1、第十九章 含參量積分2含參量反常積分一、一致收斂性及其判別法概念1：設函數f(x,y)定義在無界區域R=(x,y)|xI, cyc,使當MN時，對一切xa，都有口 Mf (x, y) dy (x )| , c即卜f (x, y)dy c,使得當A1，A2M 時，對一切 x 金 I，都有卜2 f (x, y)dy 0),但在0y(0,+8)上不一致收斂.解：令 u=xy,貝U+s匹dy =卜曲du (A0). AAr U,卜的du收斂，V0, 3M0,使當AM時，就有上網Udu M,則當 AM 時，對一切 xN80,有 xAM,. J+s網Udu ,5Ar u即J+s網rydy 0, 3MC,使

2、 c當 AAM 時，對一切 xI,總有 J a (r, y) dy nN時，就有AmAnM,，對一切 xI,就有|un(x+ + um(x)|二卜”,+1 f (羽 y)dy + . + 卜“+1 f (羽 y)dy =卜”,+1 f (羽 y)dy C,存在相應的A”AM和Xa,使得卜 f(x: y)dy 三80；現取 M1=max1,c, 則存在A2A1M1,及X1曰, A使得卜2 f (x , y)dy 三8 ； 一般地，取 M =maxn,A (nN2),則有 o 0 10n2(n-1)4 1A2nA2n-1Mn，及 曰，使得 T(x , y)dy 三80.A 2 n . 1n由上述所

3、得數列An為遞增數列，且lim An=+8,而對級數n-8u (x) = 卜+1 f (x, y)dy ,存在正數80,對任何正整數N, nA n =1n =1 n只要nN,就有某個xna，使得|U2n(xn)|=卜2 n f (x , y) dy三80, nn n&nn與級數u (x)在I上一致收斂矛盾.，卜f (x, y)dy在I上一致收斂.ncn =1魏爾斯特拉斯M判別法：設函數g(y),使得|f(x,y)l Wg(y), (x,y)Ixc,+8).若卜8g(y)dy 收斂，則 c1f (x, y)dy在I上一致收斂.c狄利克雷判別法：設對一切實數NC,含參量正常積分”f (x, y)d

4、y對參量x在I上一致有c界，即存在正數M,對一切Nc及一切xI,都有卜 x, y )dy|WM. c(2)對每一個xa，函數g(x,y)關于y是單調遞減且當y-+8時，對參量X, g(x,y)一致收斂于0.則含參量反常積分(X,y)g(%,y)dy在I上一致收斂阿貝爾判別法：設(1)J+s/(X,y)辦在I上一致收斂.C對每一個X&I,函數g(x,y)為y的單調函數，且對參量x, g(x,y)在I上一致有界.則含參量反常積分(X,y)g(%,y)dy在I上一致收斂.例2：證明含參量反常積分2公在”,+8)上一致收斂.01 + 12證.對任何實數y,有怛注心，又反常積分上上收斂.|1 + %21

5、1 + X20 1 + X2由魏爾斯特拉斯M判別法知，含參量反常積分卜3公在(-8,+ 8)上一致收斂.01 + %2例3：證明含參量反常積分卜小,處公在。+ 8)上一致收斂.0X證：.反常積分上的公收斂，對于參量y,在0,+8)上一致收斂 0 X又函數g(x,y)=e-xy對每個y0,+oo)單調，且對任何0Wy+8, xNO,都有Ig(x,y)| = |e-y|2證：若a,b (0,+8),則對任意 xa,b,IfN sin xydy = 一刈NW 2 ax aa、又f， = /- y2、W0,即關于y單調減，且當y-+8時，11 + y 2 J + y 2)1 + y 2，一0(對x 一

6、致)，由狄利克雷判別法知， 1+y2含參量積分J+8”in町dy在a,b上一致收斂.由a,b的任意性知， 1 1 + y2卜y sin町dy在(0,+8)上內閉一致收斂.1 1 + y2二、含參量反常積分的性質定理19.10：(連續性)設f(x,y)在Ixc,+8)上連續，若含參量反常積分5 (x)=1f (x, y)dy在I上一致收斂，則中僅)在I上連續. c證：由定理19.9,對任一遞增且趨于+8的數列An (A1=c)，函數項級數5 (x)= 卜.1 f (x, y)dy = un (x)在I上一致收斂. n=1n=1又由f(x,y)在 Ixc,+8)上連續，每個un(x)都在I上連續.

7、由函數項級數的連續性定理知，函數5 (x)在I上連續.推論：設f(x,y)在 Ixc,+8)上連續，若5 (x)=1f (x,y)dy在I上內閉一 c致收斂，則5 (x)在I上連續.注：在一致收斂的條件下，極限運算與積分運算可以交換，即:lim 卜 f (x, y) dy =f (x0, y) dy = f+ lim f (x, y) dy -x f x 0 ccc x f x 0定理19,11：(可微性)設以丫)與fx(x,y)在區域lxc,+8)上連續，若5 (x)= 1 f (x, y)dy在I上收斂，卜f (x, y)dy在I上一致收斂，則Q (x) x cc在I上可微，且Q 7(x)

8、=卜f (x, y)dy .xc由定理 19.3 推得 U ,(x)= JAn+1 f (x, y)dy .nAxn證：對任一遞增且趨于+8的數列An (AC)，令Un(x)=卜 .if (x, y) dy .由卜f (x, y)dy在I上一致收斂及定理19.9,可得函數項級數 x c TOC o 1-5 h z u (x)= 卜.+1 f (x, y)dy 在 I 上一致收斂. n=1 nn .1 Anx根據函數項級數的逐項求導定理，即得：q (x) = u (x) =J An+1 f (x, y) dy =卜 f (x, y) dy .或寫作 nxxAc n =1n =1 ndJ + f

9、(x, y) dy = J+x f (x, y) dy - dx cc x推論：設f(x,y)與f (x,y)在區域Ixc,+8)上連續，若Q (x)=卜f (x,y)dy在 xcI上收斂，卜f (x, y)dy在I上內閉一致收斂，則Q (x)在I上可微，且 x cQ (x) = P0 f (x, y)dy .x c定理19.12：(可積性)設f(x,y)在a,b岡c,+8)上連續，若Q (x)=1f (x, y)dyc在a,b上一致收斂，則Q (x)在a,b上可積，且Jb dxJ+0 f(x, y)dy = J+0 dyJb f(x, y)dx . acc a證：由定理19.10知Q (x)

10、在a,b上連續，從而在a,b上可積.又函數項級數Q (x)= 卜.+i f (x, y)dy = un(x)在I上一致收斂，且n =1 nn =1各項un(x)在a,b上連續，根據函數項級數逐項求積定理，有jb (x) dx = Jb u (x) dx =J bdx。+1 f (x, y) dy = 卜+1 dy j b f (x, y) dx，即 TOC o 1-5 h z naaa AAan=1n=1nn=1 nJb dx j+w f (x, y) dy =卜 dy Jb f (x, y) dx a cca定理19.13：設f(x,y)在a,+8)xc,+8)上連續，若卜f (x, y)d

11、x關于y在匕+8)上內閉一致收斂，1f (x, y)dy關于x在ac口,+8)上內閉一致收斂； TOC o 1-5 h z (2)積分1dxj+xI f (x, y) I dy 與 Jdy j+xI f (x, y) I dx 中有一個收斂.則 accaJ+s dx J+x f (x, y)dy = J dy J+x f (x, y)dx . acca證：不妨設 J+s dx J+s I f (x, y )I dy 收斂，則 J+s dx J+s f (x, y) dy 收斂. acac當 dc 時，記 Jd=| Jd dyJ+s f (x, y)dx - J+sdxJ+s f (x, y)d

12、y | caac=| Jd dy J+s f (x, y)dx - J+s dx Jd f (x, y)dy - J+s dx J+s f (x, y)dy |- c aa ca d由條件(1)及定理19.12可推得：Jd=l J+s dx J+s f (x, y) dy |上| J Adx J+s f (x, y) dy |+ J+s dx J+s I f (x, y )I dy .a da dA d由條件(2)，Ve0, mGa，使當 AG 時，有 J+s dx J+s I f (x, y )I dy a，使得當dM時，c有| J+sf (x,y)dy |0,ba).0 xsin bx -

13、 sin axb ,解：=Jb cos xydy，xaJ= J+s e -pxdxfb cos xydy = f+w dxfb e -px cos xydy 0a0 a由 |e-pxcosxy| W e-px 及反常積分 f+s e -pxdx 收斂，0根據魏爾斯特拉斯M判別法知，含參量反常積分f+se-px cos xydx在a,b上一致收斂. 0又e-pxcosxy0,+8)Xa,b上連續，根據定理19.12交換積分順序得：J=fbdyf+se-px cosxydx = fb p dy =arctanb - arctan匕. TOC o 1-5 h z a 0a P2 + y2pp例6：計

14、算：，四竺dx.0 x解：利用例5的結果，令b=0，貝口有F(p)=f+se-px網竺dx =arctana (p0). 0 xp由阿貝爾判別法可知含參量反常積分F(p)在pN0上一致收斂，又由定理19.10知，F(p)在 pN0上連續，且F(0)=f+s網竺dx. 0 x又 F(0)= lim F(p) = lim arctan a=n agn a. f+ssinfxdx=-agn a. p-0+p-0 +p 20 x2例 7：計算：Q(r)=f+se-x2 cos rxdx. 0解：;| e -x2 cosrx| W e - x2 對任一實數r成立且反常積分f+s e-x2dx收斂，0含參

15、量反常積分Q(r)= f+s e - x 2 cos rxdx在(-8,+8)上收斂.0考察含參量反常積分f+s (e-x2 cos rx) dx = f+s - xe -x2 sin rxdx，0r 0, |-x e-x2 sinrx| W x e -x2對一切 xN0, r(-8,+8)成立且 f+s e-x2dx 收斂，0根據魏爾斯特拉斯M判別法知，含參量反常積分f+s(e-x2 cos rx)；dx在(-9+中上一致收斂.由定理19.11得0(r)二1-xe -x2 sin rxdx = lim JA - xe -x2 sin rxdx=lime -x2 sin rx ar f a 7

16、 1-J e-x2 cosrxdx2 0)= I Ae - x2 cos rxdx = 一 5(r).2 02.5(r)=ce-r2.又 5。二1+s e - x 2 dx = =C.概念2：設f(x,y)在區域R=a,bXc,d)上有定義，若對x的某些值，y二d 為函數f(x,y)的瑕點，則稱于(x)dy為含參量x的無界函數反常積分， c或簡稱為含參量反常積分.若對每一個xEa,b, Jdf(x, y)dy都收斂，c則其積分值是x在a,b上取值的函數.定義2：對任給正數&總存在某正數8d-c,使得當0n0)上一致收斂;J+8e-1網絲dt在0a0)上一致收斂，(ii)在收b上不一致收斂;0J

17、1ln(xy)dy 在1 ,b(b1)上一致收斂；0bj空（i）在（-8刈（bl）上一致收斂，（ii）在卜8,1內不一致收斂;0 Xp hp-i（l-x）4-idx 在 OPop+8, Oqoq0)上一致收斂.0對任何N0, Ne-t sinatdtNe-tdt1 ,即卜6-&11如山*致有界.000又1關于在9,+8)單調，且！一o(t-8),由狄利克雷判別法知， tt史電力在0abe-ay 收斂，0* f+CO xe-xy辦在a,b (a0)上一致收斂.0(ii)方法一:取e=Lo,則對任何M0,令A=M, A =2M,x=工，有 6212 Mf A2 x e-xydy = e tq7 1

18、2M =X=e , .J+coxerS在0,b上不一致收斂.A 0加 6262 o1方法二：二 Ixerydy 二;X = Q ，且 xe-xy 在0,bx(0,+oo)內連續，o1, Q xl)內，| ln(xy) 1 = 1 Inx+lny| W |lnx| + |Iny|l)上致收斂.oob.當pWbLx(O,l時，又j生收斂， xp Xb0 XbJ也在s,b (bi)上一致收斂0 XP(ii)當p=l時，J】生發散，對任何AL在A,1內不一致收斂，即 0 XJ18在卜00,1內不一致收斂.0 Xp記f1XP-1(1- x)q-idx =S 2X p-i (1 - x)q-idx x p

19、-i (1 - x) q-i dx = J12 .0012對 I工在 0WxWJ_, Opop+, Oqoq+_b, | XP1(l-x)q-i | W 40一1(1_%)%一1且j2xp0-i (l-x)q0-idx 收斂,0:1工在 Opop+, Oq0q+8上一致收斂；同理可證在Opop+, OqoWq+8上一致收斂.Jl；lpT(l X)gT公在 0pop+oo, Oq0qa0). 。工0% TOC o 1-5 h z 解：V e-Xydy=e-ay-e-by，J+s2=L公二dJjfdy .又 a%0X0 ae-xy在b，+8)xa,b內連續，由M判別法知，J+屋L 在a,b內一致收

20、斂0.- by dx = bdye_xydx = pl=ln.0 xa 0a y。3、證明函數F(y)=J+e-(尤-y)2dx在卜8,+0)上連續.0(提示:利用卜i立)o2證：令 X-y=U,則 F(y)= f+-e-du = foe-du +he-du = fe-du + . vy0y2.關于y的積分下限函數J。e-du 在(-8,+ 8)上連續， y F(y)=6-(X-y)2dx在(-8,+8)上連續.4、求下列積分：尸e-a2-e-b2X2 dx (提示：利用卜e-2孤=三)； TOC o 1-5 h z 0X202(2)1e-皿 dt ( (3)1e-x -0s dx.0 t0

21、x2解：(). e一a2x2 -e一b2x2 = Jb2ye_y2x2dy， x 2a小 e 一 a2 x 2 一 ef2 x2 dx =卜 dx Jb 2 ye - y 2 x 2 dy， 0 x 20 a由M判別法知12 ye - y2 x2dx在用內一致收斂，0Js e-a 2x 2 - e-b 2 x 2 dx = J bdy J+ 2 ye - y 2 x 2 dx 0 x2a 0=Jbdy2J+se-y2x2d(xy) = Jb .嬴dy =(b-a)嬴.a 0a(2)利用例 5 結果：J+s e - ptsin bt-sin a dt =arctan b - arctan a.

22、(p0,ba).0tpp當 p=1, a=0, b=x 時，有 J+se-1sinxtdt =arctanx.0t(3； e - x1-c0s= J ye - x 皿 dt，, J+s dx J ye-x 叱 dt.x20 x00 x由lime-x泣=t知,x=0不是e-x近的瑕點，又x .0 xx含參量非正常積分J+se-x皿dx在t0,M上一致收斂，由(2)有 0 xe-x1-c0s= JydtJ+se-x sintdx = Jy arctantdt =yarctany-1 ln(1+y2). x200 x025、回答下列問題：對極限lim J+s 2 xye - xy 2 dy能否運用極

23、限與積分運算順序的交換求解?x .0 + 0(2)對JidyJ+s(2y - 2xy3)e-xy2dx能否運用積分順序交換來求解？00對F(x)=-必辦能否運用積分與求導運算順序交換來求解？ 0解： F(X)=卜2孫6-砧2.，lim F(x) =L 但0, x = 0o+f+co lim 2xye-xy2dyy即父換運算后不相等，0 xf0+對極限lim卜2盯e常力不能運用極限與積分運算順序的交換求解. Xf0+ o TOC o 1-5 h z 注：J+0 2xye-xy2dy f +0 xe-du 在Ob上不一致收斂，并不符合連續性定 00理的條件.(2) J1L0 MM1(2-2孫3)e

24、2dx在0,1不一致收斂，不符合可積性定理的條件.0.F(x)二X32ydy =x, x(-8,+8), F(x)三 1.但 0 xe-xy =(3x2-2x4y) e-x1y,而當 X=。時,卜。0 (3x22x4y)er2ydy =0.dxo對F(x)=%3eidy不能運用積分與求導運算順序交換來求解. 0注：: Jw (3x2 _2my)er2ydy =；1九 WO,01o, x = 0，卜(3%2 _ 2x4y)e-x2ydy在0,1上不一致收斂，不符合可微性定理的條件.6、應用：+e-aX2dx = a (a0),證明:卜山二業* ; (2)卜.eed廣蟲出+；) o4o22”證：方

25、法一一：二卜 12 e 一 at 2 dt在任何c,d上(c0)一致收斂， 0二 d / e - at 2 dt = / de - at 2 dt =- f+W 12 e - at 2 dt.da 00 da0又 d I e -at2 dt = d 昱 a -: da 0da 1 2,n _3, J+ e - ax2 dx -a 204方法二：J+S 12 e - at2 dt = - J+S tde - at2 = - (te - at202 a 02 a I+s J+S e - at2 dt00 J. c vn a=J+S e - at 2dt = a 一 2.a 04(2)方法一：/ J

26、+S 12 ne - at2 dt 在任何c,d上(c0)一致收斂，0dn- J+S e - at 2 dt = J+S e - at 2 dt =(-1)n J+S 12 ne - at 2 dt . dan 00 dan0又 J+S e - at 2 dt =二(亙 adan 0dan I 2J=(-1)n 工(2n -1)! an +12n+S12 ne - at 2 dt = Qn -1)! a -n+2方法二：記In=J+S 12 ne - at2 dt , n=0,1,2,，(1)中已證 n0I1=與+a-(1+；J = 5 b.可設 Ik= L,則I = J +S 12( k+1) e - at2 dt = k+10J+S 12 k +1 de - at2 =2a 02a12 k+1 e - at2 +s - J+S e - at2 dt 2 k +1 )