1、通信網基礎第二、三章 習題課泊松過程1.每天進入圖書館的人數服從參數為的泊松分布，而每一個進入圖書館的人以概率P借書，每個人是否借書彼此獨立，問：a) 進入圖書館的人恰有k個借書的概率。b) 某天有k個人借書，則該天進入圖書館的人數為n (nk)的概率。解：An=每天進入圖書館的人數為n， An服從泊松 分布 Bk=進入圖書館的人中恰有k個借書， Bk服從 二項分布泊松過程M/M/1系統1. 某音樂廳設有一個售票處，營業時間為8時到16時，假定顧客流和服務 時間均為負指數分布，且顧客到來的平均間隔為2.5分鐘，窗口對每個 顧客的平均服務時間為1.5分鐘，試求：a) 顧客不需要等待的概率； p0

2、 = 1- = 0.4b) 平均隊長； Ls = /(1- ) = 1.5人c) 顧客在系統中的平均逗留時間； Ws = 1/(-) = 1/16小時 = 3分45秒d) 平均排隊等待隊長； Lq = * /(1- ) = 0.9人e) 平均排隊等待時間； Wq = Lq / = 3/80小時 = 2分15秒f) 售票處平均每小時服務多少顧客？ 1/=40人/小時，40(1-p0)=400.6=24人/小時M/M/1系統1. 某音樂廳設有一個售票處，營業時間為8時到16時，假定顧客流和服務 時間均為負指數分布，且顧客到來的平均間隔為2.5分鐘，窗口對每個 顧客的平均服務時間為1.5分鐘，試求：

3、g) 系統內顧客數超過4人的概率； h) 顧客在系統內逗留時間超過15分鐘的概率；i) 6個工作日內系統中沒有顧客的小時數； 1天沒有顧客的時間8p0 = 3.2小時，6天沒有顧客的時間19.2小時j) 若顧客的平均逗留時間超過半小時，則到達率是原來的幾倍？ 1 = 38人/小時 1 / = 1.58倍M/M/1系統2. 一個超級市場的收款員平均每小時服務30人，顧客平均每小時到達25人，試求：a) 有1人或者更多顧客排隊的平均等待隊長； = 25人/小時，= 30人/小時，=5/6b) 要使平均等待隊長減少1人，服務時間要如何改進？ 欲使 ，須= 0.8，即= 31.25人/小時， 因此服務

4、時間t = 1/ = 8/2501分55秒M/M/1系統3. 假設所有車主在郵箱剩一半油時加油，平均每小時有7.5位客戶到只有一個油泵的加油站加油，每輛車的平均加油時間為4分鐘。假設到達間隔與服務時間都服從負指數分布，試求：a) 平均隊長和平均停留時間； = 7.5人/小時，= 15輛/小時，=0.5 Ls= / (1-) = 1輛，Ws= Ls / = 0.13小時=7.8分鐘，不會出現排長隊。b) 假設出現汽油短缺，發生搶購，所有車主在郵箱剩3/4汽油時就去加油。由于每次加油量變少，每輛車的平均加油時間變為3.333分鐘，這種情況下，平均隊長和平均停留時間有何變化？ 由于每個車主加油次數是

5、以前的2倍，因此 = 15人/小時，而= 18輛/ 小時， =5/6 Ls= / (1-) = 5輛，Ws= Ls / = 5/15小時=20分鐘，搶購導致排長隊。Erlang分布若x1, x2, , xk互相獨立，均服從參數為的負指數分布，則Sk= x1+x2+ +xk服從K階Erlang分布，其概率密度函數為：對于輸入過程是參數為的泊松流，第i個顧客與第ik個顧客的到達間隔服從什么分布？K個串聯的服務臺，它們的服務時間彼此獨立，均服從參數為的負指數分布，顧客走完這K個服務臺所需的總時間服從什么分布？利用排隊論幫助決策1工廠每小時平均需要10名機械工人來檢驗一次工具。目前工具中心雇了一個職員

6、，他每小時的工資是6美元，平均每5分鐘處理一次工具請求。機械工每小時的工資是10美元，任何機械工在工具中心停留1小時，工廠將損失10美元。工廠正在考慮是否給該職員配一個助手，助手每小時工資4美元。如果雇用一個助手，工具中心平均每4分鐘處理一次工具請求。假設到達間隔和服務時間都服從負指數分布，是否應該雇助手？工廠的目標是將每小時的服務成本和由于機械工空閑而產生的預期成本之和最小化。排隊優化問題中，由于顧客排隊等待產生的成本稱為延遲成本。因此公司希望最小化利用排隊論幫助決策1工廠每小時平均需要10名機械工人來檢驗一次工具。目前工具中心雇了一個職員，他每小時的工資是6美元，平均每5分鐘處理一次工具請

7、求。機械工每小時的工資是10美元，任何機械工在工具中心停留1小時，工廠將損失10美元。工廠正在考慮是否給該職員配一個助手，助手每小時工資4美元。如果雇用一個助手，工具中心平均每4分鐘處理一次工具請求。假設到達間隔和服務時間都服從負指數分布，是否應該雇助手？在這個問題中：=10名機械工/小時，=12名機械工/小時，機械工的平均停留時間Ws=1/(- )=0.5小時。由于職員每小時工資是6美元，所以每小時的服務成本是6美元，而延遲成本是10*0.5*10 = 50美元，如果沒有助手，預期每小時的成本是56美元。如果雇一個助手，則=15名機械工/小時，機械工的平均停留時間Ws=0.2小時，此時每小時

8、的延遲成本是10*0.2*10 = 20美元，服務成本是10美元，預期每小時的成本是30美元，因此有必要雇用一個助手。愛爾蘭拒絕系統M/M/s(s)1. 某商店有3個服務員，每個服務員同一時間只能為一個顧客服務，假 設服務時間服從負指數分布，平均服務時間為2.5分鐘，顧客到來服從 泊松分布，平均每分鐘到達1.2人，服務系統為即時拒絕系統。試求：a) 顧客到達商店被拒絕服務的概率； = 1.2人/分鐘，= 0.4人/分鐘，a= / =3b) 若要顧客到達商店被拒絕的概率小于5%，需要幾個服務員？ 查表得p6=0.052， p7=0.022，取s7愛爾蘭等待系統M/M/s1. 設有3個英文打字員，

9、平均打印文件的速度為=6件/小時，文件到達 率=15件/小時，試求：a) 等待打印的平均文件數； a = 15/6 = 2.5b) 在打字室內現有的平均文件數； 愛爾蘭等待系統M/M/s 1. 設有3個英文打字員，平均打印文件的速度為=6件/小時，文件到達 率=15件/小時，試求： ：c) 每份文件在打字室平均停留時間及排隊等待的平均時間； d) 3個打字員均不空閑的概率C(3, a)。 利用排隊論幫助決策2銀行經理必須決定星期五需要多少出納員上班。顧客排隊1分鐘會導致5美分的延遲成本。平均每分鐘有2名顧客到達銀行，出納員平均需要2分鐘服務一名顧客。銀行雇傭一名出納的費用是每小時9美元，到達間

10、隔和服務時間都服從負指數分布。要使成本最低，銀行應該讓多少出納員星期五上班？由于=2名顧客/分鐘，=0.5名顧客/分鐘，a/s = /(s ) 1要求s5。因此，至少要有5名出納上班。在此基礎上：當s=5，a/s = 0.8，P(k 5)=0.55，Wq=Lq/ = P(k 5)/(s - )=1.1分鐘。因此，預期延遲成本/分鐘=11美分 預期總成本/分鐘=0.15*5+0.11=86美分混合制M/M/s(n)系統1. 某加油站設有2條加油管道，汽車按平均每2分鐘1輛的泊松流到來， 加油時間服從參數為=0.5輛/分鐘的負指數分布，除加油車外，站內 最多還能停3輛車，當站內已有3輛車等待時，新

11、到汽車被拒絕。試求：a) 加油站空閑概率和汽車被拒絕的概率； 此題屬M/M/2(5)排隊系統，按題意=0.5，a=1，a/s=0.5 當a/s1時 b) 平均隊長和平均排隊等待隊長； 混合制M/M/s(n)系統1. 某加油站設有兩條加油管道，汽車按平均每2分鐘1輛的泊松流到來， 加油時間服從參數為=0.5輛/分鐘的負指數分布，站內最多能停3輛 車，當發現站內已有3輛車時，其它汽車立即離開。試求：c) 汽車的平均逗留時間和平均排隊時間混合制M/M/s(n)系統2. 某維修站有2名修理工人，站內可放5臺機器，待維修的機器到達間隔 與被維修的時間均服從負指數分布，平均每5分鐘有一臺機器送來維 修，每臺機器的平均修理時間為10分鐘，試求：a) 維修站沒有機器修理的概率 此題屬于M/M/2(5)排隊系統，=0.2，=0.1，因a/s=1，有：b) 維修站場地有空位的概率混合制M/M/s