1、第2講第3課時導數與函數的綜合問題一、選擇題1.方程x36x29x100的實根個數是()A.3B.2C.1D.0解析設f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函數的極大值為f(1)60，極小值為f(3)100，所以方程x36x29x100的實根個數為1.答案C2.若存在正數x使2x(xa)1成立，則實數a的取值范圍是()A.(，)C.(0，)B.(2，)D.(1，)1解析2x(xa)1，ax2x.1令f(x)x2x，f(x)12xln20.f(x)在(0，)上單調遞增，f(x)f(0)011，實數a的取值范圍為(1，).答案D3.(2017山東省實驗中學診

2、斷)若函數f(x)在R上可導，且滿足f(x)xf(x)0，則()A.3f(1)f(3)D.f(1)f(3)xf(x)，則在1，即3f(1)f(3).3x2xf（3）f（1）R上是單調遞減函數，答案B4.(2017德陽模擬)方程f(x)f(x)的實數根x0叫作函數f(x)的“新駐點”，如果函數g(x)lnx的“新駐點”為a，那么a滿足()解析g(x)，lnx.A.a1C.2a311xxB.0a1D.1a2設h(x)lnx，又h(1)10，1x則h(x)在(0，)上為增函數.12h(x)在(1，2)上有零點，1a2.答案D5.(2017寶雞聯考)已知函數f(x)的定義域為1，4，部分對應值如下表：

3、xf(x)1102203240f(x)的導函數yf(x)的圖像如圖所示.當1a2時，函數yf(x)a的零點的個數為()A.1B.2C.3D.4解析根據導函數圖像，知2是函數的極小值點，函數yf(x)的大致圖像如圖所示.由于f(0)f(3)2，1a2，所以yf(x)a的零點個數為4.17.若函數f(x)axlnx在，上單調遞增，則實數a的取值范圍為_.111解析由已知得f(x)a0對x，恒成立，a對x，恒答案D二、填空題6.已知函數yx33xc的圖像與x軸恰有兩個公共點，則c_.解析設f(x)x33xc，對f(x)求導可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，

4、)上單調遞增，在(1，1)上單調遞減，若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.答案2或22xx22x18.(2017安徽江南名校聯考)已知x(0，2)，若關于x的不等式x2ek2xx2因此由原不等式，得kx2x恒成立.2令f(x)x2x，則f(x)(x1)22.x10.(2017武漢調研)已知函數f(x)lnx(aR).11成立，0.即kx22x對任意x(0，2)恒成立，從而k0，exxexexx令f(x)0，得x1，當x(1，2)時，f(x)0，函數f(x)在(1，2)上單調遞增，當x(0，1)時，f(x)0，函數f(x)在(0，1)上單調遞減，所以k1時，令g(x)0解

5、得xea11.當0 xea11時，g(x)ea11時，g(x)0，g(x)在(0，ea11)上遞減，在(ea11，)上遞增，g(ea11)1時，不是對所有的x0，都有f(x)ax成立.綜上，由(1)(2)可知，實數a的取值范圍是(，1.a（x1）x(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求證：不等式(x1)lnx2(x1)對x(1，2)恒成立.(1)解定義域為(0，)，f(x)xa.x2a0時，f(x)0，f(x)在(0，)上為增函數；a0時，f(x)在(a，)上為增函數，在(0，a)上為減函數.(2)證明法一x(1，2)，x10，要證原不等式成立，即證lnx2（x1）x1對x(1，2)恒成立，

6、令g(x)lnxx1（x1）2當x(1，2)時，g(x)g(1)ln10，lnx對x(1，2)恒成立，F(x)lnx2，lnxx1.令(x)lnx，由(1)知a1時，且f(x)6x2，2（x1），（x1）2g(x)0，g(x)在(0，)上為增函數，2（11）112（x1）x1(x1)lnx2(x1)對x(1，2)恒成立.法二令F(x)(x1)lnx2(x1)，x1xxx1x(x)在(0，1)上為減函數，在(1，)上為增函數.x(1，2)，則(x)在(1，2)為增函數，(x)(1)0，即x(1，2)，F(x)0，F(x)在(1，2)上為增函數，F(x)F(1)0，(x1)lnx2(x1)對x(1

7、，2)恒成立.11.函數f(x)3x2lnx2x的極值點的個數是()A.0B.1C.2D.無數個解析函數定義域為(0，)，16x22x1xx由于x0，g(x)6x22x1中200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定義域上單調遞增，無極值點.答案A12.(2014全國卷)已知函數f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x00，則實數a的取值范圍是()A.(2，)C.(1，)B.(，2)D.(，1)解析法一由題意a0，由f(x)3ax26x0得x0或x.當a0時，f(x)在(，0)和a，上單調遞增，在0，a上單調遞減.當a0且唯一，只需f0，即a24，a0，故f(x)有小于0

8、的零點，不符合題意，排除A，C.2a31法二f(x)有唯一正零點x0，等價于方程ax33x210有唯一正根x0，即axx3有唯一正根x0.313（1x）（1x），4g(x)在(，1)上遞減，(1，0)上遞增，(0，1)上遞增，(1，)上遞減.又g(1)2，g(1)2，且當x1時，g(x)1時，g(x)0，g(x)的大致圖像如圖：直線ya與yg(x)有唯一交點，且橫坐標x00，只需ag(1)2.答案B13.(2017西安模擬)定義域為R的可導函數yf(x)的導函數f(x)，滿足f(x)f(x)，且f(0)2，則不等式f(x)2ex的解集為()A.(，0)C.(0，)B.(，2)D.(2，)ex，

9、解析設g(x)，則g(x)ex2，即g(x)g(0)，f（x）f（x）f（x）exf(x)f(x)，g(x)0，g(x)在R上為減函數，f(0)2，g(0)f(0)2，f（x）f(x)0，不等式的解集為(0，).答案C14.(2017廣州調研)已知函數f(x)exmx，其中m為常數.(1)若對任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范圍；(2)當m1時，判斷f(x)在0，2m上零點的個數，并說明理由.解(1)依題意，可知f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故當x(，m)時，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)單調遞增.故當xm時，f(m)為極小值也是最小值.令f(m)1m0，得m1，即對任意xR，f(x)0恒成立時，m的取值范圍