1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知定點，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（

2、 ）A橢圓B雙曲線C拋物線D圓2已知，則（ ）A5BC13D3一只螞蟻在邊長為的正三角形區域內隨機爬行，則在離三個頂點距離都大于的區域內的概率為( )ABCD4復數滿足，則（ ）ABCD5雙曲線的左右焦點為，一條漸近線方程為，過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）AB3CD26以下三個命題：在勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；其中真命題的個數為（ ）A3B2C1D

3、07復數的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數據：，下列函數模型中擬合較好的是（ ）ABCD9已知函數若存在實數，且，使得，則實數a的取值范圍為（ ）ABCD10已知復數滿足，(為虛數單位)，則( )ABCD311點在所在的平面內，且，則（ ）ABCD12設，分別是中，所對邊的邊長，則直線與的位置關系是（ ）A平行B重合C垂直D相交但不垂直二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13展開式中項的系數是_14已知函數的圖象在處的切線斜率為，則_15已知函數，若關于x的方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是_.16已知向量

4、滿足，且，則 _三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某公司欲投資一新型產品的批量生產，預計該產品的每日生產總成本價格)(單位:萬元)是每日產量(單位:噸)的函數:.（1）求當日產量為噸時的邊際成本(即生產過程中一段時間的總成本對該段時間產量的導數)；（2）記每日生產平均成本求證：；（3）若財團每日注入資金可按數列(單位:億元)遞減，連續注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.18（12分）已知橢圓C:（ab0）的兩個焦點分別為F1（，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點N的坐標為（3，2

5、），點P的坐標為（m，n）（m3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1k32k2，試求m，n滿足的關系式.19（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為. （1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.20（12分）記為數列的前項和，N.（1）求；（2）令，證明數列是等比數列，并求其前項和.21

6、（12分）已知函數f(x)=x-1+x+2，記f(x)的最小值為m.（）解不等式f(x)5；（）若正實數a，b滿足1a+1b=5，求證：2a2+3b22m.22（10分）設點，動圓經過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，且直線與軸交于點，設，求證：為定值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故

7、，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.2C【解析】先化簡復數，再求，最后求即可.【詳解】解：，故選：C【點睛】考查復數的運算，是基礎題.3A【解析】求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內的點到頂點、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點、的距離均不小于的圖形平面區域如圖中陰影部分所示，陰影部分區域的面積為.則使取到的點到三個頂點、的距離都大于的概

8、率是.故選：A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題4C【解析】利用復數模與除法運算即可得到結果.【詳解】解: ，故選：C【點睛】本題考查復數除法運算，考查復數的模，考查計算能力，屬于基礎題.5A【解析】設，直線的方程為，聯立方程得到，根據向量關系化簡到，得到離心率.【詳解】設，直線的方程為.聯立整理得，則.因為，所以為線段的中點，所以，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.6C【解析】根據抽樣方式的特征，可判斷；根據相關系數的性質，可判斷；根據獨立性檢驗的方法和步驟

9、，可判斷【詳解】根據抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故應是系統抽樣，即為假命題；兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數的絕對值越接近于0；故為真命題；對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越小，故為假命題故選：【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎題7C【解析】所對應的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.8D【解析】作出四個函數的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠近哪個曲線【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數圖象

10、，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側，與其他三個曲線都離得很遠，因此D是正確選項，故選：D【點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數據的點越多，說明擬合效果好9D【解析】首先對函數求導，利用導數的符號分析函數的單調性和函數的極值，根據題意，列出參數所滿足的不等關系，求得結果.【詳解】，令，得，其單調性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【點睛】該題考查的是有關根據函數值的關系求參數的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導數研究函數的單調性與極值，畫出圖象數形結合，屬于較難題目.10A【解析】，故，故選A

11、.11D【解析】確定點為外心，代入化簡得到，再根據計算得到答案.【詳解】由可知，點為外心，則，又，所以因為，聯立方程可得，因為，所以，即故選：【點睛】本題考查了向量模長的計算，意在考查學生的計算能力.12C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13-20【解析】根據二項式定理的通項公式，再分情況考慮即可求解【詳解】解：展開式中項的系數：二項式由通項公式當時，項的系數是，當時，項的系數是，故的系數為；故答案為：【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，注意分情況考慮，屬于基礎題14【

12、解析】先對函數f（x）求導，再根據圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，得f（0）4，由此可求a的值.【詳解】由函數得，函數f（x）的圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，.故答案為4【點睛】本題考查了根據曲線上在某點切線方程的斜率求參數的問題，屬于基礎題15【解析】畫出函數的圖象，再畫的圖象，求出一個交點時的的值，然后平行移動可得有兩個交點時的的范圍【詳解】函數的圖象如圖所示：因為方程有且只有兩個不相等的實數根，所以圖象與直線有且只有兩個交點即可，當過點時兩個函數有一個交點，即時，與函數有一個交點，由圖象可知，直線向下平移后有兩個交點，可得，故答案為：【點睛】本題主要考查了方程的跟與函數的圖

13、象交點的轉化，數形結合的思想，屬于中檔題16【解析】由數量積的運算律求得，再由數量積的定義可得結論【詳解】由題意，即，故答案為：【點睛】本題考查求向量的夾角，掌握數量積的定義與運算律是解題關鍵三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）求得函數的導函數，由此求得求當日產量為噸時的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉化為證明，構造函數，利用導數證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結論，判斷出，由此結合對數運算，證得.【詳解】（1）因為所以當時，（2）要證，只需證，即證，設則所以在上單調遞減，所以所以，即；（3）

14、因為又由（2）知，當時，所以所以所以【點睛】本小題主要考查導數的計算，考查利用導數證明不等式，考查放縮法證明數列不等式，屬于難題.18（1）；（2）mn10【解析】試題分析：（1）利用M與短軸端點構成等腰直角三角形，可求得b的值，進而得到橢圓方程；（2）設出過M的直線l的方程，將l與橢圓C聯立，得到兩交點坐標關系，然后將k1k3表示為直線l斜率的關系式，化簡后得k1k32，于是可得m，n的關系式.試題解析：（1）由題意，c，b1，所以a故橢圓C的方程為（2）當直線l的斜率不存在時，方程為x1，代入橢圓得，y不妨設A（1，），B（1，）因為k1k32又k1k32k2，所以k21所以m，n的關系式

15、為1，即mn10當直線l的斜率存在時，設l的方程為yk（x1）將yk（x1）代入，整理得：（3k21）x26k2x3k230設A（x1，y1），B（x2，y2），則又y1k（x11），y2k（x21）所以k1k32所以2k22，所以k21所以m，n的關系式為mn10綜上所述，m，n的關系式為mn10.考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系，19（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】（1）根據兩個曲線的焦點相同，得到，再根據與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設點，根據導數的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數量積得出，則問題得

16、以證明；（3）設直線，直線，、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為定值，進而可得出結論.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為，也是橢圓的一個焦點，又與的公共弦的長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，聯立，得，故的方程為；（2）如圖，由得，在點處的切線方程為，即，令，得，即，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.故直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）設直線，直線，、，則，設向量和的夾角為，則的面積為，由，可得，同理可得，故有.又，故，則，因此，的面積為定值.【點睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關系，考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解，關鍵是聯立方程，構造

17、方程，利用韋達定理，以及向量的關系，得到關于斜率的方程，計算量大，屬于難題20（1）；（2）證明見詳解，【解析】（1）根據，可得，然后作差，可得結果.（2）根據（1）的結論，用取代，得到新的式子，然后作差，可得結果，最后根據等比數列的前項和公式，可得結果.【詳解】（1）由，則-可得：所以（2）由（1）可知：則-可得：則，且令，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列所以【點睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關系的應用，考驗觀察能力以及分析能力，屬中檔題.21（）x|-3x2（）見證明【解析】()由題意結合不等式的性質零點分段求解不等式的解集即可；()首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中

18、的不等式.【詳解】（）當x1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+15，即x2，1x2；當-2x1時，f(x)=(1-x)+(x+2)=35，-2x1；當x-2時，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-15，即x-3，-3x-2.綜上所述，原不等式的解集為x|-3x2.（）f(x)=x-1+x+2(x-1)-(x+2)=3，當且僅當-2x1時，等號成立.f(x)的最小值m=3.(2a)2+(3b)2(12)2+(13)2(2a12+3b13)2=5，即2a2+3b26，當且僅當2a13=3b12即3a=2b時，等號成立.又1a+1b=5，a=53，b=52時，等號成立.2a2+3b22m.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.22（1）；（2）見解析【解析】（1）已知點軌跡是以為焦點，直線