1、 30/30 實變函數與泛函分析概要第一章 集合 基本要求：理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性質。掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其運算性質。會求已知集合的并、交、差、余集。了解對等的概念及性質。掌握可數集合的概念和性質。會判斷己知集合是否是可數集。理解基數、不可數集合、連續基數的概念。8、了解半序集和Zorn引理。第二章 點集 基本要求：理解n維歐氏空間中的鄰域、區間、開區間、閉區間、體積的概念。掌握內點、聚點的概念、理解外點、界點、孤立點的概念。掌握聚點的性質。掌握開核、導集、閉區間的概念及其性質。會求己知集合的開集和導集。掌握開核、閉集、完備集的概念及其性質，掌握一批例子

2、。會判斷一個集合是非是開（閉）集，完備集。了解Peano曲線概念。主要知識點：一、基本結論：聚點性質2 中T1聚點原則：P0是E的聚點 P0的任一鄰域內，至少含有一個屬于E而異于P0的點存在E中互異的點列Pn，使PnP0 （n） 開集、導集、閉集的性質2 中T2、T3T2：設AB，則AB， eq o(sup 7(),sdo 4() eq o(sup 7(),sdo 4()， eq o(sup 8(),sdo 4() eq o(sup 7(),sdo 4()。T3：（AB）=AB.開（閉）集性質（3中T1、2、3、4、5）T1：對任何ER，是開集，E和 eq o(sup 7(),sdo 4()都

3、是閉集。（稱為開核， eq o(sup 7(),sdo 4()稱為閉包的理由也在于此）T2：（開集與閉集的對偶性）設E是開集，則CE是閉集；設E是閉集，則CE是開集。T3：任意多個開集之和仍是開集，有限多個開集之交仍是開集。T4：任意多個閉集之交仍是閉集，有限個閉集之和仍是閉集。T5：（Heine-Borel有限覆蓋定理）設F是一個有界閉集， 是一開集族UiiI它覆蓋了F（即F eq o(sup 7(),sdo 4()Ui），則 中一定存在有限多個開集U1，U2Um，它們同樣覆蓋了F（即F eq o(sup 5(),sdo 3() Ui）（iI）開（閉）集類、完備集類。開集類：R，開區間，鄰域

4、、P閉集類：R，閉區間，有限集，E、E、P完備集類：R，閉區間、P二、基本方法：1、判斷五種點的定義；2、利用性質定理，判斷導集、鄰域等；3、判斷開集、閉集；4、關于開閉集的證明。第三章 測度論 基本要求：理解外測度的概念及其有關性質。掌握要測集的概念及其有關性質。掌握零測度集的概念及性質。熟悉開集、閉集、區間、波雷樂集等可測集，掌握一批可測集的例子。會利用本章知識計算一些集合的測度。掌握“判斷集合可測性”的方法，會進行有關可測集的證明。 要點歸納：外測度：定義：ER Ii（開區間） eq o(sup 7(),sdo 4() IiE m*（E）=inf eq o(sup 8(),sdo 4()

5、Ii性質：(1) 0m*E+（非負） （2）若AB則m*A m*B（單調性） （3）m* （ eq o(sup 8(),sdo 4()Ai） eq o(sup 8(),sdo 4()m*Ai（次可列可加性）可測集：ER 對任意的TR有：m*（T）= m*（TE）+ m*（TCE）稱E為可測集，記為mE 其性質： 1）T1：E可測 AE BCE使m*（AB）= m*A+ m*B 2）T2：E可測CE可測運算性質：設S1、S2可測S1S2可測（T3）； 設S1、S2可測S1S2可測 （T4）； 設S1、S2可測S1-S2可測 （T5）。S1、S2Sn 可測Si可測 （推論3） Si可測（T7）S1

6、、S2Sn 可測，SiSj=Si可測 m(Si)= m(Si)(T6)Si遞增,S1S2S3lim(Si)=lim mSi=Ms(T8)Si遞降可測, S1S2S3當mS1是可測集，稱（x）是E上的可測函數可測任意的R E是可測集任意的R E是可測集 任意的R E是可測集任意的，R E是可測集 （ 在eq o(sup 6(S ),sdo 2()Ei上可測（四則運算） ，g在E上可測+g，g，1/ 在E上可測。極限運算 n是可測函數列，則=inf n（x）=sup n可測（T5）F=lim n G=eq o(sup 7(),sdo 3(lim) n可測與簡單函數的關系：在E上可測 總可以表成一列

7、簡單函數n的極限函數 =eq o(sup 7(lim),sdo 3( n )n，而且可以辦到1232.opO定理：mE0 存在子集EE 使得n在E上一致收斂 且m（E-E）0 閉子集EE 使得在E上連續 且m（E-E）即在E上a.e有限的可測函數是：“基本上連續”的函數。4可測函數類：連續函數（T2）、簡單函數、R上單調函數、零測度集上函數。5三種收斂之間的關系：（ERmE+）一致收斂測度收斂幾乎處處收斂 （ Riesz：fnf 則 fnif a.e于E ） Lebesgue：1） mE+；2）fn E 上a.e有限的可測函數列;3)fn E 上a.e收斂于a.e有限的ffnf(x) 在此mE

8、+條件下,可見測度收斂弱于a.e收斂 補充定理(見復旦3.2 T5) mEa 是可測集集合分解法，E=EiEiEj= f在Ei 上可測函數分解法，f可表為若干函數的運算時幾乎處處相等的函數具有相同的可測性（1，T8）可測函數類2判斷三種函數之間的關系第五章 積分論 基本要求：了解可測分劃、大（小）和、上（下）積分、有界函數L可積和L積分的概念。掌握有界函數L積分的性質。理解非負函數L積分與L可積的概念。理解一般函數的L積分確定、L積分與L可積的概念。掌握一般函數的L積分的性質。掌握L積分極限定理。弄清L積分與R積分之間的關系。熟練掌握計算L積分的方法。會利用L積分極限定理進行有關問題的證明。了

9、解有界變差函數的概念及其主要性質。了解不定積分、絕對連續函數的概念及它們的主要性質。Lebesgue積分Riemann積分 分割、作和、取確界、求極限。Lebesgue積分定義1：E= eq o(sup 7(),sdo 4()Ei,各Ei互不相交，可測，則稱Ei為E的一個分劃，記作D=Ei定義2：設f是定義在ER（mE）上的有界函數，D=Ei令B= eq o(sup 7(),sdo 4()f（x） bi= eq o(sup 7(),sdo 4()f（x）大和S（D，f）= eq o(sup 7(),sdo 4()BimEi = S（D，f）小和（D，f）= eq o(sup 7(),sdo 4

10、()bimEi=（D，f）（D，f）S（D，f）定義3：設f是定義在ER（mE）上的有界函數上積分： eq o(sup 7(),sdo 4()f（x）dx=inf S（D，f）下積分： eq o(sup 7(),sdo 4()f（x）dx=sup （D，f）若上下積分相等，則稱f在E上可積，其積分值叫做L積分值，記（L）Ef（x）dxT1：設 f是定義在ERq（mE）上的有界函數，則f在E上L可積任意的 0S（D，f）- （D，f）T2：f在E上L可積f在E上可測 （*） 對有界函數而言，L可積可測T3：f，g有界，在E上可測，fg，fg，f/g，f可積T4：f在a，b上R可積L可積，且值相等

11、 *L積分的性質：T-1（1）：f在E上L可積，則在E的可測子集上也L可積；反之，E=E1E2 E1E2= E1、E2可測，若f在Ei上L可積，則f在E上可積Efdx= E1fdx+ E2fdx （積分的可加性）（2）f，g 在E上有界可測 E（f+g）dx=Efdx+Egdx （3）任意cR Ecfdx=cEfdx （4）f，g在E上L可積，且fg 則EfdxEgdx 特別地，bfB Efdx bmE，BmE 推論1：（1）當mE=0 Efdx=0 （2）f=c Efdx=cmE（5）f在E上可積，則f可積，且EfdxEfdx T-2 （1）設f在E上L可積 f0 Efdx=0 則 f=0

12、a.e于E （2）f在E上L可積，則對任意的可測集A屬于E 使 eq o(sup 7(),sdo 4()Afdx=0 （絕對連續性） 推2：設f，g在E上有界可積，且f=g a.e于E 則 Efdx=E g dx 證明思路: E=E1E2 E1E2= E1=EfgE (f- g)dx = E1 +E2 (f- g)dx=0 注:1)在零測度集上隨意改變函數值,不影響積分值,甚至在E的一個零測度子集 上無定義亦可. 2)從E中除去或添加有限個或可數個點L積分值不變一般函數的積分非負函數：f, EE eq o(sup 7(),sdo 4()定義:f0 EE eq o(sup 7(),sdo 4()

13、 mE f(x)n= eq o(sup 7(),sdo 4() eq o(sup 7(),sdo 4()稱fn為（E上）截斷函數 性質：（1） f(x)n 有界非負， fn （2）單調 f1f2f3 （3） eq o(sup 7(),sdo 4()fn=f（x）定義1：設f為非負（于E）可測（mE）稱Efdx=E eq o(sup 7(),sdo 4()fnd x（若存在含無窮大）為f在E上的L積分當E eq o(sup 7(),sdo 4()fnd x為有限時，稱f為在E上的非負可積函數注：非負可積一定存在分 L積分 非負可積 一般函數的積分設f在E（mE+）上可測， f eq o(sup

14、7(),sdo 4() f eq o(sup 7(),sdo 4() 在E上非負可測，則f可測Ef eq o(sup 7(),sdo 4() dx Ef eq o(sup 7(),sdo 4()dx存在 f= f eq o(sup 7(),sdo 4()- f eq o(sup 7(),sdo 4()Ef dx=Ef eq o(sup 7(),sdo 4() dx-Ef eq o(sup 7(),sdo 4()dx定義 2：設f在E（mE+）上可測，若Ef eq o(sup 7(),sdo 4() dx和Ef eq o(sup 7(),sdo 4()dx不同時為+則稱f在E上積分確定當E f

15、dx+時，則稱f在E上L可積注：f可測 f的積分確定 f可積有界函數 非負函數 一般函數 mE+L積分的性質：定理1-（1）：若 mE=0，則 E f dx=0 （2）：f在E上可積mEf=+=0 f有限a.e于E同（R）（3）：f在E上積分確定 f在可測子集E1E上積分確定 E=E1E2(4):f在E上積分確定,f=g a.e于E則f,g的積分確定且相等幾乎處處相等的函數具有相同的可積性(值相等) 同(R)(5):f,g在E上非負可測E(f+g) dx=Ef dx+Efgdx 同(R)(6): f,g在E上積分確定fg Ef dxEfgdx L可積性質定理2:有界可積函數性質仍成立(5條)(

16、略)積分極限定理 T-1 L控制收斂定理設1）fn是E上一列可測函數 2）fnf（x） f為L可積函數 3）fnf（fnf a.e 于E）則f是E上L可積函數,且 eq o(sup 7(),sdo 4()E fnd x=E fd xL有界收斂定理設1）是E上一列可測函數, mE+ 2）K（常數） 3）（a.e 于E）則是E上L可積函數,且 eq o(sup 7(),sdo 4()Edx=EdxT-2(Levi)設是E上一列非負可測函數,則 eq o(sup 7(),sdo 4()Edx=E eq o(sup 7(),sdo 4()dxT-3設是E上一列非負可測函數,則Endx=Edx (逐項積

17、分定理)T-4(積分的可數可加性)f在可測集EE eq o(sup 7(),sdo 4()上的積分確定,且E= eq o(sup 7(),sdo 4()Ei其中Ei為互不交的可測集, 則 Edx= eq o(sup 7(),sdo 4()Eidx有界變差函數 分劃:T:a=x0 x1x2=constT-4(Lebesgue)設Va，b,則在a，b上幾乎處處存在導數f(x)f(x)在a，b上可積若f是增函數,有 eq o(sup 8(),sdo 4() f(x)dxf(b)-f(a)不定積分定義1:設在a，b上L可積, La，ba,xdx稱為在a，b上的不定積分定義2:設F(x) 是a，b上的有

18、界函數,0 ，0 ai,bi不交,只要( bi- ai) 就有F(bi)-F(ai)0，存在0 使d（x，x）時，d（Tx，Tx）0（），當，時，必有（xn，x）則稱xn eq o(sup 6(),sdo 3()是中的柯西（Cauchy）點列或基本點列，如果（X，d）中每一個柯西點列都收斂，則稱（X，d）是完備的度量空間有理數全體按絕對值距離構成的空間不完備，而l eq o(sup 6(),sdo 3()是完備的度量空間度量空間中任一收斂點列是柯西點列；反之，度量空間的柯西點列未必收斂：完備度量空間的子空間，是完備空間的是中的閉子空間，（，上實系數多項式全體作為，的子空間）是不完備的度量空間、

19、等距同構定義：設（X，d），（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）是兩個度量空間，如果存在從X到 eq o(sup 6(),sdo 3()上的保距映照T，則稱（X，d）與（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）等距同構，此時T稱為 eq o(sup 6(),sdo 3()上的等距同構映照T：（度量空間完備化定理）設（X，d）是度量空間，那么一定存在完備度量空間（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()） 使（X，d）與（ eq o(sup 6(),

20、sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）的某個稠密子空間W等距同構，而且 eq o(sup 6(),sdo 3()在等距同構下是唯一的。即若（，）也是一個完備的度量空間，且X與的某個稠密子空間等距同構，則（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）與（，）等距同構。T：設X=（X，d）是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間 eq o(sup 6(),sdo 3()=（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()），使X為 eq o(sup 6(),sdo 3()的稠密子空間6、壓縮映照定

21、義：X是度量空間，T是X到X的映照，如果存在一個數，0 x+yY xYY是X的子空間，X和0是平凡子空間。 線性相關，無關概念M是X的非空子集，M中任意有限個向量線性組合全體記為spanM稱為由MX成的包定義：X是線性空間，M是X中線性無關子集，若spanM=X，則稱M的基數為X的維數，記為dimX，M稱為X的一組基，M的基數是有限時，則稱為有限維線性空間，如果X只含有零元素，則稱X 為0維線性空間。8、線性賦X空間定義：設X為實（復）線性空間，如果對每一個向量xX，有一個確定的實數，記為x 與之對應，并且滿足： = 1 * roman ix0 且x=0 x=0 = 2 * roman iix

22、=x其中為任意實（復）數 = 3 * roman iiix+yx+y x，yX則稱x為向量x的X數，稱X按X數x成為線性賦X空間xn eq o(sup 6(),sdo 3()是中的點列，如果存在xX，使xn -x0 （n）則稱xn eq o(sup 6(),sdo 3()依X數收斂于x，記為xnx（n）或 eq o(sup 6(),sdo 3() xn= x令d（x，y）=x-y 是由X數導出的距離，由此觀之線性賤X空間實際上是一種特殊的度量空間。 若d由導出，對任意的R，x，yX，有： （a） d（x-y，0）= d（x，y）； （b）d（x，0）=| d（x，0）反之，X是線空間，d是距離

23、，滿足（a）和（b），那么一定可以在X上定義X數x使d是由X數導出的距離， x=d（x，0）x是x的連續函數，事實上，任意x，yX，由X數條件2）和3）易證| y-x|y-x，所以，當xn -x0時xnx 完備的線性賦X空間稱為巴拿赫空間（Banach Spaces）R eq o(sup 5(),sdo 3()x=（ eq o(sup 5(),sdo 3()|i| ） eq o(sup 5(),sdo 3() 構成Banach空間Ca，b x=sup|x（t）| 構成Banach空間:x=sup|i|構成Banach空間L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b p=（ eq o(su

24、p 6(),sdo 3()|（x）| eq o(sup 6(),sdo 3()dx）1/p構成Banach空間 p1證明需用到引理1 和2引理1：（Hlder不等式）設p1，1/p+1/q=1， L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b g L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b 那么，g在a，b上L可積且成立： eq o(sup 6(),sdo 3()|（x）g（x）|dxpgq引理2：（Minkowsky不等式）設p1，g L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b，那么+g L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b 且成立：+gpp+gpT-2：L

25、 eq o(sup 6(),sdo 3()a，b （p1）是Banach空間5）l eq o(sup 6(),sdo 3()x=（ eq o(sup 5(),sdo 3()|i| eq o(sup 6(),sdo 3()）1/p是Banach空間T-3設X是n維線性賦X空間，（e1，e2，en）是X的一組基,則存在常數M和M使對一切 x= eq o(sup 5(),sdo 3()iei成立Mx( eq o(sup 5(),sdo 3()|i| ） eq o(sup 5(),sdo 3()Mx推論1:設在有限維線性空間上,定義了X數x和x1那么必存在常數M和M 使得 Mxx1Mx定義2:設R是線

26、性空間,x1和x2是R上兩個X數,如果存在正數c1,c2,使對一切xR,成立: c1x2x1c2x2則稱(R, x1)和(R, x2)是拓撲同構的推論2:任何有限維賦X線性空間都和歐氏空間拓撲同構,相同維數的有限維賦X線性空間彼此拓撲同構.線性賦X空間和線性連續泛函 基本要求：理解線性算子、線性泛函的概念。掌握線性有界算子的概念和有關性質，以及二者這間的關系。了解算子的X數的概念，熟悉一些線性有界算子的例子，并知道無界算子是存在的。了解線性有界算子空間的概念和性質。掌握共軛空間的概念和性質，知道一些特殊空間的共軛空間。算子定義：線性賦X空間X到Y的映照T被稱為算子，如果Y是數域，則被稱為泛函線

27、性算子和線性泛函 T1： 設X和Y是兩個同為實（或復）的線性空間，()是X的線性子空間，T為到Y中的映照，如果對任意的x，y ，及數，成立： T（x+y）=Tx+Ty （1） T（x）=Tx （2）則稱T為到Y中的線性算子，其中稱為T的定義域，記為（T），T稱為T的值域 記為(T)，當T取值于實（或復）數域時，稱T為實（或復）線性泛函幾種常見的線性泛函： 1、相似算子Tx=x 當=1時，恒等算子，零算子； 2、P0，1是0，1上的多項式全體，定義微分算子，若t00，1，對xP0，1，定義（x）=x（t0）則是P0，1上的線性泛函。 3、積分算子 xCa，b Tx（t）= eq o(sup 5(

28、),sdo 3()x由積分線性性質知T為線性泛函，若令= eq o(sup 5(),sdo 2()x則是Ca，b中的線性泛函 4、乘法算子 Tx（t）=tx（t） 5、R eq o(sup 5(),sdo 3()中的線性變換是線性算子線性有界算子 定義：設X和Y是兩個線性賦X空間，T是X的線性子空間（T）到Y中線性算子，如果存在常數c，使對所有x（T），有：Txcx，則稱T是（T）到Y中的線性有界算子，當（T）=X時，稱T為X到Y中的線性有界算子，簡稱為有界算子。否則，稱為無界算子。T-1：設T是線必性賦X空間X到線性賦X空間Y中的線性算子，則T為有界的充要條件是T是X 上的連續算子。T-2：

29、設X是線性賦X空間，是X上線性泛函，是X上連續泛函的的零空間（）是X中的閉子空間。定義：T為線性賦X空間X的子空間（T）到線性賦X空間Y中 線性算子，稱Tx=s u p Tx/x 為算子T在（T）上的X數 x0,x（T） 引理：T是（T）上線性有界算子，成立T=s u p Tx/x=Tx=s u p Tx/xx（T）,x=1 x（T）,x1 線性算子空間和共軛空間X和Y是兩個線性賦X空間,以(XY)表示由X到Y中線性有界算子全體.當A和B屬于(XY)時,是所討論的數域中的數時,定義(XY)中加法運算如下:對任意的xX,令(A+B)x=Ax+Bx(A)x=Ax則(XY)按照如上加法和數乘運算和算

30、子X數構成線性賦X空間.T:當Y是Banach空間時,(XY)也是Banach空間一般地,設X是線性賦X空間,如果在X中定義了兩個向量的乘積,并且滿足 xyxy x,yX則稱X為賦X代數,當X完備時,則稱X為Banach代數,由T知,當X完備時,(XY)是Banach代數.共軛空間:設X是線性賦X空間,令X表示X上線性連續泛函全體所成的空間,稱X為共軛空間.T:任何線性賦X空間的共軛空間是Banach空間.定義:設X和Y是兩個線性賦X空間,T是X 到Y中的線性算子,并且對所有的xX,有 Tx=x 則稱T是X 到Y中的保距算子，如果又是映照到上的，則稱是同構映照，此時稱與同構內積空間和希樂伯特空

31、間 基本要求：掌握內積空間，希樂伯特空間的概念，熟悉一些具體例子。理解內積與其誘導X數之間的關系。理解許瓦茲不等式和平行四邊形法則。了解凸集的概念，掌握正交的有關概念。掌握直交補空間的定義與性質。理解投影算子的概念，掌握投影算子的性質。內積空間和希爾伯特空間定義：設是復線性空間，如果對中任何兩個向量,，有一復數，與之對應，并且滿足下列條件:x,y 0 ，=0當且僅當x=0,xX;+,z=，z+,z x y zX,C(復數)，=,x x,y X則稱，為x與y的內積,X為內積空間內積引出的X數 x=，引理(Schwarz不等式)設X按內積，成為內積空間,則對于X中任意向量x,y,成立不等式，xy

32、當且僅當x與y線性相關時取等號.易得出:X數不等式x+yx+y內積導出的X數x構成線性賦空間,若完備,則稱Hilbert空間.滿足平行四邊形法則. x+y eq o(sdo-4(),sdo 5()+x-y eq o(sdo-4(),sdo 5()=2（x eq o(sdo-4(),sdo 5()+y eq o(sdo-4(),sdo 5()）（內積空間X數的特征性質）如 L eq o(sdo-4(),sdo 5()a，b l eq o(sdo-4(),sdo 5() 是Hilbert空間，當p2時 lp不成為內積空間Ca，b按X數x= eq o(sup 6(),sdo 3()x（t） 不成為內

33、積空間極化恒等式（內積與X數關系式）（內積可用X數表示）x，y=1/4（x+y eq o(sdo-4(),sdo 5()-x-y eq o(sdo-4(),sdo 5()+ix+iy eq o(sdo-4(),sdo 5()-ix-iy eq o(sdo-4(),sdo 5()）當X 為實內積空間時，x，y=1/4（x+y eq o(sdo-4(),sdo 5()-x-y eq o(sdo-4(),sdo 5()）由Schwarz不等式，立得xn，ynx，y定義：設X是度量空間，M是X的非空子集，x是X中一點，稱eq o(sup 6(inf),sdo 2(yM)d（x，y）為點x到M的距離，記

34、作d（x，M）在線性賦X空間中 d（x，M）=eq o(sup 6(inf),sdo 2(yM)x-y設X是線性空間，x，y是X 中的兩點，稱集合z=x+（1-）y；01 為X中聯結點x和y的線段，記為x，y，如果M是X 的子集，對M中任意兩點x，y必有x，yM則稱M為X中的凸集定理：（極小化定理）設是內積空間，是中非空凸集，并且按中由內積導出的距離完備，那么，對每一個xX，存在唯一的yM，使 x-y= d（x，M）推論1：設X是內積空間，M是X 的完備子空間，則對每個xX，存在唯一的yM，使 x-y= d（x，M） （應用于微方、現代控制論、逼近論）定義：設X是內積空間，x，y是X中兩向量，

35、如果 x，y=0 則稱垂直或正交，記為xy如果X的子集A中每個向量與子集B中每個向量正交，ABxy x+y2=x2+y2引理1：設X是內積空間，M是X的線性子空間，xX，若存在yM使x-y= d（x，M），那么x-yM 定義2：直接和：Y和Z是X的子空間，對每一個xX，存在唯一的yY，Zz 使x=y+z，則稱x為y和z的直接和。y和z稱為一對互補子空間。Z稱為Y的代數補子空間。 易知互補子空間必線性無關。定義3：設X 是內積空間，M是X 的子集，稱集合M=xMxM為M在X 中直交補 M是X 中閉線性子空間定理2：設Y是Hilbert空間的閉子空間，那么成立 X=Y+Y直接和記作：X=YZ x=

36、y+z，y是x在Y中的直交投影。投影算子 Px=y 具有性質：P是X到Y上的線性有界算子，且當Y0時，P=1PX=Y，PY=Y，PY=0P2=P P是投影算子 P=P*=P2設X是內積空間，M是X的子集，記（M）=M顯然有 MM反之有：引理2：設Y是Hilbert空間X的閉子空間，則成立 Y=Y引理3：設M是Hilbert空間X中非空子集，則M是線性包SpanM在X中稠密的充要條件是M=0定義4：設M是內積空間中不含零的子集，若M中向量兩兩直交，稱M為X中直交系，又若M 中向量X數為1，則稱M為X 中的就X直交系。直交系的基本性質：x1+x2+.+xn2=x12+x22+.xn2直交系M是X中

37、線性無關子集定義5:設X是線性賦X空間,xi, i=1,2,.是X中一列向量,1, 2,.n是一列數,作形式級數eq o(sup 6( ),sdo 2()ixi 稱Sn=eq o(sup 6(n ),sdo 2()ixi 為n項部分和若存在xX,使Snx 則稱級數收斂,并稱x為其和,記作x=ixi定義6:設M為內積空間X 中就X直交系, xX,稱數集 x，eeM為向量x關于就X直交系M的富里葉系數集,而稱x，e為x關于e的Fourier系數引理:設X是內積空間,M是X 中就X直交系,任取M中有限個向量e1,e2,.en那么:x-eq o(sup 6(n ),sdo 2()x，eiei2=x-e

38、q o(sup 6(n ),sdo 2()x，ei20 x-eq o(sup 6(n ),sdo 2()i eix-eq o(sup 6(n ),sdo 2()x，eiei其中i為任意的n個數定理(Bassel不等式)設ek是內積空間X 中的有限或可列就X直交系,那么對每一個xX,成立不等式eq o(sup 6( ),sdo 2()x，ei2x2若上式等號成立,則稱為Parseval等式引理：設 ek 為Hilbert空間X中可列就X直交系，那么成立：（1）eq o(sup 6( ),sdo 2()iei收斂的充要條件是eq o(sup 6( ),sdo 2()i2收斂 （2）若x=eq o(

39、sup 6( ),sdo 2()iei 則i=x，ei i=1,2,.故x=eq o(sup 6( ),sdo 2()x，eiei對任意的xX,級數eq o(sup 6( ),sdo 2()x，eiei收斂推論1: 設 ek 是X中可列就X直交系，則對任意的xX ， eq o(sup 6(lim),sdo 2(n)x，en=0定義:設M是內積空間X的就X直交系,如果 spanM=X 則稱M是X中的完全就X直交系.定理:設M是Hilbert空間X中就X直交系，M完全的充要條件是M=0定理:M是Hilbert空間X中完全就X直交系的充要條件是，對所有xX,Parseval等式成立.滿足定理條件的M

40、 X中的x可展成x=eq o(sup 6( ),sdo 2()x，ee稱為向量x關于就X直交系M的Fourier展開式. 推論2: (Ce定理)M是Hilbert空間X中就X直交系,若Parseval等式在某個稠密子集N上成立,則M完全.引理3:設xi是內積空間X中有限或可列個線性無關向量,那么必有X中就X直交系e1,e2,.,使對任何正整數n,有spane1,e2,.en= spanx1,x2.xn本定理的證明過程稱為Gram-Schmidt正交化過程定理4；每個非零Hilbert空間必有完全就X直交系。定義5：設X和 eq o(sup 6(),sdo 3()是兩個內積空間，若存在X到 eq

41、 o(sup 6(),sdo 3()的映照T，使對任意的x，yX以及數，滿足T（x+y）=Tx+TyTx，Ty=x，y 則稱X和同構，并稱T為X 到 eq o(sup 6(),sdo 3()上的同構映照定理5：兩個Hilbert空間X與 eq o(sup 6(),sdo 3()同構的充要條件是X與 eq o(sup 6(),sdo 3()有相同的維數。推論3：任何可分的Hilbert空間必和某個R eq o(sup 6(),sdo 3()或l eq o(sdo-4(),sdo 5()同構定理（Riesz定理）設X是Hilbert空間，f是X上線性連續泛函，那么存在唯一的zX，使對每一個xX 有

42、 f（x）=x，z 并且 f=z對每個yX 令Ty=fy其中fy為X上如下定義的泛函： fy（x）=x，y ， xX顯然fy是X上線性連續泛函，由Riesz定理，T是X到X上的映照，X是X上線性連續泛函全體所成的Banach空間，又Ty=y。易看出，對任意的x，yX以及數，成立： T（x+y）= Tx+Ty （）事實上，對任何zX，有T（x+y）（z）=z，x+y=Tx（z）+Ty（z） =（Tx+Ty）（z）所以（）成立.稱滿足（）的映照T是復共軛線性映照,Ty= fy是X到X上保X共軛線性映照,稱為復共軛同構映照,若存在H空間X到 eq o(sup 6(),sdo 3()上的復共軛同構映照

43、,則稱X與 eq o(sup 6(),sdo 3()是復共軛同構,此時將X當成 eq o(sup 6(),sdo 3(),當X是H空間時,X=X,即X是自共軛的.定理：設X和Y是兩個H空間，A(XY)，那么存在唯一的A(XY)，使對任何的xX，yY，成立 Ax，y=x，Ay 且A=A定義：設A是H空間X到H空間Y中的線性有界算子，則上定理中算子A為A的Hilbert共軛算子，簡稱共軛算子。共軛算子有下列基本性質：（A+B）=A+B（A）= A （A）=AAA=AA=A AA=0等價于A=0當X=Y時，（AB）=BA定義：T為H空間X到X中的線性有界算子，若T=T，則稱T為X上的自伴算子；若TT

44、=TT，則稱T為X上正常算子；若T是X到X上的一對一映照，且T=T eq o(sup 6(),sdo 3()，則稱T是X 上的酉算子。引理：T為復內積空間X上線性有界算子，那么T=0對一切xX，成立 Tx，x=0定理：設T為復H空間X上線性有界算子，則T為自伴算子的對一切的xX， Tx，x 是實數。自伴的和與差仍為自伴，下面有：定理：T1和T2是H空間X上兩個自伴算子，則T1T2自伴的充要條件是T1T2=T2T1定理：設Tn是H空間X上一列自伴算子，并且 eq o(sup 6(),sdo 3()Tn=T，那么T仍為X上自伴算子。定理：設U及V是H空間X上兩個酉算子，那么U是保X算子，即對任何x

45、X，成立 Ux=x；當X0時，U=1U eq o(sup 6(),sdo 3()是酉算子；UV是酉算子；若Un，n=1，2，是X上一列酉算子，且Un收斂于有界算子A，則A也為酉算子。定理：設T為復H空間上線性有界算子，那么T是酉算子T是映照到上的保X算子。定理：設T是復H空間X上線性有界算子，A+iB 為笛卡爾分解，則T為正常算子的AB=BA定理：設T為復H空間X 上線性有界算子，則T為正常算子對xX，成立 Tx=Tx巴拿赫空間中的基本定理 基本要求：掌握四大定理的條件和結論，了解與其相關的內容。能進行簡單的證明。 Banach spaces令p（x）=fzx，則p（x）是在整個X上有定義的泛

46、函，且滿足p（x）=p（x） xXp（x+y）p（x）+p（y） x，yX稱X上滿足（1）和（2）的泛函為次線性泛函。定理1：（Hahn-Banach泛函延拓定理）設X是實線性空間，p（x）是X上次線性泛函，若是X 的子空間Z上的實線性泛函，且被p（x）控制，即滿足（x）p（x）， xZ，則存在X上的實線性泛函，使當xZ時，有（x）= （x），并且在整個空間X上仍被p（x）控制，（x）p（x）， xX可以證明在全空間上定義的實線性泛函，使是f的延拓，且對一切的xX有（x） p（x）設是滿足下列三個條件的實線性泛函g全體： = 1 * roman i g的定義域（g）是X的線性子空間。 = 2

47、* roman ii g是f的延拓，即Z，且當xZ時，成立g（x）=f（x） = 3 * roman iii 在上g被p（x）控制，即對一切x，有gp 。在中規定順序如下：若g1，g2，而g1，是g2的延拓（即（g1） （g2），并且當x（g2）時，g1（x）=g2（x），就規定 g2g1，容易證明， 按這樣規定的順序成為半序集。定理2：設X是實或復的線性空間，p（x）是X上次線性泛函，（x）是定義在子空間上Z上的實或復的線性泛函，且滿足 （x）p（x） xZ 則存在X上線性泛函，它是的延拓，且滿足（x）p（x） xX定理3：設f是賦X線性空間X的子空間Z上的線性連續泛函，則必存在X上線性連續

48、泛函，它是f的保X延拓，即當xZ時，有（x）=f（x） 并且X=fZ定理4：設X是線性賦X空間，x0X，x00，則必存在X上的線性有界泛函f（x），使得f=1，并且f（x0）= x0推論1：設X是賦X線性空間，xX，若對X 上所有線性連續泛函f，均有 f（x）=0， 則必有 x=0Ca，b的共軛空間定理（Riesz表示定理）Ca，b上每一個線性連續泛函F都可以表示為F（f）= eq o(sup 6(),sdo 3()f（t）dg（t）， fCa，b其中g（t）是a，b上囿變函數，并且F=（g）注：定理中得出的g（t）不一定唯一。但如果規定g（t）是正規化的囿變函數，即需要滿足g（a）=0且g（

49、t）右連續，那么g（t）可由F唯一地決定。共軛算子定理1：線性有界算子T的共軛算子T eq o(sup 6(),sdo 3()也是線性有界算子，并且T eq o(sup 6(),sdo 3()=T定義1：設M是度量空間X中的子集，如果M不在X的任何半徑不為零的開球中稠密，則稱M是X中的無處稠密集或疏朗集。定義2：設X是度量空間，M是X中子集，若M是X 中有限或可列個疏朗集的并集，則稱M是第一綱集，不是第一綱的集稱為第二綱集。定理1：（Baire綱定理）若X是非空的完備度量空間，則X是第二綱集。注：逆不成立，布爾巴基（Bourbaki）在1955年曾舉出反例，一個不完備的度量空間仍是第二綱集。定

50、理2：（一致有界定理或共鳴定理）設X是Banach空間，Y是賦X空間，(XY)表示X到Y中的線性有界算子全體，Tn(XY)，n=1，2，.若對每一個xX, Tnx有界,即TnxCx,n=1,2,.,這里Cx是一與x有關的實數,那么, Tn一致有界,即存在與x無關的實數C,使用權對一切自然數n,成立TnC定理3:設是Banach空間X上的一列泛函,如果在X的每一點處有界,則一致有界.定理4:存在一個實值連續函數,它的富氏級數在給定的to處是發散的. (共鳴定理在古典分析上的應用)強收斂 弱收斂 和一致收斂 定義 :設X是賦X線性空間, xnX,n=1,2,.,如果存在xX,使xn-x0,則稱點列

51、 xn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)強收斂于x,如果對任意的fX,都有f(xn) f(x)則稱點列弱收斂于x.定義:設X 是線性賦X空間,X是X的共軛空間,泛函列fnX(n=1,2,)如果存在fX,使得fn-f0,則稱 fn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)強收斂 于f對任意的xX,都有fn(x)-f(x)0,則稱 fn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)弱*收斂 于f;若對任意的F(X) ,都有F(fn)F(f)則稱 fn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)弱收斂 于f .注:弱*收斂 和弱收斂 只在自反的空間中等價定義:設X 和Y是兩個線性賦

52、X空間,Tn(XY),若存在T(XY)使得Tn-T0,則稱算子列Tneq o(sup 6( ),sdo 2(1)一致收斂于T.對任意的xX, Tnx-Tx0,則稱Tn強收斂于T.對任意的xX和任意的fY,f(Tnx) f(Tx),則稱Tn弱收斂 于T.T-1:設Tn是Banach空間X到Banach空間Y中的線性有界算子序列,則Tn強收斂(1)Tn 有界;(2)對X中一稠密子集D中的x, Tn xeq o(sup 6( ),sdo 2(1)收斂注:將T-1用于泛函情形,可知Banach空間X上任一列泛函fn,如弱收斂,必定有界;反之,有界泛函 fn若在X的一個稠密子集上收斂,則必弱*收斂.逆算

53、子定理(開映照定理)T-1:設X 和Y都有是Banach空間,如果T是從X到Y上的一對一線性有界算子,則T的逆算子T-1也是線性有界算子.引理:設T是Banach空間X到Banach空間Y上的線性有界算子,則X 中單位球 Bo=B(0,1)=xx1 的像TBo包含一個以零點為心的球.定義: 設X和Y是兩個度量空間,f是X到Y中的映照,若f將X 中的開集映成Y中的一開集,則稱f是開映照. 定義:設X和Y是兩個賦X空間,T是X 的子空間(T)到Y中的線性算子,稱XY中的集合 G(T)=(x,y) x(T),y=Tx為算子T的圖像. 在XY中,定義(x,y)=x+y,易知XY按此X數成線性賦X空間,

54、如果G(T)是X中的閉集,則稱T是閉算子.定理:(閉圖像定理)設X和Y是Banach空間,T是(T)X到Y上閉線性算子,如果(T)是閉的,則T是有界算子.注:定理表明,一個閉算子,若無界,其定義域一定不是閉集;若閉算子T的定義域是閉集,那么,T是有界算子.Banach空間上的無界算子,其定義域至多只能在X中稠密,而絕不是整個X.如微分算子的定義域是Ca,b中稠密子集C1a,b,而不能是Ca,b 線性算子的譜理論要求：了解有關譜的的概念和基本理論，掌握全連續算子的譜分解理論，了解酉算子、共軛算子、正規算子的譜分解理論，并在此基礎上具備進一步學習和拓展知識的能力。線性算子的譜理論定義1:設X是賦X

55、空間,T(XX),若T-1存在,且是定義在整個X上的有界線性算子,則稱T是X上的正則算子.正則算子性質: T正則存在有界算子B(XX),使得 BT=TB=I I為恒等算子 A,B正則 T=AB也是正則算子,且(AB)-1=B-1A-1定義2:設T(XX),是復數,若(T-I)正則,稱是算子T的正則點;T的正則點的全體稱為T的正則集或豫解集,記為(T); 不是正則點的復數稱為T的譜點;全體構成T的譜,記為(T).定義3:(譜的分類)設(T)即T-I不存在有界逆算子,可分三種情況:如果T-I不是一對一的,此時存在xX,x0,使(T-I)x=0即Tx=x,此時稱是算子T的特征值,x稱為相應于特征值的

56、特征向量.T的特征值的全體稱為T的點譜,記為(T);(T-I)是一對一的,但值域不充滿全空間,即(T-I)E (T-I)=E(T-I)是X到X上的一對一算子,但(T-I)-1不是有界的.(T-I)E(2)類譜點稱為T的連續譜,記為C(T),(3)類譜點稱為T的剩余譜,記作r(T)。由逆算子定理可知,X是Banach空間時,(3)不出現.本節均指Banach空間.舉例1:乘法算子：（Tx）（t）=tx（t）設0，1, 在C0，1上定義算子R：（R）x（t）=x（t）/（-t）R是定義在C0，1上，且值域包含在C0，1中的線性有界算子。R（I-T）x（t）=（I-t）Rx（t）=x（t）是T的正則

57、值。當0，1，t=時，（-t）x（t）=0，當x跑遍C0，1時，（-t）x（t）的全體組成的集在C0，1中不稠密。不難證明非特征值，綜上，0，1，屬于剩余譜。例2.復C0，1中伏泰拉積分算子：（Tx）（t）=x（s）ds當0時，（I-T）x（t）=y（t）等價于x（t）=y（t）+x（s）ds上方程存在唯一解，故I-T存在逆算子，且有界。若=0，由（Tx）（t）=x（s）ds可知T的值域是滿足y（0）=0的一切連續可微函數y（t）組成的集，它在C0，1中不稠密，=0不能為特征值，故有=0屬于剩余譜 。例3. 在復空間Lp 0，1（1p+）中定義算子: （Tx）（t）=tx（t）+x(s)ds

58、T是值域包含在Lp 0，1中的有界線性算子,當(0, 1時,可以證明區間0, 的特征函數x (t)= 是算子T對應于的特征元.其實,當0t時,(Tx)(t)=tx(t)+eq o(sup 6(1 ),sdo 2(t)x (s)ds=當t1時, Tx(t)=0 Tx(t)= x(t) ( t0,1)當0,1時,可以證明方程 (I-T)x=0 只有零解 ,即算子I-T是一一對應的.可以驗證I-T有有界逆算子(I-T)-1,即是T的正則值. =0可自行討論.例4. 表示1中只有有限座標不為零的元素全體.即當x時,x=(x1,x2,xn,0,0)上X數x=xi上定義算子Bx=( x1,x2/2,xn/

59、n,0,0)則B是上一對一的線性算子.=0不是特征值,易知B-1x=( x1,2x2,nxn,0,0)顯然B-1定義在整個上,但是無界算子.所以,=0屬于剩余譜.補充(復旦下) 定義:B是線性賦X空間上線性有界算子,稱r(B)=為B的譜半徑.有估計式， suplimBn r(B)B定理: ()設B 是Banach空間的線性有界算子.則r(B)= lim （(B)）定理:非零的Banach空間E上的任何有界線性算子B必有譜點.定義:B是線性賦X空間E到E上的線性有界算子,如果 lim=0,則稱B為廣義冪零算子.定義:設B 是賦X線性空間E上線性有界算子,是一復數,如果存在一列向量xnE使(I-B

60、) xn0,則稱是B的近似譜點.定理:設B是Banach空間E上的線性有界算子,當(B)(B)時,必是近似譜點.而且此時或是特征值,或者(I-B)-1是無界算子. T-1:T(XX),T1,則1(T),這時I-T有定義,在全空間上的有界逆算子 (I-T)-1=Tn=I+T+T2+這里級數按(XX)X數收斂 T-2(譜集的閉性) T (XX),則(T)是開集, (T)是閉集.T-3: T(XX),則(T)是有界閉集,當(T)時,有T.由此知(T)非空.緊集和全連續算子定義1: (緊集和相對緊集)設以量空間,M是X 中子集,如果對M中任意點列xneq o(sup 6( ),sdo 2(1)都存在子