1、3.12傳染病模型醫學科學的發展已經能夠有效地預防和控制許多傳染病，天花在世界范圍內 被消滅，鼠疫、霍亂等傳染病得到控制。但是仍然有一些傳染病暴發或流行，危 害人們的健康和生命。在發展中國家，傳染病的流行仍十分嚴重；即使在發達國 家，一些常見的傳染病也未絕跡，而新的傳染病還會出現，如愛滋病（AIDS）等。 有些傳染病傳染很快，導致很高的致殘率，危害極大，因而對傳染病在人群中傳 染過程的定量研究具有重要的現實意義。傳染病流行過程的研究與其他學科有所不同，不能通過在人群中實驗的方式 獲得科學數據。事實上，在人群中作傳染病實驗是極不人道的。所以有關傳染病 的數據、資料只能從已有的傳染病流行的報告中獲

2、取。這些數據往往不夠全面， 難以根據這些數據來準確地確定某些參數，只能大概估計其范圍。基于上述原因， 利用數學建模與計算機仿真便成為研究傳染病流行過程的有效途徑之一。1）問題提出上世紀初，瘟疫還經常在世界的某些地區流行，被傳染的人數與哪些因素有 關？如何預報傳染病高潮的到來？為什么同一地區一種傳染病每次流行時，被傳 染的人數大致不變？2）問題分析社會、經濟、文化、風俗習慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因 素是：傳染者的數量及其在人群中的分布、被傳染者的數量、傳播形式、傳播能 力、免疫能力等，在建立模型時不可能考慮所有因素，只能抓住關鍵的因素，采 用合理的假設，進行簡化。我們把傳染病流行

3、范圍內的人群分成三類：S類，易感者（Susceptible）， 指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸后容易受到感染；I類，感病者 （Infective），指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者 （Removal），指被隔離，或因病愈而具有免疫力的人。3）建立模型（1）SI模型1SI模型是指易感者被傳染后變為感病者且經久不愈，不考慮移出者，人員流動 圖為：Sf I。假設每個病人在單位時間內傳染的人數為常數k0。一人得病后，經久不愈，人在傳染期內不會死亡。記時刻t的得病人數為i ()，開始時有，個傳染病人，則在A t時間內增加的病 人數為于是得:di (t)亍=k 0 i (t)

4、i (0) = i0模型分析與解釋：這個結果與傳染病初期比較吻合，但它表明病人人數將按指數 規律無限增加，顯然與實際不符。事實上，一個地區的總人數大致可視為常數(不 考慮傳染病傳播時期出生和遷移的人數)，在傳染病傳播期間，一個病人單位時 間內能傳染的人數k 0則是在改變的。在初期，k 0較大，隨著病人的增多，健康 者減少，被傳染機會也將減少，于是k0就會變小。(2) SI模型2記時刻t的健康者人數為s(t)，假設總人數為常數n，且i(t) + s(t) = n。2.單位時間內一個病人能傳染的人數與當時健康者人數成正比，比例系數為k (傳染強度)。一人得病后，經久不愈，人在傳染期內不會死亡。可得

5、方程:di (t)- = ks (t) i (t) dtdi (t)=ks (n 一 i) dt即 I (0) = i0 (0) = i0ni (t) =n解得：1 + ( - 1) e -knti0nln( - 1) dii模型分析：可以解得的極大值點為：廣kn 。這可以表示傳染病高峰時刻。當傳染強度k增加時，匕將變小，即傳染高峰來得快，這與實際情況吻合。 但當/ T3時，i() - n，這意味著最終人人都將被傳染，顯然與實際不符。(3)帶宣傳效應的SI模型(3)。假設單位時間內正常人被傳染的比率為常數S一人得病后，經久不愈，人在傳染期內不會死亡。di()(.、=r (n i)開始，開展一場

6、持續 的宣傳運動，宣傳強度為1，則所得的數學模型為：di1 其中:時)*0t t0t t0為 Heaviside 函數。求得：i(t) =n1(1i-0-nan)e -坦H (t - t )1 - e -r仃-=r (n i) anH (t t )alim i (t) = n (1 ) n，這表明持續的宣傳是起作用的，最終會使發病率減少。如果宣傳運動是短暫進行的，這在日常生活中是常見的，例如僅僅是聽一 個報告，或街頭散發傳單等，即在t = t1,t2,tm等m個時刻進行m次宣傳，宣傳 強度分別為官2,，九，則模型變為：dir (n 一 i) 一 n Z 5 (t 一 t )i (0) = i0

7、i(t) = i e -rt + n1 一 e -rt 一 n 農 a H (t 一 t )e -r (卻 解得：07=1j /lim i (t) = nt T +9這表明短暫的宣傳是不起作用的，最終還是所有的人都染上了疾病。(4) SIS模型SIS模型是指易感者被傳染后變為感病者，感病者可以被治愈，但不會產生免疫 力，所以仍為易感者。人員流動圖為：SIS。有些傳染病如傷風、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定無免疫性。于是痊 愈的病人仍然可以再次感染疾病，也就是說痊愈的感染者將再次進入易感者的人 群。假定: 1.總人數為常數n，且i(t) + s(t) = n。單位時間內一個病人能傳染的人數與當

8、時健康者人數成正比，比例系數為k (傳染強度)。3.感病者以固定的比率h痊愈，而重新成為易感者。我們可得模型:di (t)-= ki (t) s (t) - hi (t)1時，nk 一 hlim i (t)=t T 9knk一 0 0r (0) = r = 0i0=巳_ i p = i = p In - s + n模型分析：由以上方程組得：ds sk，所以s0，容易得出巧訊=0；而當s 0 時，i (t)單調下降趨于零；s 0 P時，i (t)先單調上 t 700升到最高峰，然后再單調下降趨于零。所以這里仍然出現了門檻現象：P是一個 門檻。從P的意義可知，應該降低傳染率，提高恢復率，即提高衛生醫療