1、6.4.3 余弦定理一、情景引入 千島湖位于我國浙江省淳安縣鎮內，因湖內有星羅棋布的一千多個島嶼而得名，現有三個島嶼A,B,C,島嶼A與B之間的距離因A,B之間有另一小島而無法直接測量，但可測得AC,BC的距離分別為6km和4km且AC,BC的夾角為120,問島嶼A,B間的距離為多少?ABCABC問題1 在ABC中，已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.一、情景引入問題2 在ABC中，已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.我們以任意三角形為例探索如何求出第三邊注意：在直角三角形中我們可以用勾股定理求出第三邊二、概念形成問題 在ABC中，三個角A ，B ， C所對應的邊分別是a ，b ，c，怎樣用a ，b和

2、C表示c cab二、概念形成問題 在ABC中，三個角A ，B ， C所對應的邊分別是a ，b ，c，怎樣用a ，b和C表示c ABCcab分析 如圖，設 ， ， ，那么平方整理得同理可得你能用其他方法證明余弦定理嗎?余弦定理（law of cosines） 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即 二、概念形成 基本概念利用余弦定理，可以從已知的兩邊及其夾角求出三角形的第三條邊二、概念形成問題4 余弦定理的其它證明方法(怎樣用a ，b和C表示c )ABCcab分析建立平面直角坐標系二、概念形成問題5 勾股定理與余弦定理有怎樣的聯系？分析 在銳角ABC中

3、，怎樣用a ，b和C表示c ？問題6 余弦定理的第三種證明方法勾股定理ACcabBD思考對于鈍角ABC，同理可證，同學們課后完成？三、概念深化問題7 余弦定理在形式上有什么特點？問題8 若已知三邊能不能求出三角？分析 1、余弦定理共有四項，每一項都是邊的二次冪； 2、余弦定理中反映了四個數量間的關系三、概念深化 基本概念余弦定理的推論 ，將余弦定理公式作變形得：可以看出，三角函數把幾何中關于三角形的定性結論變成了可定量計算的公式題型一、已知兩邊及一角(夾角)解四、典例分析ABC解： 千島湖位于我國浙江省淳安縣鎮內，因湖內有星羅棋布的一千多個島嶼而得名，現有三個島嶼A,B,C,島嶼A與B之間的距

4、離因A,B之間有另一小島而無法直接測量，但可測得AC,BC的距離分別為6km和4km且AC,BC的夾角為120,問島嶼A,B間的距離為多少?引例.在ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o，解該三角形（角度精確到1，邊長精確到1cm）.題型一、已知兩邊及一角(夾角)解例1.解：a=b+c-2bccosA =60+34-26034cos41o1676.82， a41(cm)，利用計算器，可得 C33，B=180o-(A+C) 180o-(41o+33o)=106由余弦定理的推論，得 已知在ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.題型二、已知兩邊及一角(對角)解例.解：由余弦定理得 b=c+a2cacosB， 所以 7=c+82c8cos60 o ，整理得 c8c+15=0，解得 c=3或c=5.思考為什么此時有兩解，其中是否蘊含某一規律，還有其他方法嗎？請同學們課后思考完成？已知ABC的三條邊長的比為1：2： ，求該三角形的最大內角.題型三、已知三邊解例.解：依題意可設該三角形三條邊分別為則角C為最大內角，C=120o.又0oC180o ，五、課堂小結余弦定理及