1、比這經(jīng)更充典分的數(shù)理由學(xué)。問題:歌德巴赫猜想第一部分.經(jīng)典數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)中最重要的未解決的問題“黎曼假設(shè)”對一般人而言，數(shù)學(xué)中最著名的問題無疑是費(fèi)馬定理。但對于職業(yè)數(shù)學(xué)家都知道：在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中唯一最重要的未解決的問題是什么，你肯定會得到這樣的回答：“黎曼假設(shè)”英國偉大的數(shù)學(xué)家哈代(GHHardy)顯然是這樣想的。一次他要從斯勘的納維亞渡海到英格蘭，臨行時(shí)北海的天氣出奇地糟糕，在臨危時(shí)他給一位同事的明信片中寫道：“已經(jīng)證明了黎曼假設(shè)，你的哈代。”哈代的意思無疑是指，不證明這么重要的結(jié)果，上帝是不會讓他離去的，所以一定會保佑他平安回家。后來哈代安全返回了(他是個(gè)地道的無神論者!！但他所期望的“哈

2、代大定理”卻未能叫響。直至今天，黎曼假設(shè)仍未得以證明。下面先給出黎曼函數(shù)，然后給出著名的“黎曼假設(shè)”先給出黎曼函數(shù)的定義上式中的積分路徑C從a沿正實(shí)軸向左，止于原點(diǎn)附近，然后沿逆時(shí)針方向的圓繞過原點(diǎn),再沿正實(shí)軸回到g。乘積丄丄(s)為二limN*(s+l)(s+2)(s+N)這里的s可以是所有不為負(fù)整數(shù)的數(shù)。【說明】對任意等于2-4,-6,的s,(s)值為零。也就是說負(fù)偶數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)。此外，還有無數(shù)個(gè)其它的復(fù)數(shù)s使得(s)=。其實(shí)數(shù)部分的值介于0和1之間(即它們有形式s=a+ib，a介于和1之間)。黎曼假設(shè)是黎曼在他的文章中對有關(guān)函數(shù)的這些復(fù)零點(diǎn)的猜想。他說(幾乎沒有任何根據(jù))函數(shù)的所有復(fù)零

3、點(diǎn)實(shí)數(shù)部分恰等于(即,若(s),則s具有2+b的形式)。“黎曼假設(shè)”或“黎曼的猜想”：如果對一復(fù)數(shù)s,使得(s)，那么S一定具有形如1+bi的形式？2前面提到，任何的復(fù)零點(diǎn)其實(shí)數(shù)部分總在和1之間，而2正在中央，但黎曼一定有世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)(只能被和它本身整除的數(shù))之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的想法:任何一個(gè)=6

4、之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。任何一個(gè)=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從費(fèi)馬提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.等等。有人對33x108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗(yàn)格的數(shù)學(xué)證明尚待

5、數(shù)學(xué)家的努力。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從(9十9)開始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理(ChensTheorem)“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，

6、而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。”通常都簡稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗(Brun)證明了“9+9”。1924年，德國的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7+7”。1932年，英國的埃斯特曼(Estermann)證明了“6+6”。1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後證明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)證明了“5+5”。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)證明了“4+4”。1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數(shù)。1956年，中國的王元

7、證明了“3+4”。1957年，中國的王元先後證明了“3+3”和“2+3”。1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩(BapoaH)證明了“1+5”，中國的王元證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB),及意大利的朋比利(Bombieri)證明了“1+3”。1966年，中國的陳景潤證明了“1+2”。最終會由誰攻克“1+1”這個(gè)難題呢？現(xiàn)在還沒法預(yù)測。比這經(jīng)更充典分的數(shù)理由學(xué)。問題:歌德巴赫猜想三、數(shù)學(xué)經(jīng)典問題費(fèi)馬最后定理被公認(rèn)的世界報(bào)“紐約時(shí)報(bào)”於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關(guān)數(shù)學(xué)難題得以解決的消息，那則消息的標(biāo)題是“在

8、陳年數(shù)學(xué)困局中，終於有人呼叫我找到了”。時(shí)報(bào)一版的開始文章中還附了一張留著長發(fā)、穿著中古世紀(jì)歐洲學(xué)袍的男人照片。這個(gè)古意盎然的男人，就是法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（PierredeFermat）（費(fèi)馬小傳請參考附錄）。費(fèi)馬是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，在三百六十多年前的某一天，費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書時(shí)，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個(gè)看起來很簡單的定理這個(gè)定理的內(nèi)容是有關(guān)一個(gè)方程式xn+yn=zn的正整數(shù)解的問題，當(dāng)n=2時(shí)就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦

9、定理）：X2+y2=z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一個(gè)直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個(gè)方程式當(dāng)然有整數(shù)解（其實(shí)有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13.等等。費(fèi)馬聲稱當(dāng)n2時(shí)，就找不到滿足xn+yn=zn的整數(shù)解，例如：方程式x3+y3=z3就無法找到整數(shù)解。當(dāng)時(shí)費(fèi)馬并沒有說明原因，他只是留下這個(gè)敘述并且也說他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費(fèi)馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數(shù)的數(shù)學(xué)家嘗試要去解決這個(gè)難題卻都徒勞無功。這個(gè)號稱世紀(jì)難題的費(fèi)馬最後定理也就成了數(shù)學(xué)界

10、的心頭大患，極欲解之而後快。十九世紀(jì)時(shí)法國的法蘭西斯數(shù)學(xué)院曾經(jīng)在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞腿俜ɡ山o任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領(lǐng)到獎(jiǎng)賞。德國的數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾（P.Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費(fèi)馬最後定理是正確的人，有效期間為100年。其間由於經(jīng)濟(jì)大蕭條的原因，此筆獎(jiǎng)?lì)~已貶值至七千五百馬克，雖然如此仍然吸引不少的“數(shù)學(xué)癡”。二十世紀(jì)電腦發(fā)展以後，許多數(shù)學(xué)家用電腦計(jì)算可以證明這個(gè)定理當(dāng)n為很大時(shí)是成立的，1983年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運(yùn)行5782秒證明當(dāng)n為286243-1時(shí)費(fèi)馬定理是正確的（注286243-1為一天文數(shù)字，大約為25

11、960位數(shù)）。雖然如此，數(shù)學(xué)家還沒有找到一個(gè)普遍性的證明。不過這個(gè)三百多年的數(shù)學(xué)懸案終於解決了，這個(gè)數(shù)學(xué)難題是由英國的數(shù)學(xué)家威利斯（AndrewWiles）所解決。其實(shí)威利斯是利用二十世紀(jì)過去三十年來抽象數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果加以證明。五。年代日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先提出一個(gè)有關(guān)橢圓曲線的猜想，後來由另一位數(shù)學(xué)家志村五郎加以發(fā)揚(yáng)光大，當(dāng)時(shí)沒有人認(rèn)為這個(gè)猜想與費(fèi)馬定理有任何關(guān)聯(lián)。在八。年代德國數(shù)學(xué)家佛列將谷山豐的猜想與費(fèi)馬定理扯在一起,而威利斯所做的正是根據(jù)這個(gè)關(guān)聯(lián)論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進(jìn)而推出費(fèi)馬最後定理也是正確的。這個(gè)結(jié)論由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的研討會

12、正式發(fā)表，這個(gè)報(bào)告馬上震驚整個(gè)數(shù)學(xué)界，就是數(shù)學(xué)門墻外的社會大眾也寄以無限的關(guān)注。不過威利斯的證明馬上被檢驗(yàn)出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學(xué)生又花了十四個(gè)月的時(shí)間再加以修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數(shù)學(xué)界的夢魘終於結(jié)束。1997年6月，威利斯在德國哥庭根大學(xué)領(lǐng)取了佛爾夫斯克爾獎(jiǎng)。當(dāng)年的十萬法克約為兩百萬美金，不過威利斯領(lǐng)到時(shí)，只值五萬美金左右，但威利斯已經(jīng)名列青史，永垂不朽了。要證明費(fèi)馬最後定理是正確的(即xn+yn=zn對n3均無正整數(shù)解)只需證x4+y4=z4和xp+yp=zp(p為奇質(zhì)數(shù))，都沒有整數(shù)解。附錄：費(fèi)馬小傳費(fèi)馬(PierredeFermat)是十七世紀(jì)

13、最偉大的數(shù)學(xué)家之一，1601年8月20日生於法國南部土魯士(Toulous)附近的一個(gè)小鎮(zhèn)，父親是一個(gè)皮革商，1665年1月12日逝世。費(fèi)馬在大學(xué)時(shí)專攻法律，學(xué)成後成為專業(yè)的律師，也曾經(jīng)當(dāng)過土魯士議會議員。費(fèi)馬是一位博覽群書見廣多聞的諄諄學(xué)者，精通數(shù)國語言，對於數(shù)學(xué)及物理也有濃厚的興趣，是一位多采多藝的人。雖然他在近三十歲才開始認(rèn)真專研數(shù)學(xué)，但是他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)使他贏得業(yè)余王子(theprinceofamateurs)之美稱。這個(gè)頭銜正足以表彰他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一級成就，他在笛卡兒(Descartes)之前引進(jìn)解析幾何，而且在微積分的發(fā)展上有重大的貢獻(xiàn)，尤其為人稱道的是費(fèi)馬和巴斯卡(Pascal)被

14、公認(rèn)是機(jī)率論的先驅(qū)。然而人們所津津樂道的則是他在數(shù)論上的一些杰作，例如費(fèi)馬定理(又稱費(fèi)馬小定理，以別於費(fèi)馬最後定理)：ap三a(modp),對任意整數(shù)a及質(zhì)數(shù)p均成立。這個(gè)定理第一次出現(xiàn)於1640年的一封信中，此定理的證明後來由歐拉(Euler)發(fā)表。費(fèi)馬為人非常謙虛、不尚名利，生前很少發(fā)表論文，他大部分的作品都見諸於與友人之間的信件和私人的札記，但通常都未附證明。最有名的就是俗稱的費(fèi)馬最后定理，費(fèi)馬天生的直覺實(shí)在是異常敏銳，他所斷言的其他定理，後來都陸續(xù)被人證出來。有先見之明的費(fèi)馬實(shí)在是數(shù)學(xué)史上的一大奇葩。四、經(jīng)典數(shù)學(xué)問題：四色猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年

15、，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個(gè)問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。1872年，英

16、國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識到，這個(gè)貌似容易的題目,實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學(xué)大師們的努力，為后世的數(shù)學(xué)家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。進(jìn)入20世

17、紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧，美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進(jìn)到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國。看來這種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計(jì)算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計(jì)算機(jī)證明，轟動了世界

18、。它不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。不過也有不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。五、“蜂窩猜想”問題加拿大科學(xué)記者德富林在環(huán)球郵報(bào)上撰文稱,經(jīng)過160年0努力,數(shù)學(xué)家終于證明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。四世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家佩波斯提出,蜂窩的優(yōu)美形狀,是自然界最有效勞動的代表。他猜想,人們所見到的、截面呈六邊形的蜂窩,是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。他的這一猜想稱為蜂窩猜想但,這一猜想一直沒有人能證明。美密執(zhí)安大學(xué)數(shù)學(xué)家黑爾宣稱,他已破解這一猜想。蜂窩是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢時(shí),青壯年工蜂負(fù)責(zé)分

19、泌片狀新鮮蜂蠟,每片只有針頭大校而另一些工蜂則負(fù)責(zé)將這些蜂蠟仔細(xì)擺放到一定的位置,以形成豎直六面柱體。每一面蜂蠟隔墻厚度及誤差都非常小。6面隔墻寬度完全相同,墻之間的角度正好12度,形成一個(gè)完美的幾何圖形。人們一直疑問,蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢?隔墻為什么呈平面,而不是呈曲面呢?雖然蜂窩是一個(gè)三維體建筑,但每一個(gè)蜂巢都是六面柱體,而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān)。由此引出一個(gè)數(shù)學(xué)問題,即尋找面積最大、周長最小的平面圖形。194年3,匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯巧妙地證明,在所有首尾相連的正多邊形中,正多邊形的周長是最小的。194年3,匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯巧妙地證明,在所有首尾相連的正

20、多邊形中,正多邊形的周長是最小的。但如果多邊形的邊是曲線時(shí),會發(fā)生什么情況呢?陶斯認(rèn)為,正六邊形與其他任何形狀的圖形相比,它的周長最小,但他不能證明這一點(diǎn)。而黑爾在考慮了周邊是曲線時(shí),無論是曲線向外突,還是向內(nèi)凹,都證明了由許多正六邊形組成的圖形周長最校他已將19頁的證明過程放在因特網(wǎng)上,許多專家都已看到了這一證明,認(rèn)為黑爾的證明是正確的。六、丟番都方程一個(gè)（或一組）整系數(shù)的不定方程，如果只要求它的整數(shù)解，這不定方程叫做“丟番都方程”。希臘時(shí)代，代數(shù)學(xué)獲得重大的發(fā)展，代表人物是丟番都（約公元24633年9），被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖。他寫了三部書，其中最出色的是算術(shù)。這部偉大的著作在歷史上的重要性可

21、以和歐幾里得幾何原本一比高下。算術(shù)是講數(shù)的理論的，不過大部分的內(nèi)容可以劃入代數(shù)的范圍內(nèi)。書中舉出并解決了許多不定方程。等類型的不定方程時(shí)顯示出驚人的丟番都是系統(tǒng)研究整系數(shù)不定方程的整數(shù)解的先行者，因此，人們習(xí)慣上把這種不定方程叫Ax2+c=y2,Bx+c=y2做“丟番都方程”丟番都在處理技巧。例如，算術(shù)中有一題是：“把16分為兩個(gè)平方米之和”。丟番都設(shè)一個(gè)平方數(shù)為乳,則另一個(gè)數(shù)為厲一設(shè)：。為了使厲一也是平方數(shù)，他巧妙地16-r=（2x-4）J_16256144_525即得x。所以一個(gè)數(shù)為，另一個(gè)數(shù)為。這個(gè)問題具有很大的歷史價(jià)值，因?yàn)樗隽酥摹百M(fèi)馬大定理”。丟番都對于各個(gè)都用特殊的方法去解

22、決，很少給出一般的法則，甚至性質(zhì)很相近的題解法也不同，這是他的一個(gè)不足之處。難怪一位德國數(shù)學(xué)史家說：“近代數(shù)學(xué)家研究了丟番都100個(gè)題后，去解101題，仍然感到困難。”因此近代的數(shù)論家如歐拉、拉格朗日、高斯等解決不定方程時(shí)不得不另覓途徑。1900年德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特提了的23個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題中，第10個(gè)問題就是關(guān)于丟番都方程的：“是不是可以設(shè)計(jì)一種計(jì)算步驟，以判定一個(gè)整系數(shù)方程有沒有整數(shù)解?”有人曾用數(shù)理邏輯中遞歸函的概念，定出了這種計(jì)算步驟，并得到了公認(rèn)。但又有數(shù)學(xué)家證明了這種算法并不能判定丟番都方程有沒有整數(shù)解。至今希爾伯特等10個(gè)問題仍是懸案，有待進(jìn)一步探討。七、七橋問題當(dāng)Euler在

23、1736年訪問Konigsberg,Prussia(nowKaliningradRussia)時(shí)，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)氐氖忻裾龔氖乱豁?xiàng)非常有趣的消遣活動。Konigsberg城中有一條名叫Pregel的河流橫經(jīng)其中，在河上建有七座橋如圖所示:這項(xiàng)有趣的消遣活動是在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經(jīng)過一次而且起點(diǎn)與終點(diǎn)必須是同一地點(diǎn)。後來推論出此種走法是不可能的。他的論點(diǎn)是這樣的，除了起點(diǎn)以外，每一次當(dāng)一個(gè)人由一座橋進(jìn)入一塊陸地(或點(diǎn))時(shí)，他(或她)同時(shí)也由另一座橋離開此點(diǎn)。所以每行經(jīng)一點(diǎn)時(shí)，計(jì)算兩座橋(或線)，從起點(diǎn)離開的線與最後回到始點(diǎn)的線亦計(jì)算兩座橋，因此每一個(gè)陸地與其他陸地連接的橋數(shù)必

24、為偶.七橋所成之圖形中，沒有一點(diǎn)含有偶數(shù)條數(shù)，因此上述的任務(wù)是不可能實(shí)現(xiàn)的。八、連續(xù)統(tǒng)之迷注：文中將阿拉夫零記為alf(0)，阿拉夫一記為alf(1)，依次類推)由于alf(0)是無窮基數(shù)，阿拉夫是有異于有限運(yùn)算的神奇運(yùn)算，因而，以下的結(jié)果也不足為怪：alf(0)+1=alf(0)alf(0)+n=alf(0)alf(0)+alf(0)=alf(0)alf(0)Xn=alf(0)alf(0)Xalf(0)=alf(0)alf(O)是自然數(shù)集的基數(shù)。一個(gè)無窮基數(shù)，只要是可數(shù)集，其基數(shù)必為alf(O)。由可排序性，可知如整數(shù)集、有理數(shù)集的基數(shù)為alf(0)；或由它們的基數(shù)為alf(0)，得它們?yōu)榭?/p>

25、數(shù)集。而實(shí)數(shù)集不可數(shù)(可由康托粉塵線反證不可數(shù))推之存在比alf(O)更大的基數(shù)。乘法運(yùn)算無法突破alf(O),但幕集可突破：2alf(0)=alf(1)可以證明實(shí)數(shù)集的基數(shù)card(R)=alf(l)。進(jìn)而,阿拉夫家族一發(fā)而不可收：2alf(l)=alf(2);2alf(2)=alf(3);alf(2)究竟有何意義？人們冥思苦想，得出：空間所有曲線的數(shù)目。但而后的alf(3)，人類絞盡腦汁，至今為能道出眉目來。此外，還有一個(gè)令人困惑的連續(xù)統(tǒng)之迷：”alf(O)與alf(1)之間是否還存在另一個(gè)基數(shù)？公元1878年，康托提出了這樣的猜想：在alf(0)與alf(1)之間不存在其它的基數(shù)。但當(dāng)時(shí)

26、康托本人對此無法予以證實(shí)。公元1900年，在巴黎召開的第二次國際數(shù)學(xué)家會議上，德國哥庭根大學(xué)教授希爾伯特提出了舉世聞名的23個(gè)二十世紀(jì)須攻克的數(shù)學(xué)問題中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)顯赫的排在第一個(gè)。然而這個(gè)問題的最終結(jié)果卻是完全出人意料的。公元1938年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)決不會引出矛盾，意味著人類根本不可能找出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有什么錯(cuò)誤。1963年，美國數(shù)學(xué)家柯亨居然證明了：連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的，也就是說連續(xù)統(tǒng)假設(shè)根本不可能被證明。平面幾何作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里所謂的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。用直尺與圓規(guī)當(dāng)然可以做出許多種之圖形，但有些圖形如正七邊形、正九邊形就做不出來。有些問題看起

27、來好像很簡單，但真正做出來卻很困難，這些問題之中最有名的就是所謂的三大問題。幾何三大問題幾何三大問題是：化圓為方求作一正方形使其面積等於一已知圓；三等分任意角；倍立方求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。圓與正方形都是常見的幾何圖形，但如何作一個(gè)正方形和已知圓等面積呢？若已知圓的半徑為1則其面積為n(1)2=n，所以化圓為方的問題等於去求一正方形其面積為n，也就是用尺規(guī)做出長度為nl/2的線段(或者是n的線段)。三大問題的第二個(gè)是三等分一個(gè)角的問題。對於某些角如90。、180。三等分并不難，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分則可以做出20。的角，那麼正18邊形及正九邊形也都

28、可以做出來了(注：圓內(nèi)接一正十八邊形每一邊所對的圓周角為360。/18=20。)。其實(shí)三等分角的問題是由求作正多邊形這一類問題所引起來的。第三個(gè)問題是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年公元前195年）曾經(jīng)記述一個(gè)神話提到說有一個(gè)先知者得到神諭必須將立方形的祭壇的體積加倍，有人主張將每邊長加倍，但我們都知道那是錯(cuò)誤的，因?yàn)轶w積已經(jīng)變成原來的8倍。這些問題困擾數(shù)學(xué)家一千多年都不得其解，而實(shí)際上這三大問題都不可能用直尺圓規(guī)經(jīng)有限步驟可解決的。1637年笛卡兒創(chuàng)建解析幾何以後，許多幾何問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究。1837年旺策爾（Wantzel）給出三等分任一角及倍立方不可能用尺規(guī)作圖的證明。18

29、82年林得曼（Linderman）也證明了n的超越性（即n不為任何整數(shù)系數(shù)多次式的根），化圓為方的不可能性也得以確立。十、數(shù)學(xué)經(jīng)典問題希爾伯特個(gè)數(shù)學(xué)問題在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為數(shù)學(xué)問題的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個(gè)問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個(gè)數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念，對于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個(gè)問題分屬四大

30、塊：第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析。（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個(gè)意義下，問題已獲解決。（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加

31、以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen,1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個(gè)四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是：存在兩個(gè)登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決。（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題。此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海＿@一個(gè)問題簡稱連續(xù)群的解析性

32、，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。（6）對數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘：髞恚诹孔恿W(xué)、量子場論方面取得成功。但對物理學(xué)各個(gè)分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。（7）某些數(shù)的超越性的證明。需證：如果a是代數(shù)數(shù)，卩是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么aP一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如，2邊和en）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）19

33、35年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的方法。（8）素?cái)?shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素?cái)?shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問題目前也未最終解決，其最佳結(jié)果均屬中國數(shù)學(xué)家陳景潤。（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？求出一個(gè)

34、整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。德國數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展。（1

35、2）類域的構(gòu)成問題。即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+l=0的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德(Arnold)證明了任一在】0,1上連續(xù)的實(shí)函數(shù)fg,x2，x3)可寫成形式hi(i(x1，x2),x3)(i=19),這里h.和g.為連續(xù)實(shí)函數(shù)。柯爾莫哥洛夫證明f(x1,x2,x3)可寫成形式ii123Zhi(gi1(x1)+gi2(x2)+gi

36、3(x3)(i=17)這里h.和g為連續(xù)實(shí)函數(shù)，g.的選取可與f完全無關(guān)。1964年,，維土斯金(VitUskin)推廣到連續(xù)可微情形，對解析函數(shù)情形則未解決。某些完備函數(shù)系的有限的證明。即域K上的以x1,x2,.,x為自變量的多項(xiàng)式f.(i=1,.,m),R為K:X1，,X上的12ni1m有理函數(shù)F(X1，Xm)構(gòu)成的環(huán)，并且F(f1，fm)訥帚，xm試問R是否可由有限個(gè)元素F,，F(xiàn)n的多項(xiàng)式生成？這個(gè)與代數(shù)不變量問題有關(guān)的問題，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注一：舒伯特(S

37、chubert)計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。一個(gè)典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。現(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊４藛栴}前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)N(n)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。對n=2(即二次系統(tǒng))的情況,1934年福羅獻(xiàn)爾得到N(2)1；1952年鮑廷得到N(2)3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)0.001,.p,e

38、,t=refinemesh(g,p,e,t);.u=assempde(b,p,e,t,c,a,f);.exact=(1-p(1,:).人2-p(2,:).人2)74;.er=norm(u-exact,inf);.er是u-exact的無窮大的模error=errorer;.fprintf(Error:%e.Numberofnodes:%dn,er,size(p,2);.end%運(yùn)行結(jié)果是Error:1.292265e-002.Numberofnodes:25把結(jié)果用圖形表示：如圖22.9(a),(b)所示,%pdesurf(p,t,u);pdeplot(p,e,t,xydata,u,zdata

39、,u,mesh,on);figure;1比這經(jīng)更充典分的數(shù)理由學(xué)。問題:歌德巴赫猜想pdesurf(p,t,u-exact);pdeplot(p,e,t,xydata,u-exact,zdata,u-exact,mesh,on);誤差解圖顯示0.3-0.2-0.1、精確解22.9(b)0.510.5-0.501x0 x=10cy1y0cy1y20-0.5-1-1敗值解與解析解的誤差圖0.20.150.050.515與仿-0.5-1-11比這經(jīng)更充典分的數(shù)理由學(xué)。問題:歌德巴赫猜想u(x,y,0)二atancos(3nx),u(x,y,0)=5sin(2nx7t解:%定義單位方形區(qū)域%定義零邊界

40、條件%注意坐標(biāo)向量都是列向量p,e,t=initmesh(squareg);x=p(1,:)；y=p(2,:);u0=atan(cos(3*pi*x);ut0=5*sin(2*pi*x).*exp(cos(pi*y);n=31;tlist=linspace(0,5,n);%在05之間產(chǎn)生n個(gè)均勻的時(shí)間點(diǎn)u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);delta=-1:0.1:1;uxy,tn,a2,a3=tri2grid(p,t,u1(:,1),delta,delta);%建立新的坐標(biāo)系gp=tn;a2;a3;newplot;newplot;M=movi

41、ein(n);umax=max(max(u1);umin=min(min(u1);fori=1:n,.%注意符號不可省略ifrem(i,10)=0,.%當(dāng)n是10的整數(shù)倍時(shí)，在命令窗口打印出相應(yīng)的數(shù)字fprintf(%d,i);.0000end,.pdeplot(p,e,t,xydata,u1(:,i),zdata,u1(:,i),zstyle,continuous,mesh,on,xygrid,on,gridparam,gp,colorbar,off);.axis(-1,1,-1,1uminumax);caxis(uminumax);.M(:,i)=getframe;.ifi=n,.fpri

42、ntf(donen);.end,.endnfps=5;movie(M,10,nfps);運(yùn)行結(jié)果是：drawnowendfigure(2)waterfall(X(l:50:3000,:),T(l:50:3000,:),u(l:50:3000,:)Xlabel(x)Ylabel(t)十.計(jì)算機(jī)仿真繪出勒讓德函數(shù)P(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形k解：用繪出勒讓德函數(shù)p(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形的程序k十一計(jì)算機(jī)仿真繪出貝塞爾函數(shù)J(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形k解：用繪出貝塞爾函數(shù)J(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形的程序k-0.50

43、.512345678910十二計(jì)算機(jī)仿真繪出虛宗量貝塞爾函數(shù)I(x),I(x),I(x),I(x),I(x)的圖形。01234提示使用語句：解：用繪出虛宗量貝塞爾函數(shù)I(x),I(x),I(x),I(x),I(x)的圖形的程序01234000.511.522.53第四部分?jǐn)?shù)學(xué)問題及仿真驗(yàn)證方法一.計(jì)算機(jī)仿真編程驗(yàn)證：J2n1+2cos史d=005+4cos【解】計(jì)算機(jī)仿真程序symsx;IS=int(1+2*cos(x)/(5+4*cos(x),x,0,2*pi)%求解析積分vpa(IS)二計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐：若Z(k,1,2,“)對應(yīng)為Zn1=0的根，其中n2且取整數(shù).試用計(jì)算機(jī)仿真編程驗(yàn)k

44、證下列數(shù)學(xué)恒等式-，0,成立.k，1(Z-Z)kmm=1(m豐k)【解】計(jì)算機(jī)仿真程序N=100;Sum=0;fork=1:Nz(k)=exp(i*2*k*pi/N);end,.endfork=1:NMultiplex=1;form=1:Nifm=kMultiplex=Multiplex*(z(k)-z(m)endendSum=Sum+1.O/Multiplexend二.計(jì)算機(jī)仿真編程驗(yàn)證對復(fù)平面任意兩個(gè)以上的不重合的有限遠(yuǎn)點(diǎn)Z,Z,(即確保分母不為零)，恒等式km11一0是否成立？k=11(Z-Z)kmm=1m壬k注意式中自然數(shù)N2，而m,k為1至N的整數(shù).【解】計(jì)算機(jī)仿真程序n=2*rou

45、nd(1000*random(beta,1,1)+2%n=input(pleaseentern=)su=1;sum=O;R=0;Q=0；forj=1:nNl(j)=round(1000*randn(1,1);N2(j)=round(1000*randn(1,1);ifj=1N(j)=N1(j)+i*N2(j);elseform=1:j-R-1ifN1(j)=real(N(m)&N2(j)=imag(N(m)N1(j)N2(j)N(m)R=R+1Q=Q+1jmbreakelseendendifQ=0N(j-R)=N1(j)+i*N2(j);elseQ=0endendendfork=1:n-Rforj=1:n-Rifj=ksu=1/(N(k)-N(j)*su;endendsum=sum+su;su=1;endsum四兔子樹子斐波那契數(shù)列有個(gè)愛好幻想的人，想知道一年內(nèi)一對兔子能繁殖多少對小兔子。于是，他圍了一個(gè)柵欄，把一對雌雄成對的小兔子養(yǎng)在里面。假設(shè)小兔子生下