1、第7章 應力應變分析與強度理論 7.1 應力狀態的概念 7.2 平面應力狀態分析的解析法 7.3 平面應力狀態分析的圖解法 7.4 三向應力狀態簡介 7.5 平面應力狀態的應變分析 7.6 廣義胡克定律7.7 強度理論概述7.8 四個常用的強度理論7.9 莫爾強度理論 7.1 應力狀態的概念 受力物體內一點各個斜面上的應力變化情況，亦即一點的應力狀態。 7.1.1 一點的應力狀態 軸向拉壓桿件，斜截面上的正應力和切應力分別為 任一橫截面上各點的應力分布情況 (1) 隨點在截面上的位置不同而變化(2) 同一點不同方向上的應力情況 7.1 應力狀態的概念 為了研究受力桿件內一點的應力狀態，圍繞該點

2、切取一個“宏觀上無限小，微觀上無限大”的單元體 如果單元體各面上的應力已知，則該點任意方向的應力都可由此計算出來。這樣切取的單元體稱為原始應力單元體。 7.1.2 原始應力單元體 7.1 應力狀態的概念2. 扭轉桿件中的應力單元體 1. 拉壓桿件中的應力單元體 7.1 應力狀態的概念3. 平面彎曲桿件中的應力單元體 7.1 應力狀態的概念4. 受內壓薄壁容器中的應力單元體 1) 橫截面上的正應力 軸線方向的平衡方程 2) 容器環向的正應力 鉛垂方向的平衡方程 7.1 應力狀態的概念5. 車輪與鋼軌接觸點處的應力單元體 7.1 應力狀態的概念1. 主平面 7.1.3 主平面 主應力 主單元體 在

3、單元體上，切應力等于零的平面 2. 主應力 主平面上的正應力 3. 主單元體 各個面都是主平面的單元體 主應力通常用s1、 s2 和 s3 表示，它們的順序按代數值大小排列，即 。 7.1 應力狀態的概念1. 單向應力狀態7.1.4 應力狀態的分類 三個主應力中，只有一個不等于零 2. 二向應力狀態 有兩個應力不等于零3. 三向應力狀態 三個主應力都不等于零 (簡單應力狀態 )(復雜應力狀態 )(復雜應力狀態 )7.2 平面應力狀態分析的解析法 求任意斜面ef上的應力 7.2.1 斜面上的應力 平面應力狀態下的應力單元體 規定正應力以拉伸為正，切應力以使單元體有順鐘向轉動趨勢時為正。 斜面方位

4、角 ，并規定自x軸正向逆鐘向轉至斜面外法線方向所形成的角為正。 沿斜面法向n和切向t的平衡方程 三角形微體ebf為研究對象 7.2 平面應力狀態分析的解析法注意到 ，得 得極值條件為 正應力是求極值 7.2 平面應力狀態分析的解析法(1) 極值正應力所在的斜面，恰好是切應力等于零的平面，即主平面。 7.2.2 主應力 主方向 一、主應力(2) 極值正應力就是主應力。 三、最大、最小正應力 主方向角 7.2 平面應力狀態分析的解析法二、主方向 從同一點所切取的不同方位的應力單元體，其互相垂直面上的正應力之和是一個常量，稱為應力不變量。 四、應力不變量得7.2 平面應力狀態分析的解析法二、最大、最

5、小切應力 7.2.3 極值切應力及其作用面 一、極值切應力方位角 極值切應力等于極值正應力差的一半。 則7.2 平面應力狀態分析的解析法所以 注意到 即最大和最小切應力所在平面與主平面的夾角為 三、極值切應力和主平面夾角 7.2 平面應力狀態分析的解析法例7-1 圖7-8a所示圓截面桿同時承受扭轉和拉伸變形，已知桿的直徑 ,扭轉力偶矩 ,軸向載荷 。試求：(1) 桿件表面上K點處圖示斜面上的應力。(2) K點處的主應力及主方向。 解 (1) 取應力單元體 7.2 平面應力狀態分析的解析法(2) 求斜面上的應力 代入 K點處圖示斜面上的正應力和切應力分別為 7.2 平面應力狀態分析的解析法(3)

6、 確定主應力和主方向 最大、最小正應力為 K點處的三個主應力分別為 主方向角 一個主應力 7.2 平面應力狀態分析的解析法例7-2 低碳鋼和鑄鐵扭轉試件的破壞斷口分別如圖7-9a、b所示。低碳鋼試件沿橫截面破壞，鑄鐵試件沿與軸線成 角的螺旋面破壞。試分析其破壞原因。 解 (1) 取應力單元體 (2)極值應力 a) 正應力最大和最小值 b) 切應力最大和最小值 和 7.3 平面應力狀態分析的圖解法 圓上任一點的橫坐標和縱坐標,分別代表單元體相應面上的正應力和切應力,此圓稱為應力圓或莫爾(O.Mohr)圓。 7.3.1 應力圓方程 斜面應力計算公式 二式各自平方后再相加 7.3 平面應力狀態分析的

7、圖解法(2)連接Dx和Dy兩點,與橫軸交于C點, C為應力圓的圓心。 7.3.2 應力圓的畫法 (1)建立坐標系，按選定的比例尺，量取OG=x，GDx=xy，確定Dx點,類似地,確定Dy點 。 (3)以C為圓心，以 為半徑作圓，與橫軸分別交于A、B兩點，即為相應的應力圓。 C點坐標7.3 平面應力狀態分析的圖解法 將半徑 沿方位角 的轉向旋轉 至CE處，所得E點的橫坐標OF和縱坐標FE 即分別代表面上的正應力和切應力 7.3.3 應力圓的應用 1. 求任意斜面上的應力 證明 :則令圓心角 同理 7.3 平面應力狀態分析的圖解法 應力圓上A點的橫坐標代表max 2. 確定主應力和主方向 同理,

8、B點的橫坐標代表min 方位角 ,從 開始，順鐘向轉到 ,即得 角。 類似地可以確定min作用面的方位角。 單元體的主單元體的方位如圖所示。 7.3 平面應力狀態分析的圖解法 應力圓上K和L兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力。 3. 確定極值切應力及其作用面 在應力圓上，從 到 所對圓心角為逆鐘向的/2；在單元體中，從max所在主平面的法線到max所在平面的法線應為逆鐘向的/4。 和 都是應力圓的半徑 7.3 平面應力狀態分析的圖解法 (1) 單元體每個面上的應力都可以在應力圓上找到相應的位置。 4. 應力圓與單元體的點-面對應關系 (2) 當單元體上斜面A和斜面B的夾角為 時，應力圓上相應

9、點a和b所對應的圓心角為 ，且兩角的轉向相同。 7.3 平面應力狀態分析的圖解法 (3) 圍繞一點的單元體面上的應力隨單元體切取方位的不同而各異，但其應力圓是唯一的。 a) 受扭圓軸表面K點切取應力單元體,可以得到應力圓上的C、D點 b) 根據45面切取的應力單元體,可以得到應力圓上的A、B點 7.3 平面應力狀態分析的圖解法例7-3 試用圖解法求解圖7-13a所示應力單元體的主應力，并確定主平面的方位。 解 (1) 畫應力圓 選取比例尺 在- 坐標系中定出D1, D2點 以 為直徑繪出的圓就是所要作的應力圓。 7.3 平面應力狀態分析的圖解法(2)求主應力 (3)主平面的方位 主平面的法線與

10、x軸間的夾角 主應力3所在的主平面與1所在的主平面垂直。 在應力圓上,與x面對應的點為D1,與主應力1所在主平面對應的點為A1 7.4 三向應力狀態簡介 在坐標平面中，必位于由1和2所確定的應力圓上 。 7.4.1 三向應力圓 主應力單元體 與3平行的斜面m-m上的應力僅與1和2有關，而與3無關。 同理，與主應力2 (或1)平行的各斜面的應力，則位于由1與3(或2與3)所確定的應力圓上。 這樣組成的三個應力圓稱為三向應力圓。 與三個主應力都不平行的任意斜面ABC上的應力 、分別代表斜面ABC的外法向與1、2、3方向的夾角。 斜面上的應力對應的點K(n ,n)，位于三向應力圓的大圓之內，兩小圓之

11、外的區域內。 7.4 三向應力狀態簡介7.4 三向應力狀態簡介(2)切應力 7.4.2 最大與最小正應力和切應力 (1)正應力a)平行于 的所在斜面上 b)平行于 的所在斜面上 c)平行于 的所在斜面上 其所在平面與 和 所在主平面成 7.4 三向應力狀態簡介例7-4 試畫出圖7-17a所示應力狀態的三向應力圓，并求該點的三個主應力及最大切應力。 解 (1) 畫三向應力圓 確定A (80,35)點和B (20, -35)點 以AB為直徑畫圓得兩個主應力 取E(-40, 0)以對應主平面z上的應力。 分別以ED和EC為直徑畫圓，即得三向應力圓。 7.4 三向應力狀態簡介(2) 主應力與最大應力

12、三個主應力分別為 最大正應力與最大切應力分別為 7.5 平面應力狀態的應變分析 推導：設變形前矩形單元斜邊OB的長度為ds 7.5.1 任意方向的應變 已知線應變x、y和切應變xy，求與x軸成角的線段OB的線應變以及直角 的切應變。 方向角 以逆鐘向為正，切應變以使直角增大為正 a)發生線應變,成為矩形OA1B1C1 b)發生剪切變形 ,成為平行四邊形OA1B2C2 小變形情況下 對 由余弦定理，得 化簡，得 軸方向的線應變 7.5 平面應力狀態的應變分析進一步改寫成 軸方向的線應變 ex可表示為7.5 平面應力狀態的應變分析代入 和 得 1. 應變圓 圓心 半徑7.5 平面應力狀態的應變分析

13、1)通過應變圓，可以得到該點任意方向的線應變和任兩相互垂直方向的切應變 7.5.2 應變圓與主應變2)一定存在兩個相互垂直的方向，線應變分別取得極大值和極小值，而切應變等于零，這樣的極值線應變稱為主應變。 2. 主應變7.5 平面應力狀態的應變分析一般先測出一點處三個選定方向上的線應變，聯立求解，便可求得x，y和xy 7.5.3 應變花及其應用(2)直角應變花測量線應變 三個應變片的方向分別為 (1)三個應變分量x，y，xy的測量 確定一點處主應變的數值和方向時 7.5 平面應力狀態的應變分析例7-5 用直角應變花測得構件表面某點O處的三個線應變分別為 ， ， ，試求該點處的切應變、主應變及其

14、方向。 解(1)切應變令 (2)主應變 (3)主應變的方位角 或7.6 廣義胡克定律 正應力方向的線應變 7.6.1 廣義胡克定律一、 單向應力狀態 二、復雜應力狀態 單獨作用，在該方向引起的線應變垂直于正應力方向的線應變 和 單獨作用，在 方向引起的線應變疊加 同理可求得 切應變為 式(7-18)和(7-19)稱為廣義胡克定律 三、一般空間應力狀態 7.6 廣義胡克定律(7-18)(7-19)1.變形前體積 3.體積應變 主應力表示的體積應變 2.變形后的體積為 7.6 廣義胡克定律7.6.2 體積應變 為三個主應力的平均值 若三個主應力的代數和等于零，則體積不變。 7.6 廣義胡克定律例7

15、-6 圖7-21a所示圓軸的直徑 ,材料的彈性模量 ，泊松比 。今測得圓軸表面K點處與母線成 角方向的線應變 。試求作用在圓軸兩端的扭轉力偶矩 。 解 圍繞K點取應力單元體 方向上的正應力 方向上的線應變 聯立，得 7.6 廣義胡克定律例7-7 在圖7-22所示槽形剛體內，放置一邊長為a =10 mm的正方形鋼塊，鋼塊頂面承受合力為F=16 kN的均布壓力作用。已知鋼塊的彈性模量E=200 GPa，泊松比 。試求鋼塊的三個主應力。 解 頂面的壓應力 根據廣義胡克定律 考慮到 ，得 三個主應力分別為 1. 應變能 2. 應變能密度 單位體積的應變能稱為應變能密度，用 表示。 彈性體在外力作用下發

16、生變形，載荷在相應位移上作功，從而在彈性體內儲存了能量，稱為應變能。 7.6 廣義胡克定律7.6.3 應變能與畸變能密度 單向應力狀態下三向應力狀態下 主應力表示的應變能密度 3. 畸變能密度 1) 在圖b示三向等值應力狀態下，單元體三個棱邊的變形相同，因而只有體積改變而沒有形狀改變。 7.6 廣義胡克定律2)圖c示的應力單元體，三個主應力之和等于零，單元體將只有形狀改變而沒有體積改變，這種情況下的應變能密度稱為畸變能密度，用符號vd表示。 單向應力狀態下 7.7 強度理論概述 通過實驗直接確定危險點正應力和切應力的極限值，并以此為依據建立強度條件。 一、 簡單應力狀態 二、復雜應力狀態 危險

17、點處的三個主應力可以有無數種組合形式三、強度理論 所謂“強度理論”，就是關于材料破壞原因的各種假說。根據這些假說，有可能利用簡單應力狀態的試驗結果，建立復雜應力狀態下的強度條件。 7.8 四個常用的強度理論 最大拉應力理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要危險點處的最大拉應力 ，達到材料單向拉伸時拉應力的極限值 ，材料就發生脆性斷裂。 7.8.1 關于脆性斷裂的強度理論 1. 最大拉應力理論(第一強度理論) 破壞條件為 強度條件為破壞條件 用主應力表示的斷裂破壞條件為 最大拉應變理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要危險點處的最大拉應變 ，達到材料單向拉伸斷裂時拉應變的極限值 ，材料就發生

18、脆性斷裂。 7.8 四個常用的強度理論2. 最大拉應變理論(第二強度理論) 強度條件為 最大切應力理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要危險點處的最大切應力 ，達到材料單向拉伸屈服時切應力的極限值 ，材料就發生屈服破壞。 7.8.2 關于塑性屈服的強度理論 1. 最大切應力理論(第三強度理論) 破壞條件為 強度條件為7.8 四個常用的強度理論主應力表示的屈服破壞條件為 破壞條件 用主應力表示的斷裂破壞條件為 畸變能密度理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要危險點處的畸變能密度 ，達到材料單向拉伸屈服時畸變能密度的極限值 ，材料就發生屈服破壞。 7.8 四個常用的強度理論2. 畸變能密度理論

19、(第四強度理論) 強度條件為 7.8.3 相當應力四個強度理論的強度條件可統一寫為 主應力的組合稱為相當應力，用符號 表示。 7.8 四個常用的強度理論7.8 四個常用的強度理論例7-8 某鑄鐵桿件危險點處的應力狀態如圖所示，若許用拉應力 ，試校核其強度。 解 應力分量 主應力計算 三個主應力 按第一強度理論 桿件滿足強度條件 7.8 四個常用的強度理論例7-9 某塑性材料桿件中危險點處的應力狀態如圖所示。試求出該點處的第三、第四強度理論的相當應力表達式。 解 由主應力公式得 三個主應力 第三、第四強度理論的相當應力表達式 7.9 莫爾強度理論 2. 兩個面之間產生與切應力方向相反的內摩擦力。 一、莫爾強度理論1. 切應力是使材料達到危險狀態的主要因素。 3. 材料的滑動破壞不一定發生在最大切應力所在的截面上。 對在一定應力狀態下的材料，當界面上的正應力為壓應力時，應力值越大，材料越不容