1、1第12章 維納過程和伊藤引理.2教學目的與要求掌握隨機變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點，掌握維納過程的特點和性質，掌握普通維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和規范差。掌握Ito過程的特征。 .3教學重點及難點一、馬爾科夫過程與效率市場的關系。二、維納過程、普通維納過程與此同時Ito過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內在聯絡和變化。三、Ito定理及其運用。 .4期權的估值歐式期權的到期收益Max (STX, 0)ST不確定，所以期權到期的收益也不確定。期權當期的價值？風險中性估值期權當期的價值未來收益折現后的期望值cE Max (STX, 0)問題

2、ST的分布是怎樣的？只需確定ST的分布才干確定c的價值.512.1弱式效率市場假說與馬爾可夫過程效率市場假說1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場假說。該假說以為：投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價錢對新的市場信息的反響是迅速而準確的，證券價錢能完全反響全部信息；市場競爭使證券價錢從一個平衡程度過渡到另一個平衡程度，而與新信息相應的價錢變動是相互獨立的。效率市場分類效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。弱式效率市場假說以為，證券價錢變動的歷史不包含任何對預測證券價錢未來變動有用的信息，也就是說不能經過技術分析獲得超越平均收益率的收益。.6半強式效率市場假說以為，

3、證券價錢會迅速、準確地根據可獲得的一切公開信息調整，因此以往的價錢和成交量等技術面信息以及已公布的根本面信息都無助于挑選價錢被高估或低估的證券。強式效率市場假說以為，不僅是已公布的信息，而且是能夠獲得的有關信息都已反映在股價中，因此任何信息(包括“內幕信息)對挑選證券都沒有用途。效率市場假說提出后，許多學者運用各種數據對此進展了實證分析。結果發現，興隆國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。.7馬爾可夫過程弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程(Markov Stochastic Process)來表述。馬爾科夫過程(Markov process)是一種特殊類型的隨機過程。未來的預測只與變量的當

4、前值有關，與變量過去的歷史和變量從過去到如今的演化方式不相關。 股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致：一種股票的現價曾經包含了一切信息，當然包括了一切過去的價錢記錄。假設弱型市場有效性正確的話，技術分析師可經過分析股價的過去歷史數據圖表獲得高于平均收益率的收益是不能夠的。是市場競爭保證了弱型市場有效性成立。 .812.2維納過程 Wiener Process 布朗運動來源于物理學中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描畫，以發現這種景象的英國植物學家Robert Brown命名。描畫布朗運動的隨機過程的定義是維納(w

5、iener)給出的，因此布朗運動又稱維納過程股價行為模型通常用布朗運動來描畫。布朗運動是馬爾科夫隨機過程的一種特殊方式。.9維納過程 Wiener Process 維納過程Wiener Process性質一：股票價錢的變動是一個正態變量與時間的乘積 服從規范正態分布性質二：恣意兩個不重疊時段的股票價錢變動相互獨立從性質一，我們知道z服從正態分布，性質2那么隱含z遵照馬爾科夫過程。維納過程/布朗運動的特征股票價錢在恣意時段變動的均值都為0。股票價錢在某一時段變動的方差等于時間的長度.10程序：維納過程的模擬假定股票價錢服從普通布朗運動，即dS=dt+dz，其中和均為常數，dz遵照規范布朗運動，也

6、就是說，在短時間t后，S值的變化值S為假定股票價錢服從幾何布朗運動，即dS=dt+dz,其中和均為常數，dz遵照規范布朗運動，也就是說，在短時間t后，ln(S)值的變化值ln(S)為.當股票價錢服從普通布朗運動時的走勢圖11.當股票價錢服從幾何布朗運動時的走勢圖12.13股票價錢的普通變動普通化的維納過程變量本身隨著時間的推移會有定量的增長at除了時間價值之外的變動為布朗運動.1412.3 股票價錢的普通變動股票價錢的變動股票價錢有隨時間推移增長的穩定趨勢股票“實踐價錢變動為布朗運動.布朗運動股票價錢.指數布朗運動股票價錢.上證指數.1812.4 Itos LemmaItos Lemma假設存

7、在一個伊藤過程：假設G是x和t的函數，即：G=G(x,t)那么：期權及其他衍生證券的價錢變動股票價錢服從維納過程：那么：.19證明：如前述，假設標的資產價錢變動過程服從：其中利用泰勒展開，忽略高階項，G(x,t)可以展開為.20因此，上式可以改寫為保管1階項，忽略1階以上的高階項.21其中忽略高階項：.22因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。.2312.5 股票價錢的對數正態特性對數正態分布股票價錢服從維納過程股票價錢的分布為對數正態分布公式.24關于對數正態分布定義G=lnS，由于：所以有：即：顯然G為一個廣義維納過程，其漂移率為常數 ，動搖率為常數 。因此，lnS的變化服從正態分

8、布，不難知道：.25對數正態分布.幾何布朗運動的深化分析在很短的時間t后，證券價錢比率的變化值 為：可見，在短時間內， 具有正態分布特征其均值為 ，規范差為 ，方差為 。 .幾何布朗運動的深化分析2但是，在一個較長的時間T后， 不再具有正態分布的性質：多期收益率的乘積問題，服從正態分布的變量的乘積并不服從正態分布。而由于總的延續復利收益率等于各期收益率的加和，因此仍為正態分布。因此，雖然是短期內股票價錢百分比收益率的規范差，但是在恣意時間長度T后，這個收益率的規范差卻不再是 。股票價錢的年動搖率并不是一年內股票價錢百分比收益率變化的規范差。.幾何布朗運動的深化分析3假設股票價錢服從幾何布朗運動

9、，那么可以利用Ito引理來推導證券價錢自然對數lnS所遵照的隨機過程：這個隨機過程的特征：普通布朗運動：恒定的漂移率和恒定的方差率。在恣意時間長度T之后，G的變化依然服從正態分布，均值為 ，方差為 。規范差依然可以表示為 ，和時間長度平方根成正比。從自然對數lnS所遵照的這個隨機過程可以得到兩個結論:.1幾何布朗運動意味著股票價錢服從對數正態分布。令t時辰G的值為lnS，T時辰G的值為lnST，其中S表示t時辰當前時辰的證券價錢，ST表示T時辰未來時辰的證券價錢，那么在Tt期間G的變化為：這意味著： 進一步從正態分布的性質可以得到也就是說，證券價錢對數服從正態分布。假設一個變量的自然對數服從正

10、態分布，那么稱這個變量服從對數正態分布。這闡明ST服從對數正態分布。 這正好與作為預期收益率的定義相符。.2股票價錢對數收益率服從正態分布由于dG實踐上就是延續復利的對數收益率。因此幾何布朗運動實踐上意味著對數收益率遵照普通布朗運動，對數收益率的變化服從正態分布，對數收益率的規范差與時間的平方根成比例。將t與T之間的延續復利年收益率定義為，那么.結論幾何布朗運動較好地描畫了股票價錢的運動過程。.3212.6 隨機過程的蒙特卡羅模擬有關蒙特卡羅方法的由來取名于摩納哥的著名賭城擲色子是一個隨機事件蒙特卡羅方法任何涉及隨機采樣的數值方法不僅僅用于有關隨機的問題估計 圓周率 優化問題40年代美國Los

11、 Alamos 實驗室的科學家用于核武器的研討代表人物：馮諾依曼.經濟和金融中的模擬方法Monte Carlo 方法在計量經濟學里，假設我們對某種估計方法的統計性質不是很了解，而又要用到該種方法時，可以用Monte Carlo 方法來處理.在計量經濟學中的例子:對聯立方程偏誤的定量研討.確定Dickey-Fuller 檢驗的臨界值.確定在自相關檢驗中樣本大小對檢驗效果的影響.經濟和金融中的模擬方法Monte Carlo 方法在金融中的例子:奇特期權的定價.確定宏觀環境對金融市場的影響.風險管理建模: 壓力測試，例如，確定最小資本要求.模擬中的“隨機數進展蒙特卡羅模擬首先要設定數據生成系統。而設

12、定數據生成系統的關鍵是要產生大量的隨機數。例如模擬樣本為100的隨機趨勢過程的DF統計量的分布，假設實驗1萬次，那么需求生成200萬個隨機數。計量經濟學中蒙特卡羅模擬和自舉模擬所用到的隨機數普通是服從N(0,1)分布的隨機數。計算機所生成的隨機數并不是“純隨機數，而是具有某種一樣統計性質的隨機數，即某種“偽隨機數pseudo-random number。生成隨機數的程序稱作“偽隨機數生成系統。實踐上計算機不能夠生成純隨機數。.模擬的計算機實現蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實現要經過計算機編程來實現。常用的軟件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理根本一樣。假設

13、干例子見圖。. 圖1 隨機游走序列 圖2 帶趨勢項的隨機游走序列 圖3 三維圖圓環 圖4 空間曲面. 圖5 投幣1000次的概率值模擬 圖6 生長曲線 圖7 二元正態分布 圖8 蒲豐問題.3912.7 蒙特卡羅模擬的實現我們從幾個例子來看例1：兩個I(1)變量相關系數分布的蒙特卡羅模擬 未到達N圖11 蒙特卡羅模擬過程表示圖生成 xt, ytI(1) 估計相關系數r 分析r的 分布 設定循環次數N 設定 xt,yt I(1) .EViews程序如下：workfile corr u 1 500series resultfor !i=1 to 500smpl 1 100series x=nrnds

14、eries y=nrndseries xxseries yyscalar sum1=0scalar sum2=0for !counter=1 to 100sum1=sum1+x(!counter)sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1yy(!counter)=sum2nextscalar r=cor(xx,yy)result(!i)=rnextresult.hist 定義一個非時間序列u任務文件，corr，容量為500。定義一個空序列result，用來存儲相關系數的計算結果。!i為控制變量，經過一個for循環語句使計算進展500次。把樣本范圍設置成100

15、。生成兩個互不相關的白噪聲序列x、y，樣本容量100。定義兩個空的序列xx和yy，樣本容量也是100。定義兩個標量sum1和sum2，初始值為0。!counter為控制變量，在這個for循環中，分別對序列x和y進展一次累加生成兩個一階單整的序列，將結果分別放到序列xx和yy中。累加一次。計算序列xx和yy的相關系數，并將結果放到標量r中。將相關系數計算結果放到序列result中，在這個for循環中，這個操作要進展500次。顯示序列result的直方圖以及有關統計量。.圖13 兩個非相關I(1) 序列的相關系數的分布.例2：DW統計量分布的蒙特卡羅模擬 生成T=50的相互獨立的IN(0,1)序列

16、ut 和vt用ut 和vt分別生成兩個相互獨立的I(1)序列yt = yt-1 + ut , y0 = 0, xt = xt-1 + vt , x0 = 0,估計模型yt = 0 + 1xt + wt 并計算殘差用殘差計算DW統計量的值存儲2000個DW值畫DW頻數分布直方圖。記錄T=50條件下DW分布的均值、規范差和第90、95、99百分位數。分別估計DW均值、規范差和第90、95、99百分位數值對(1/T )的呼應面函數. 例3利用模擬方法對歐式期權進展定價設股票價錢St服從風險中性測度下的幾何Brown運動：其離散化方式為根據金融工程實際，設如今股票價錢為S0，T時辰到期單位天，敲定價為

17、K的歐式看漲期權的價錢為MC方案：按照1遞推產生n條風險中性測度下的軌道，提取出ST (n)；2.44對一個群眾型歐式看漲期權的定價. 詳細步驟如下:確定標的資產的數據產生過程. 通常假設該過程為具有漂移的隨機游走，即要確定漂移和動搖參數. 同時要確定行權價錢K 及到期日T.產生T 個規范正態分布的數據，作為誤差項, ut N(0,1).構造T 個標的資產的觀測值.例3:利用模擬方法對歐式期權進展定價.45記錄在時辰 T時標的資產的價錢ST. 對一個看漲期權假設 ST K, 那么價值為ST - K, 然后用無風險利率貼現.反復 1到 4步 N 次, 取 N 反復的平均值，這個平均值就是該歐式看

18、漲期權的價錢.對于更加復雜期權的定價可以按同樣思緒進展.例:利用模擬方法對歐式期權進展定價(續).有關隨機數發生器隨機數產生器可以產生在區間0,1上均勻分布的隨機數Excel中在excel中可以采用RAND產生一個0和1之間的隨機數，累積正態分布分布的反函數為NORMSINV。所以，EXCEL中從規范正態分布中隨機抽樣的方法是：NORMSINVRANDSTATA中生成0，1之間偽隨機數的命令為uniform每運轉di uniform()命令一次，就可以得到一個隨機數. simulate exp_list , reps(#) saving(filename , replace) seed(#) : command例 simulate max=r(max), reps(10000) nodots:seq3，效果就是反