1、 .精心整理初三數學因式分解培優專題（一）一、用提公因式法把多項式進行因式分解【知識精讀】如果多項式的各項有公因式，根據乘法分配律的逆運算，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是：（1）當多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。（2）系數和各項系數的最大公約數，公因式可以是數、單項式，也可以是多項式。下面我們通過例題進一步學習用提公因式法因式分解【分類解析】1.把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多項式的第一項系數是負數，一般要提出“”號，使括號內的第一項系數是正數

2、，在提出“”號后，多項式的各項都要變號。解：（2）有時將因式經過符號變換或將字母重新排列后可化為公因式，如：當n為自然數時，是在因式分解過程中常用的因式變換。解：2.利用提公因式法簡化計算過程例：計算分析：算式中每一項都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結果。解：3.在多項式恒等變形中的應用例：不解方程組，求代數式的值。分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數式，發現每一項都含有，利用提公因式法把代數式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結果。解：4.在代數證明題中的應用例：證明：對于任意自然數n，一定是10的倍數。分析：首先利用因式分解把代數式恒等變形，

3、接著只需證明每一項都是10的倍數即可。解：5、中考點撥：例1。因式分解解：說明：因式分解時，應先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉換得到。例2分解因式：解：說明：在用提公因式法分解因式前，必須對原式進行變形得到公因式，同時一定要注意符號，提取公因式后，剩下的因式應注意化簡。舉一反三：1、分解因式：（1）（2）（n為正整數）（3）2.計算：的結果是（）A.B.C.D.3.已知x、y都是正整數，且，求x、y。4.證明：能被45整除。二、運用公式法進行因式分解【知識精讀】把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式補充：歐拉公式：特別地：（1

4、）當時，有（2）當時，歐拉公式變為兩數立方和公式。運用公式法分解因式的關鍵是要弄清各個公式的形式和特點，熟練地掌握公式。但有時需要經過適當的組合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運用它，對今后的學習很有幫助。下面我們就來學習用公式法進行因式分解【分類解析】1.把分解因式的結果是（）A.B.C.D.分析：。再利用平方差公式進行分解，最后得到，故選擇B。說明：解這類題目時，一般先觀察現有項的特征，通過添加項湊成符合公式的形式。同時要注意分解一定要徹底。2.在簡便計算、求代數式的值、解方程、判斷多項式的

5、整除等方面的應用例：已知多項式有一個因式是，求的值。分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運算，可假設另一個因式，再用待定系數法即可求出的值。解：3.在幾何題中的應用。例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。分析：因為題中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉成。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。解：4.在代數證明題中應用例：兩個連續奇數的平方差一定是8的倍數。分析：先根據已知條件把奇數表示出來，然后進行變形和討論。解：5、中考點撥：例1：因式分解：_。說明：因式分解時，先看有沒有公因式。此題應先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。例2：分解因式：_。說明：先提取公

6、因式，再用完全平方公式分解徹底。題型展示：例1.已知：，求的值。解：說明：本題屬于條件求值問題，解題時沒有把條件直接代入代數式求值，而是把代數式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡化計算過程。例2.已知，求證：證明：說明：利用補充公式確定的值，命題得證。例3.若，求的值。解：說明：按常規需求出的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡化計算過程。舉一反三：1.分解因式：（1）（2）（3）2.已知：，求的值。3.若是三角形的三條邊，求證：4.已知：，求的值。5.已知是不全相等的實數，且，試求（1）的值；（2）的值。因式分解練習題1、若是完全平方式，則m=_。2、3、已知則4、若是完全平方式M=_。，5、若是完全平方式，則k=_。6、若的值為0，則的值是_。7、若則=_。8、若則_。9、方程，的解是_。二、選擇題：（10分）1、多項式的公因式是（）A、a、B、C、D、2、若，則m，k的值分別是（）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、Dm=4，k=12、3、下列名式中能用平方差公式分解因式的有（）A、1個，B、2個，C、3個，D、4個4、計算的值是（）A、B、三、分解因式：（30分）1、2、3、4、5、6、7、3