1、線段的比和黃金分割【本講教育信息】教學內容：第四章：相似圖形第一節：線段的比第二節：黃金分割教學要求1、結合現實情景了解線段的比和成比例線段，理解并掌握比例的基本性質及其簡單應用.2、了解黃金分割，體會其中的文化和藝術價值，進一步理解線段的比和成比例線段.重點及難點重點：1、了解線段的比和成比例線段，理解并掌握比例的基本性質.2、了解黃金分割，理解線段的比、成比例線段等相關知識.難點：1、比例基本性質的簡單應用.2、成比例線段的應用.課堂教學知識要點知識點1、線段的比如果當用同一長度單位量得兩條線段AB，CD的長度分別是m，n，那么就說這兩條線AB m =k段的比AB： CD=m： n或寫成C

2、D n ，其中線段AB，CD分別叫做這兩條線段比的前項和后項，k叫做它們的比值.說明：（1）兩線段的比是指用同一種長度的單位度量的兩線段長度的比（2）兩線段的比值與所用的長度單位無關.知識點2、成比例線段（1）成比例線段定義：四條線段a，b，c，d，中，如果a與b的比等于c與d的比，。_ c即b 萬，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段，其中a，d可稱為比例外項，b，c可稱為比例內項，d可稱為a，b，c的第四比例項.（2）比例的基本性質a _ c如果b 萬，那么ad=bcac如果ad=bc （a，b，c，d，都不等于0），那么萬 d .說明：比例的基本性質是比例變形的重要依

3、據.。_ c比例的基本性質的互逆關系的變形，可引用比值k的方法，設E3 =k,那么a=kb, c=kd, ad=kbXd=bXkd=bc知識點3、比例的性質a _ c a + b _c + d合比性質：如果b d，那么b d等比性質：如果a c ma + c HF m a=(b + d + . + n。0),那么 b d =.= nb + d +F n = bA.C _ BC知識點4、黃金分割：如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果AC , 那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.AC與AB的比叫做黃 金比.AC B知識點5、黃金比 黃金比值的求法：A.C _ B

4、CA.C _ AB - AC因為IB = AC，且bc=ab-ac，所以= 一，;5 1 abAC _5 1解得AC= 2，或ACO0.618AB，即得黃金比AB2 或0.618知識點6、求作黃金分割點 求已知線段AB的黃金分割點 方法一：如圖1AB1、經過點 B 作 BDXAB，且 BD=22、連接AD，在DA上截取DE=DB.3、在AB上截取AC=AE，所以點C是線段AB的黃金分割點.理由： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 1v;5設 AB = 1,貝0 BD= 2 , AD= 2 , HYPERLINK l

5、bookmark146 o Current Document 5 -13 -京AC=2, BC=2AC _ BC _ 5 -1所以- AC - 2所以點C是線段AB的黃金分割點. 方法二：如圖1、在線段AB上作正方形ADCB2、取AD的中點E,連接EB.3、延長DA至F,使EF=EB.4、以線段AF為邊作正方形AFGH.所以點H是線段AB的黃金分割點.理由：1設 AB = 1,則 AE= 2所以BT EF5 -13 f 5AH _ HB _ v5 -1所以而AH 2所以點H是線段AB的黃金分割點.方法三：如圖1、以AB為腰作等腰 ABD,使/A=362、作ZADB的角平分線交AB于點C所以，點

6、C是線段AB的黃金分割點.理由：作圖的理由在本章學完就知道，對這一基本圖形我們將會非常熟悉，此等腰三角 形叫做黃金三角形.【典型例題】求x22x2 z2的值分析：由已知條件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用設參數法代入化簡.x = y = z解：設234 =k貝0 x=2k， y=3k， z=4k2 x (2k)2 3 x 3k x 4k + (4k)212k21原式=(2k )22 x 2k x 3k-(4k )2 =項房=2說明：解此類題學生容易誤認為設k后，未知數越多更不易解出，實際上分子、分母能 產生公因式約去.x + 4_ y + 3 _z + 8例2.如果 324 ，且

7、x+y+z=12，求x，y，z的值.分析：條件中出現等比式，設其值為k，將方程轉化為關于k的方程，再求出k，從而 可求出x，y，z的值.x + 4_ y + 3 _ z + 8解：設 324 =k，則 x=3k4，y=2k3，z=4k8，代入x+y+z= 12 中，得3k4+2k3+4k8 = 12，解得 k=3x=3k4 = 3X34=5y=2k3 = 2X3 3 = 3z=4k8=4X3 8=4AB 5-1例3.如圖所示，矩形ABCD是黃金矩形(即BC =20.618)，如果在其內作正方形CDEF，得到一個小矩形ABFE，試問矩形ABFE是否也是黃金矩形？DE A志-1分析(1)矩形的寬與

8、長之比值為 2 ，則這種矩形叫做黃金矩形.AE 3 -1(2)要說明ABFE是不是黃金矩形只要證明AB =2 即可.解：矩形ABFE是黃金矩形.AE AD ED AD ED 理由如下：因為AB = AB AB AB22( 5 +1)5 +15 -11 1 1 =、5 1(%5 - 1)(.如5 +1)22所以矩形ABFE也是黃金矩形.例4.以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延 長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上，如圖所示，求AM，DM的長，試說明 AM2=AD DM根據(2)的結論，你能找出圖中的黃金分割點嗎？解(1)因

9、為正方形ABCD的邊長是2，P是AB中點，所以AD=AB = 2，AP=1，ZBAD = 90，所以 PD=v AP2 + AD2 = y5因為PF=PD，所以 AF= %5 L 在正方形 ABCD 中，AM=AF=如5 1，MD=ADAM=3一十5由(1)得 ADXDM=2 (3一板5 )=62板5, AM 2 =(號-1)2 = 6 - 25所以 AM2=AD DM如圖中的M點是線段AD的黃金分割點.【模擬試題】(答題時間：30分鐘)一、填空題a b 3a_1、如果T = 5，那么b =.2、若a=S , b = 3, c=3由，則a、b、c的第四比例項d為.x _X V + z3、 若

10、3一5一7，則0 X + V z =.4、在一張地圖上，甲、乙兩地的圖上距離是3 cm,而兩地的實際距離為1500 m,那么這 張地圖的比例尺為.5、 在1 ： 500000的地圖上，A、B兩地的距離是64 cm，則這兩地間的實際距離是.x + V6、 若 2x5v=0，則 v : x=， x =.AB _ AC7、 若 AD AE，且 AB=12，AC=3，AD=5，則 AE=.、選擇題a _ c1、已知b d，則下列式子中正確的是()a : b=c2 : d2a : d=c : ba : b=(a+c):(b+d)a:b=(ad):(bd)2、如圖所示，已知直角三角形的兩條直角邊的長的比為

11、a : b=1 : 2,其斜邊長為4云cm，那么這個三角形的面積是(）cm2A. 32B. 16C. 8D. 4a b c3、若7 = 7 = 8，且 3a2b+c=3，則 2a+4b3c 的值是（）14 TOC o 1-5 h z A, 14B. 42C. 7D. T4、等邊三角形的一邊與這邊上的高的比是（）A.拓:2B. 3 : 1C. 2 :切D, 1 : U35、下列各組中的四條線段成比例的是（）a=, b = 3, c=2, d=、3a=4, b = 6, c=5, d=10a=2, b= 現有三個數1, BM）,則下列各式中不正確的是（）A. AM : BM=AB : AM.否-1

12、B. AM=2 AB還-1C. BM=2 ABD. AMF618AB三、計算AP _ AQ _ 31、若點P在線段AB上，點Q在線段AB的延長線上，AB=10, Bp BQ 2，求線 段PQ的長.a + 2 b c + 52、若 3 一4一 6，且 2a b+3c=21.試求a : b : c.x + y _ 4 X3、已知2x 3，求y .4、在ABC 中，D 是 BC 上一點，若 AB=15 cm, AC=10 cm,且 BD : DC=AB : AC, BD-DC=2 cm, 求 BC.【試題答案】一、填空題81、52、3、54、1 : 500005、320 km6、7、二、選擇題1、C 2、B 3、D 4、C 5、C 6、B 7、.B 8、C三、計算題1、設 AP=3x, BP=2x刀 P B。.AB=10.AB=AP+BP=3x+2x=5x，即 5x=10,.x=2.AP=6, BP=4AQ = 3/ BQ2 ,.可設 BQ=y,貝 0 AQ=AB+BQ = 10+y10 + y _ 3y 2，解得：y=20,.PQ=PB+BQ=4+20