1、 第一講: 數學建模基本要素 -水鵬朗雷達信號處理國防科技重點實驗室數學建模基礎第一章 建立數學模型1.1 從現實對象到數學模型1.2 數學建模的重要意義1.3 數學建模示例1.4 數學建模的方法和步驟1.5 數學模型的特點和分類1.6 怎樣學習數學建模玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機 物理模型地圖、電路圖、分子結構圖 符號模型模型是為一定目的，對客觀事物進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物, 而不是原型本身.模型集中反映了原型中需要的那一部分特征.1.1 從現實對象到數學模型什么是模型 ?1.1 從現實對象到數學模型從實物到模型交通部門：網狀圖模型行政部門：C

2、artoon模型航空部門：賦值圖(Graph)模型1.1 從現實對象到數學模型雷達探測：飛機被看做有多個具有一定空間分布的散射點構成-散射點模型-雷達成像紅外探測：飛機具有不同溫度分布的幾何對象-溫度場(輻射場)模型-紅外成像不是對象在變，是我們的手段和需求在變！你碰到過的數學模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解航行問題建立數學模型的基本步驟: 簡化假設（船速、水速為常數）； 符號表示（x, y表示船速和水速）； 用物理定

3、律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數學式子（二元一次方程）； 求解得到數學解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時20千米/小時）。解剖“麻雀” 數學模型-Mathematical Model數學建模-Mathematical Modeling一個現實對象，一個特定目的，據其內在規律，作出必要假設，適當的數學工具，得到的數學結構和描述。數學模型建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）3W規則數學建模What實際問題的數學描述How數學問題如何求解Why解釋與檢驗搞楚是什么探討如何做多問為什么1.2 數學建模的意義 電子計算機的出現及飛速發展； 數學以空前的廣度和

4、深度向一切領域滲透。數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。 工程技術領域, 數學建模無處不在； 高新技術領域, 數學建模必不可少； 數學是一種通用語言, 跨越語種溝通障礙.數學建模的具體應用 分析與設計 預報與決策 控制與優化 規劃與管理數學建模計算機技術知識經濟如虎添翼數學建模不是萬能的，但對于從事理工科研究的人，不會數學建模是“萬萬不能的”！1.3 數學建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放平穩嗎 ?問題分析模型假設通常 -三只腳著地放穩 -四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面; 地面相對平

5、坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCODC B A 用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是 的函數四個距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f() , g()是連續函數對任意, f(), g()至少一個為0數學問題已知： f() , g()是連續函數 ; 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0.

6、證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構成地面為連續曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續性知 h為連續函數, 據連續函數的基本性質, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因為f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評注和思考建模的關鍵 :假設條件的本質與非本質 考察四腳呈長方形的椅子和f(), g()的確定解決問題的另一個數學

7、模型基本假定: 1. 地面描述為連續曲面 ; 2. 椅子圍繞坐標原點水平旋轉; 3. 轉角規定為椅子對角連線與X軸的夾角, 記為; 4. 椅子四個腳在x-y平面上的坐標分別為xBADCODC B A 問題分析: 椅子四腳著地等價于四個腳都落在曲面上,并且四個落點共面數學模型: 設 是一個連續曲面, 則存在角度使得曲面上的四個點共面.模型求解: 基本定理: 空間中四點 共面 行列式 引進函數 是的連續函數 如果 , 表明 如果 , 由介值定理,存在 使得因此, 總是存在一個旋轉角度, 使得椅子的四腳水平落在曲面上(即放平穩)1.3.2 商人們安全過河問題?問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從

8、們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構成xk第k次渡河前此岸的商人數yk第k次渡河前此岸的隨從數xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態集合uk第k次渡船上的商人數vk第k次渡船上的隨從數dk=(uk , v

9、k)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態轉移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).多步決策問題模型求解 窮舉法 編程上機 圖解法狀態s=(x,y) 16個格點 10個 點允許決策 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.d1, ，d11給出安全渡河方案評注和思考規格化方法,易于推廣xy3322110s1sn+1d1d11允許狀態S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2

10、數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數1.4 數學建模的方法和步驟 數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的問題模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數學的語言、符號描述

11、問題發揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數學工具 數學建模的一般步驟模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩定性分析模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用 數學建模的一般步驟數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現實世界數學世界理論實踐歸納和演繹-在數學建模中的作用歸納就是從現象發現事物本質運行規律

12、的過程觀察到的現象: 數據記錄 常識與結論 .演繹就是從已知和證實的運行規律,通過合理的分析和推導得出新的結論和規律. 數學上的定理和推論都是從基本公理通過演繹得到的重要結論 工學中,同樣從電子線路的基本原理(定律)可以演繹出許多重要結論.歸納和演繹能力在科學發現中缺一不可.從第谷到萬有引力定律第谷(1546-1601),丹麥天文學家。自幼過繼給伯父約爾根布拉赫為子，受到良好的教育，曾先后在哥本哈根大學、萊比錫大學、羅斯托克大學、巴塞爾大學等多所大學求學。第谷對天文學的重大貢獻在于他通過長期觀測積累的有關行星運行的大量數據資料，成為那個時代罕見的天文觀測家，獲得“星學之王”的美稱。 數據積累大

13、量現象記錄-科學發現的基礎從第谷到萬有引力定律(續)開普勒(1571-1630), 德國天文學家, 第谷的學生。從現象發現規律第一定律(橢圓定律): 每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中. 第二定律(面積定律): 在相等時間內，太陽和運動中行星的連線所掃過的面積都是相等的. 第三定律(調和定律): 各個行星繞太陽公轉周期的平方和它們的橢圓軌道半長軸的立方成正比. 從第谷到萬有引力定律(續)牛頓爵士是歷史上曾出現過的最偉大、最有影響的科學家，同時也是物理學家、數學家和哲學家，晚年醉心于煉金術與神學。他在1687年發表的不朽著作自然哲學的數學原理里用數學方法證明了宇宙

14、中最基本的法則-萬有引力定律和三大運動定律。這四條定律構成了一個統一的體系，被認為是“人類智慧史上最偉大的成就”，由此奠定了之后三個世紀中物理世界的科學觀點，并成為現代工程學的基礎.萬有引力定律自然界總是以最簡單、最美的方式運行If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants.-Newton 如果說我比別人看得更遠些，那是因為我站在了巨人的肩上. 自然界與數學的簡約1.5 數學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的穩健性模型的可轉移性模