1、第十六章分式知識點和典型例習題【知識網絡】第一講 分式的運算【知識要點】 1. 分式的概念以及基本性質;與分式運算有關的運算法則分式的化簡求值 ( 通分與約分 )冪的運算法則【主要公式】 1.同分母加減法則 :bcb ca0aaa2.異分母加減法則 :bdbcdabcdaa0, c 0 ;acacacac3.分式的乘法與除法 : bdbd,bcbdbdacacadacac同底數冪的加減運算法則 : 實際是合并同類項5. 同底數冪的乘法與除法manm+nmnmn; a =a; a a =a6. 積的乘方與冪的乘方:(ab)m= a m bn , (am) n= a mn7. 負指數冪 :a-p

2、= 1pa0=1a8.乘法公式與因式分解: 平方差與完全平方式(a+b)(a-b)=a 2- b 2;(a b) 2= a 22ab+b2（一）、分式定義及有關題型題型一：考查分式的定義b , x2y21【例 1】下列代數式中：x , 1 x y,a, xy ，是分式的有：.2abxyxy題型二：考查分式有意義的條件【例 2】當 x 有何值時，下列分式有意義（ 1） x 4（2）3x（ 3）x22（4） 6 x（ 5）1x 4x221| x | 3x1x題型三：考查分式的值為0 的條件【例 3】當 x 取何值時，下列分式的值為0.（ 1） x 1（ 2） | x | 2（ 3）x 22x3x

3、25x6x 3x24題型四：考查分式的值為正、負的條件【例 4】（ 1）當 x 為何值時，分式4為正；8x（ 2）當 x 為何值時，分式5x為負；3(x1)2（ 3）當 x 為何值時，分式x2 為非負數 .x3（二）分式的基本性質及有關題型1分式的基本性質：AAMAMBBMBM2分式的變號法則：aaaabbbb題型一：化分數系數、小數系數為整數系數【例 1】不改變分式的值，把分子、分母的系數化為整數.1 x2 y（2） 0.2a0.03b（1） 23110.04a bxy34題型二：分數的系數變號【例 2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變為正號.（ 1）xy（ 2）a（ 3

4、）axyabb題型三：化簡求值題【例 3】已知： 115 ，求 2x3xy2 y 的值 .xyx2xyy提示：整體代入，xy5xy ，轉化出 11.xy【例 4】已知： x1221x，求 xx2 的值 .【例 5】若 | x y1| (2x3)2 0 ，求4x12 y的值 .（三）分式的運算1確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數，取各分母系數的最小公倍數；最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.2確定最大公因式的方法：最大公因式的系數取分子、分母系數的最大公約數；取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.題型一：通分【例 1】將下列各式分別通分 .（ 1）cb,a；（ 2）a ,b；2a

5、b ,3a2 c5b 2cab2b2a（ 3）1,x,2；（ 4） a 2,1x2x 2x 1 2x x2x 22 a題型二：約分【例 2】約分：（ 1）16 x2 y；（ 3） n 2m2；（3） x 2x 2 .20 xy 3mnx 2x 6題型三：分式的混合運算【例 3】計算：（ 1）a 2b3c2)2bc 4；（ 2）3a 3)3(x22) (y x2；()()(yy)cabaxy x（ 3） m 2nn2m ；（ 4） a 21a1 ；nmm nnma（ 5）112x4x 38x 71 x 1 x1 x 21 x 41 x 8 ；題型四：化簡求值題【例 4】先化簡后求值（ 1）已知：

6、 x1 ，求分子 184( x 241) (11 ) 的值；x24 x2x（ 2）已知： xyz ，求 xy2yz3xz的值；234x 2y 2z2（ 3）已知： a 23a10 ，試求 (a21)(a1)的值 .a 2a題型五：求待定字母的值【例 5】若 13xMN，試求 M,N 的值.x21x1x 1（四）、整數指數冪與科學記數法題型一：運用整數指數冪計算【例 1】計算：（1） (a 2 ) 3(bc 1 ) 3（ 2） (3x3 y2 z 1) 2(5xy 2 z3 ) 2（ 3） ( a b) 3 ( a b)5 2（ 4） ( x y)3 ( x y) 2 2 (x y) 6(a b

7、) 2 ( ab)4題型二：化簡求值題【例 2】已知 xx 15 ，求（ 1） x2x 2的值；（ 2）求 x4x 4 的值 .題型三：科學記數法的計算【例 3】計算：（1） (3 10 3 ) (8.2 102 ) 2；（2） (4 10 3)2(2 10 2)3.第二講分式方程【知識要點】 1. 分式方程的概念以及解法;分式方程產生增根的原因分式方程的應用題【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知數;2.解分式方程的關健是化分式方程為整式方程; 方程兩邊同乘以最簡公分母.解分式方程的應用題關健是準確地找出等量關系, 恰當地設末知數 .（一）分式方程題型分析題型一：用常規方法解分

8、式方程【例 1】解下列分式方程（ 1）13 ；（2）210 ；（3） x1x241 ；（ 4） 5 x x5x 1 xx 3 xx11x 3 4x提示易出錯的幾個問題：分子不添括號；漏乘整數項；約去相同因式至使漏根；忘記驗根 .題型二：特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程（ 1）x4 x 44 ；（ 2） x7x9x 10 x 6x 1xx6x8x 9x 5提示：（ 1）換元法，設xy ；（ 2）裂項法， x711.x1x6x6【例 3】解下列方程組111xy2(1)111yz3111zx4(2)(3)題型三：求待定字母的值【例 4】若關于 x 的分式方程x21m 有增根，求 m 的值 .3x3【例 5】若分式方程2 xa1的解是正數，求a 的取值范圍 .x2提示： x2a0且 x2 ，a2 且 a4 .3題型四：解含有字母系數的方程【例 6】解關于x 的方程xacbxd( cd0)提示：（ 1） a, b,c, d 是已知數；（ 2） cd0 .題型五：列分式方程解應用題練習：1解下列方程：（ 1） x 12x0 ；（2）x24 ；x 1 12 xx3x3（ 3） 2x32 ；（4）7317x 22x x x2x21x 2 x 2x2如果