對（2）式4

6、、h(n)奇對稱，N為偶數線性相位濾波器的幅度特點由于 在 處為0。因此， 對 呈奇對稱。線性相位濾波器的幅度特點總結：（1）第1，2種一般為低通特性； 第3，4種一般為高通、帶通特性。（2）當N，h(n)均為偶（或奇）時，H(w)為奇對稱。當N，h(n)為一奇一偶時，H(w)為偶對稱。四、系統函數H（Z）的零點分布情況 1、零點的分布原則所以，如果 是零點，則 也一定是H（Z） 的零點，h（n）為實數時，H（Z）的零點必成共軛對出現，即 也一定是H（Z）的零點， 也一定是H（Z）的零點。2、零點的位置（1） 既不在實軸上，也不在單位圓上，則零 點是互為倒數的兩組共軛對，10(2) 不在實軸上

7、，但在單位圓上，共軛對的倒數就是它們本身，如01（3） 在實軸上，不在單位圓上，實數零點，沒復共軛；只有倒數。例如，01（4） 既在實軸上也在單位圓上。此時，只有一個零點，且有兩種可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。N為偶數時的偶對稱為其零點；N為偶數奇對稱H（0）=0，有Z=1零點；N為奇數奇對稱有零點Z=1，和Z= -1。7-3 窗函數設計法一、設計方法 1、設計思想 先給定理想filter的頻響 ，所要求設計一個FIR的filter的頻響為 ，使 逼近 2、設計過程 設計是在時域進行的，先用傅氏反變換求出理想filter的單位抽樣響應 ，然后加時間窗對 截斷，以求得FIR filter的

8、單位抽樣響應h(n)。例如，低通filter0 是矩形的，則 一定是無限長的且是非因果的。二、窗函數對頻響的影響 1、理想LF的單位抽樣響應理想低通filter的頻響 為100為群延時因為其相位 ，所以 是偶對稱，其對稱中心為 ，這是因為 時，即 為其最大，故 為其對稱中心。 又是無限長的非因果序列nn0.12、加矩形窗 加窗就是實行乘操作，而矩形窗就是截斷數據，這相當于通過窗口 看 ，稱 為窗口函數。其他n值 因h（n）是偶對稱的。長度為N，所以其對稱中心應為 ，所以h（n）可寫作h（n）=n為其他值3、h（n）的頻響 h（n）的頻響 可通過傅式變換求得，為了便于與 的頻響 相比較，利用卷積

9、定理(1)對于矩形窗的頻響 其中， 為幅度函數， 為相位函數。（2）對于理想LF的頻響 其中， 為幅度函數， 為相位函數。（3）h（n）的頻響其中， 為幅度函數， 為相位函數。4、窗函數頻響產生的影響從幾個特殊頻率點的卷積過程就可看出其影響:（1） 時，也就 在 到 全部面積的積分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）歸一化）。00（2） 時， 正好與 的一半相重疊。這時有 。(3) 時， 的主瓣全部在的通帶內，這時應出現正的肩峰。（4） 時，主瓣全部在通帶外，出現負的肩峰。（5）當 時，隨 增加， 左邊 旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內的面積 變化而變化，故 將圍繞著

10、零值而波動。(6)當 時， 的右邊旁瓣將進入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動。100.55、幾點結論（1）加窗后，使頻響產生一過渡帶，其寬度正好等于窗的頻響 的主瓣寬度（2） 在 處出現肩峰，肩峰兩側形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效應 因為窗函數的頻響的幅度函數為這是一個很特殊的函數，分析表明，當改變N時僅能改變 的絕對值的大小，和主瓣的寬度 ，旁瓣的寬度 ，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，也就是說，不會改變歸一化頻響 的肩峰的相對值。對于矩形窗最大相對肩峰為8.95%，不管N怎樣改變，最大肩峰總是 8.9

11、5% ，這種現象稱作吉布斯效應。三、各種窗函數 1、基本概念（1）窗譜：窗函數的頻響的幅度函數亦稱作窗譜。（2）對窗函數要求 a）希望窗譜主瓣盡量窄，以獲得較陡的過渡帶，這 是因為過渡帶等于主瓣寬度。 b）盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，這樣可使肩峰 和波紋減少。 2、矩形窗 時域表達式： 頻域表達式（頻譜）： 幅度函數：3、三角形（Bartlett）窗時域表達式：10 1 2 3 4 頻譜： 第一對零點為 ，即 ，所以主瓣寬度 ，比矩形寬一倍。4、漢寧窗（升余弦窗）其窗譜可利用如下方法求出，將 變形為又由于 其中又考慮到 ，這里所以有當 時， ，窗譜分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣較大程度

12、地互相抵消，但主瓣加寬一倍，即為漢寧窗是 時，特例5、海明窗，又稱作改進升余弦窗 其窗函數為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數為 其主瓣寬度仍為 ，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣內。 海明窗是下一類窗的特例6、布拉克曼窗，又稱二階余弦窗 加上余弦的二次諧波分量，可以進一步抑制旁瓣相應的幅度函數為 其主瓣寬度為 ，是矩形窗的三倍。7、五種窗函數的比較（1）時域窗布拉克曼三角矩形海明（2）各個窗的幅度函數，如P.340，圖7-11，注意圖中 是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函數（響應）如P340， 圖7-12所示。四、窗函數法的設計 1、設計步驟（1）給

13、定頻響函數（2）求出單位抽樣響應（3）根據過渡帶寬度和阻帶最小衰減，借助窗函數 基本參數表（P202表3）確定窗的形式及N的大小（4）最后求 及 2、設計舉例例1：分別利用矩形窗與漢寧窗設計具有線性相位的 FIR 低通濾波器，具體要求：其他并畫出相應的頻響特性解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出 （2）確定N 由于相位函數 ，所以 呈 偶對稱，其對稱中心為 ，因此 （3）加矩形窗則有可以求出h（n）的數值，注意偶對稱，對稱中心n1224由于h（n）為偶對稱，N=25為奇數，所以例如 H（0）=0.94789，可以計算 的值， 畫如下圖（4）加漢寧窗 由于 可以求出序列的各點值通過 可求

14、出加窗后的h（n）相應幅度函數可用下式求得：如H（0）=0.98460，圖如下例2.設計一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為 ，通帶截止頻率為 ，阻帶起始頻率為 ，阻帶衰減不小于-50dB.幅度特性如圖所示。 解：（1）求對應的數字頻率：通帶截止頻率為：阻帶起始頻率為：（2）求 ：設 為理想線性相位濾波器（3）求窗函數：由阻帶衰減確定窗形狀，由過渡帶確定N。查表7-3知可選海明窗。所要求的過渡帶寬（數字頻域）：又海明窗的過渡帶滿足：由此求得：所以：（4）求h(n)：由海明窗的w(n)確定FIR濾波器的h(n)。所以：7-4、凱澤（Kaiser）窗及其濾波器設計 上述幾種窗函數：矩形窗、

15、漢寧窗、海明窗等，為了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價的。而且，每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。 一、凱澤窗 凱澤在1966（1974）發現，利用第一類零階修正（變形）貝賽爾函數可以構成一種近似最佳的窗函數。凱澤窗定義為：1。定義其中， 為第一類零階修正貝塞爾函數， ， 是一個可自由選擇的參數。2.特點可同時調整主瓣寬度與旁瓣;越大， 窗越窄。頻譜旁瓣越小，而主瓣相應增加；相當于矩形窗;通常選擇，它們相當于旁瓣與主瓣幅度為3.1%-0.047%；凱澤窗隨 變化的曲線如下圖：注：第一類零階修正貝塞爾函數為由圖可以看出, 為對稱中心，且是偶對稱,即3

16、.凱澤經驗公式該公式可使filter設計人員根據filter的設計指標,估算出值和 N 值。且，：通帶截止頻率，由 定;：止帶截止頻率，由 定.過渡帶寬度4.設計舉例利用凱澤窗設計一FIR低通filter，要求解：取38將N=38, =5.653代入 表達式，得0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.

17、155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.3417 20 5.6350 48.03 0.9822 0.989 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.861

18、5 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.00048121618192529333721n012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.070.110.150.210.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.004978910111213143029282726252423-0.01965-0.02152

19、0.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.0431516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45的圖形如下所示7-5、頻率取樣設計法一、設計思想窗函數設計法是從時域出發，把理想的 用一定形狀的窗函數截取成有限長的 ，以 來近似 從而使頻響 近似理想頻響 。頻率取樣法是從頻域出發，對理想的頻響 進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響，即：，等間隔取樣并