1、第四章 非平穩序列的隨機分析時間序列的分解差分運算ARIMA模型Auto-Regressive模型異方差的性質方差齊性變化條件異方差模型4.1 時間序列的分解4.1.1 Wold分解定理4.1.2 Cramer分解定理引例4.1.1、Wold分解定理1938對于任何一個離散平穩過程 它都可以分解為兩個不相關的平穩序列之和，其中一個為確定性的，另一個為隨機性的，無妨記作 其中： 為確定性序列， 為隨機序列， 它們需求滿足如下條件 1 2 3確定性序列與隨機序列的定義對恣意序列 而言，令 關于q期之前的序列值作線性回歸 其中 為回歸殘差序列， 。顯然， ，且隨著q的增大而增大，也就是說 是非減的有

2、界序列，它的大小可以衡量歷史信息對現時值的預測精度。 越小，闡明預測得越準確， 越大，闡明預測得越差。對比43頁AR模型確定性序列：假設即闡明序列隨著時間的開展有很強的規律性。隨機序列：假設即闡明序列隨著時間的開展隨機性很強，預測效果很差，此時稱 是隨機序列。例如：ARMA模型分解確定性序列隨機序列Wold分解定理闡明任何平穩序列都可以分解為確定性平穩序列和隨機平穩序列之和。它是現代時間序列分析實際的靈魂，是構造ARMA模型擬合平穩序列的實際根底。4.1.2、Cramer分解定理1961任何一個時間序列可適用于非平穩序列 都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項式決議確實定性趨勢成分，另一

3、部分是平穩的零均值誤差成分，即確定性影響隨機性影響例如：平穩ARMA為常數系數為一個零均值白噪聲序列為延遲算子對Cramer分解定理的了解：Cramer 分解定理是Wold分解定理的實際推行，它闡明任何一個序列的動搖都可以視為同時遭到了確定性影響和隨機性影響的綜協作用。平穩序列要求這兩方面的影響都是穩定的，而非平穩序列產生的機理就在于它所遭到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩定的。 4.2 差分運算差分運算的本質差分方式的選擇過差分4.2.1、差分運算的本質得到察看值序列之后，無論采用確定性時序分析方法還是隨機時序分析方法，第一步都是要提取序列中確實定性信息。確定性時序分析方法：季節指數、長期

4、趨勢模型、挪動平均消弱短期隨機動搖對序列的影響、指數平滑等第五章。差分方法是一種非常簡便、有效確實定性信息提取方法Box和Jenkins。Cramer分解定理在實際上保證了適當階數的差分一定可以充分提取確定性信息。離散序列的d階差分就相當于延續變量的d階求導，在上述分解下， d階差分就可充分提取時序中確實定性信息。 展開1階差分，有1階差分本質上就是一個自回歸過程，它是用延遲一期的歷史數據 作為自變量來解釋當期序列值的變動情況，差分序列 度量的是1階自回歸過程中產生的隨機誤差的大小。差分運算的本質是運用自回歸的方式提取確定性信息 隨機誤差4.2.2 差分方式的選擇1序列蘊含著顯著的線性趨勢，一

5、階差分就可以實現趨勢平穩 2序列蘊含著曲線趨勢，通常低階二階或三階差分就可以提取出曲線趨勢的影響 3對于蘊含著固定周期的序列進展步長為周期長度的差分運算，通常可以較好地提取周期信息 【例4.1】1964年1999年中國紗年產量序列蘊含著一個近似線性的遞增趨勢。對該序列進展一階差分運算 調查差分運算對該序列線性趨勢信息的提取作用 1序列蘊含著顯著的線性趨勢差分前后時序圖原序列時序圖差分后序列時序圖序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現趨勢平穩 2序列蘊含著曲線趨勢例4.2 嘗試提取1950年1999年北京市民用車輛擁有量序列確實定性信息差分后序列時序圖一階差分二階差分序列蘊含著顯著的曲線趨

6、勢，二階或三階差分就可以實現趨勢平穩 3蘊含著固定周期的序列例4.3 差分運算提取1962年1月1975年12月平均每頭奶牛的月產奶量序列中確實定性信息 差分后序列時序圖1階差分：提取線性遞增趨勢，剩季節動搖和隨機動搖。序列還蘊含著固定周期，如何實現趨勢平穩？ 思索：假設把每一時辰的察看值與上年同期相應的察看值相減，能否能將原序列的周期性變化消除？或實現平穩化，在經濟上，就是調查與前期相比的凈增值，用數學言語來描畫就是定義季節差分算子。定義：季節差分可以表示為1階12步差分：提取周期信息。4.3.3、過差分 足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩確定性信息但過度的差分會呵斥有用信息的

7、無謂浪費，從而降低估計的精度。 假設序列如下調查一階差分后序列和二階差分序列 的平穩性與方差 例4.4過差分本質上是由于過多次的差分導致有效信息的無謂浪費而降低了估計的精度。一階差分平穩二階差分過差分平穩4.3 ARIMA模型ARIMA模型構造ARIMA模型性質ARIMA模型建模ARIMA模型預測疏系數模型季節模型4.3.1、ARIMA模型構造運用場所：差分平穩序列擬合ARIMAautoregressive integrated moving average求和自回歸挪動平均ARIMAp,d,q模型構造為平穩可逆ARMAp,q模型的自回歸系數多項式4.1對比63頁為平穩可逆ARMAp,q模型的

8、挪動平均系數多項式。4.1簡記為4.2 ARIMA模型的本質就是差分運算與ARMA模型的組合。即任何非平穩序列假設能經過適當階數的差分實現差分后平穩，此時可對差分后序列進展ARMA模型擬合了。ARIMA 模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(0,1,0)=random walk model隨機游走模型( random walk)模型構造模型產生典故Karl Pearson(1905.07)在雜志上提問：假設有個醉漢醉得非常嚴重，完全喪失方向感，把他放在

9、荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？雷利爵士1905.08以為，最好去初始位置找他2、ARIMA模型的平穩性 自回歸系數多項式的根為特征根的倒數，所以ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內，d個在單位圓上。 所以當 時ARIMA(p,d,q)模型非平穩。例4.5ARIMA(0,1,0)時序圖3、ARIMA模型的方差齊性 時，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性問題：平穩AR模型和可逆MA模型，它們能否具有方差齊性？回想：Cramer分解定理1961任何一個時間序列可適用于非平穩序列 都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項式決

10、議確實定性趨勢成分，另一部分是平穩的零均值誤差成分，即確定性影響隨機性影響例如：平穩ARMA為常數系數為一個零均值白噪聲序列為延遲算子離散序列的d階差分就相當于延續變量的d階求導，在上述分解下， d階差分就可充分提取時序中確實定性信息。留意：防止出現過差分。ARIMA模型構造ARIMAp,d,q模型構造分別為平穩可逆ARMAp,q模型的自回歸系數多項式和挪動平均系數。留意：ARIMAp,q的平穩性？方差齊性？ ARMAp,q呢？ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結束N擬合ARMA模型例4.6對1952年1988年中國農業實踐國民收入指數序列建模d=rea

11、d.csv(shouru.csv,head=F)shouru=ts(d,start=1952,end=1988,freq=1) ts.plot(shouru,type=b) chafen=diff(shouru,differences=1) ts.plot(chafen) acf(chafen,10) 時序圖和一階差分序列時序圖acf(chafen,10)pacf(chafen,10)Box.test(chafen, type=Ljung-Box,lag=6)data: chafenX-squared = 15.3304, df = 6, p-value = 0.01784arima(chaf

12、en, order = c(0,0,1),method=ML) arima(x = chafen, order = c(0, 0, 1), method = ML)Coefficients: ma1 intercept 0.6710 4.9947s.e. 0.1648 2.0sigma2 estimated as 53.42: log likelihood = -122.99, aic = 251.97a= arima(chafen, order = c(0,0,1),method=ML)r=a$residualsBox.test(r,type=Ljung-Box,lag=6,fitdf=1)data: rX-squared = 3.6649, df = 5, p-value = 0.5986p=pt(4.0716,df=35,lower.tail = F)*2p1 0.0002536605 (theta1的檢驗p=pt(2.4801,df=35,lower.tail =