1、.PAGE . 學校代碼：學生*：052094110師學院 畢業論文設計交通問題中的數學模型的分類與研究Classification and mathematical model of the traffic problems in the姓 名： 榮 鶴 指導教師： 春 沅 教 授學科專業：信息與計算科學所在單位： 數 學 學 院 2013年6月目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc263512072摘要： PAGEREF _Toc263512072 h 1HYPERLINK l _Toc263512073關鍵詞： PAGEREF _Toc263512073

2、 h 1HYPERLINK l _Toc263512074引言 PAGEREF _Toc263512074 h 1HYPERLINK l _Toc263512075一、交通問題中數學模型的分類 PAGEREF _Toc263512075 h 1HYPERLINK l _Toc2635120761、數學微分模型 PAGEREF _Toc263512076 h 1HYPERLINK l _Toc2635120771.1交通流的根本函數： PAGEREF _Toc263512077 h 2HYPERLINK l _Toc2635120791.2連續交通流3HYPERLINK l _Toc263512

3、0801.3應用圍4HYPERLINK l _Toc2635120811.4模型優缺點4HYPERLINK l _Toc2635120822、動力學模型4HYPERLINK l _Toc2635120842.1交通流的流體力學模型4HYPERLINK l _Toc2635120852.2交通流的氣體動力論模型5HYPERLINK l _Toc2635120872.3元胞自動機模型6HYPERLINK l _Toc263512088二、基于元胞自動機理論模型及其模擬研究8HYPERLINK l _Toc2635120891、交通流元胞自動機模型概述8HYPERLINK l _Toc2635120

4、901.1 一維交通流元胞自動機模型8HYPERLINK l _Toc2635120921.2 FI模型9HYPERLINK l _Toc2635120932、交通流元胞自動機模擬8HYPERLINK l _Toc2635120942.1元胞參數定義10HYPERLINK l _Toc2635120952.2 元胞自動機規則11HYPERLINK l _Toc2635120972.4 結果分析12HYPERLINK l _Toc2635120982.5 結論13HYPERLINK l _Toc263512099三、小結14HYPERLINK l _Toc263512100四、參考文獻14. 交

5、通問題中的數學模型的分類與研究摘要：本課題對以往交通問題中的數學模型進展分類總結，然后著重分析每種方法比方動力學模型等模型的使用圍以及相應的缺陷，并且在各種方法總結比擬中，挑選動力學模型中元胞自動機模型進展使用，把車輛在路段上運動的變化規律表述為元胞自動機的演變規則，建立基于元胞自動機理論的交通流模擬模型。標定了元胞長度和最大速度等參數，繼而提出反映車輛在路段上自由行駛、跟馳行駛和減速行駛等交通行為的元胞自動機規則。關鍵詞： 交通流 數學模型 分類 元胞自動機引言：隨著我國改革開放的不斷深入，城鄉經濟的進一步繁榮，城市規模的日益擴大，城市交通中的各種機動車輛和非機動車輛數量迅速增加，從而使城市

6、道路更為擁擠和難以管理，交通堵塞和擁擠嚴重、城市公共交通開展較慢，公交工具數量缺乏，構造單一，運營效率和效益低、交通管理設施、技術差，從而導致交通問題屢見不鮮。因此，研究城市交通問題能幫助我們深入分析城市交通系統通需求與交通供應之間的在作用規律，探究新的解決途徑，為城市交通的良好運作與人們平安出行提供必要的理論保證。一、交通問題中數學模型的分類1、數學微分模型微分模型也是研究交通問題的一類重要方法，它以微積分學為根底，把車輛看成連續的質點，建立連續的交通流模型。下面以紅綠燈下的交通流模型為例介紹數學微分模型。各種類型的汽車一輛接著一輛沿著公路*而過，其情景就像湍急的河流中奔騰的流水一樣。在這種

7、情況下，很難分析每輛汽車的運動規律，而是把車輛對看作連續的流體，稱為交通流。研究每一時刻通過公路上每一點的交通流的流量、速度和密度等變量間的關系。1.1交通流的根本函數：研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流。假定不允許超車，公路上也沒有岔道，即汽車不會從其他通道進入或駛出。在公路上選定一個坐標原點，記作。以車流運動方向作為軸的正向，于是公路上任一點用坐標表示。對于每一時刻和每一點，引入3個根本函數：流量時刻單位時間通過點的車輛數；密度時刻點處單位長度的車輛數；速度時刻通過點的車流速度。將交通流視為一維流體場，這些函數可以類比作流體的流量、密度和速度。這里的速度不表示固定的哪一輛汽車的速度

8、。3個根本函數之間存在著密切關系。首先可以知道，單位時間通過的車輛數等于單位長度的車輛數與車流速度的乘積，即1其次，車流速度 總是隨著車流密度的增加而減小的。當一輛汽車前面沒有車輛時，它將以最大速度行駛，可以描述為 時 最大值；當車隊首尾相接造成堵塞時，車輛無法前進，可記為最大值時。如果簡化假設是的線性函數，則有：2再由可得：3說明流量隨車輛密度的增加先增后減，在處到達最大值。流量與密度的關系其中2，3式是在平衡狀態下，和之間的關系，即假定所有車輛的速度一樣，公路上各處的車流密度一樣。方程6的特征線1.2連續交通流方程當密度函數出現連續時，是具有實際意義的也是常見的一種情況。一連串的連續點在平

9、面上構成一條孤立的、連續的連續線，記作并假定它是可微的。在任意時刻，在軸上是孤立的，取區間，使。在交通流方程的積分形式4仍然成立。將分為兩個區間和，在每個區間是連續、可微的，于是有：其中和分別表大于示從小于和一側趨向時的極限值。在這種趨向下和的極限值記作：和在連續點處的跳越值記作：如下圖：當時11式中的=0，=0。利用12，13式的記號立即得到或者記作：在處連續這就是連續線應滿足的方程，其中和可以用連續交通流方程得到的和在連續點處取極限值算出。1.3應用圍：該模型適用于研究一維單車道交通流，即研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流，并且前提條件是不允許超車，公路上沒有岔道，汽車不會從其他通

10、道進入或駛出。1.4模型優缺點：該模型按照守恒關系建立微分交通流模型，利用特征線求解，能夠合理的解釋很多交通流中出現的現象。同時，該模型利用連續線的研究方法，能夠很好的研究解決紅綠燈信號以及類似于紅綠燈信號模型出現的情況。2、動力學模型動力學模型是研究現代交通問題的主要方法之一，它主要是以元胞自動機CA為動態模型，建立一種適合普遍的交通問題的數學建模方法。交通問題中的研究對象如車輛和人都是不連續的，車流運動也有很大的隨機性和不確定性，用非線性的離散模型來刻劃交通現象，這在交通研究的方法上是一個創新。模擬的根本思想是將路面格子化，每個格子視為有獨立思維的小元胞，假設干個小元胞對應一輛或幾輛小汽車

11、，把車輛在路面上的運動看成是格子場的演變，元胞可以像小汽車一樣通過觀察周圍環境的變化來決定下一步的運動狀態，凡車輛應遵守的交通規則都表述為元胞的演變規則，車輛行駛的加速、減速、慣性、跟馳等均可以通過元胞的速度變化規則來詳細刻劃，從而把交通流的變化規律轉化為元胞的演變規則加以研究。2.1交通流的流體力學模型交通流的流體力學模型將交通流視為由大量車輛組成的可壓縮連續流體介質，力圖以車輛的平均密度，平均速度，交通流量等宏觀量來刻畫車輛的平均合作行為。流體力學模型在推動交通流理論的開展過程匯總，起著非常重要的作用，其中重要的模型有LWR模型、Payne模型等。LWR模型描述了交通激波現象，也就是交通過

12、程只能給形成的車輛密度的不連續性和由此行程的交通阻塞，以及交通阻塞的消散過程。但是，LWR模型假設了速度、密度之間始終滿則平衡關系，因此該模型不適用于描述本質上處于非平衡態的交通現象，例如存在車輛上下、下砸到的交通，時停時走的幽靈式交通阻塞，交通遲滯等。延續LWR模型的思想，并考慮交通流速度動態變化，在引用連續性方程的同時，引進動力學方程，Payne建立了如下兩個方程構成的高階連續模型Payne模型： 1 22式的右邊第一項為期望項，為期望指數，反映駕駛員對前方交通狀態改變的反響過程；第二項式馳豫項，描述車輛速度在弛豫時間向平衡速度的調整；最優速度函數和其他參數一般通過對所考察的道路實測和參數

13、辨識來確定。模型優缺點：Payne模型允許速度偏離平衡速度密度關系，較之LWR模型能更準確地描述實際車流，即可描述諸如交通激波形成以及阻塞消散，又能夠分析任意小擾動引起的交通失穩、交通遲滯、時停時走的交通形成現象等等。2.2交通流的氣體動力論模型著名的物理學家Prigogine和著名的交通流專家Herman在研究交通流時認為不能忽略車輛的個體行為對交通流的影響，個體行為不同會帶來不同的集體運動行為。如果把每一輛車用一個粒子來表示，則交通流就被視為由許多相互作用的粒子構成的氣體。借鑒于氣體運動的統計物理描述方法，引入粒子分布函數，建立類似的Boltzmann方程。通過對Boltzmann方程逐級

14、求解，就可以得到宏觀交通流的連續模型。最初的Prigogine-Herman模型得到的很多交通性質與實測結果不相吻合，因此，在此模型的根底上，先后提出了許多改良模型，其中Helbing模型最為成功。Helbing在考慮了車輛的加速和相互作用機制后，將描述車輛運動狀態的粒子分布函數所遵守的Boltzmann方程改寫為其中，是兩輛車輛的速度，是車輛的期望速度，為擴散函數，為超車概率，是與密度有關的因子。是車輛之間的作用函數。通過對上式方程求矩得到：其中，是交通壓力，定義為：是速度方差，是車輛在馳騁時間趨近的動態平衡速度。與其他模型相比，Helbing模型動態平衡速度與平安距離之間相互點的密度和速度

15、有關，表示為：模型優缺點：Helbing模型的數值模擬說明該模型能夠描述由匝道引起的各種交通狀態和交通相變，不僅能準確地解釋幽靈式的交通阻塞，而且還能解釋時停時走交通引起的堆集形成以及同步交通等非線性動態現象。模型應用：以Helbing模型為根底研制的交通軟件包MAS-TER具有計算速度快、魯棒性強的特點，可以實時仿真幾千里長的高速公路交通。2.3元胞自動機模型傳統的交通流模型如流體力學模型、氣體動力學模型、跟馳模型等在理論研究和實際應用中發揮了重要作用。然而由于交通流在時間、空間上具有高度的隨機性、動態性和復雜性，交通系統表現出豐富的非線性特征。實證研究說明，交通流存在三相：自由流(free

16、 flow)、大圍移動阻塞(wide movingjams)和同步流(synchronized flow)，還有一些異常現象，如亞穩態(meta-stable states)、滯回效應(hysteresiseffect)、排隊消散(platoon dispersion)等，傳統模型對此難以解釋。另一方面，真實交通系統一般路網規模巨大，道路使用者眾多，傳統的微觀仿真方法面臨著計算資源約束，要求有構造簡單、計算迅速的交通流模型。目前基于元胞自動機(Cellular Automata，CA)的交通流模型取得了很大進展。CA是研究系統復雜性的重要工具，在很多領域得到廣泛應用，Cremer等最早用CA思

17、想對交通流進展了研究。雖然CA模型微觀上的規則簡單、不太真實，但從統計物理的角度看，可以再現系統的宏觀特性，一般其看作最小化的系統，用來提醒系統的本質規律。另外，CA時間、空間、狀態變量均離散，元胞狀態并行局部更新，適合計算機模擬，能夠實現大規模路網的快速計算。交通流元胞自動機模型的出現和開展為交通流理論研究提供了一種新的方向。交通流元胞自動機(Cellular Automata，簡稱CA)是一時間和空間都離散的動力系統。散布在規則格網中的每一元胞取有限的離散狀態，遵循同樣的作用規則，依據確定的局部規則作同步更新。1元胞自動機定義 元胞自動機的嚴格定義為： A、規整的元胞網格覆蓋d維空間的一局

18、部； B、歸屬于網格的每個格位r的一組布爾變量。給出每個元胞在時間的局部狀態； C：演化規則按以下方式指定狀態的時間演化過程：，式中指定附屬于元胞的給定鄰居元胞。從定義中可知，演化規則R對所有格位都是同一的，且同時應用于他們中的每個元胞，由此得到同步動力學。同時，時間的狀態只隨時間t的狀態而變化，這就要求對狀態進展長期記憶，并引入對時間等的狀態的相依性。2元胞的鄰居在元胞自動機中，每個元胞下一時刻的狀態都取決于其本身的狀態和元胞鄰居的狀態。在網格上，每個元胞的鄰居的大小是一樣的。最簡單的情況即一維網格，鄰居由元胞本身加上它的臨近元胞構成；在二維網格中，有幾種可能性：除元胞本身外，東、南、西、北

19、四個近鄰元胞，或是上面的五個元胞和東北、東南、西南、西北四個對角線元胞(Mare鄰居)。推算可知，當元胞空間維數增加時，一個元胞的直接鄰居數目是成指數增長，描述了兩種鄰居的例子：兩種常見的二維元胞自動機鄰居3邊界條件 可以想見，一個無限網格的系統的演化是不可能進展模擬處理的。也就是說，元胞自動機系統必須是有限的，有邊界的。目前常用的邊界是由擴展鄰居的方法獲得的，有四種情況如下：ba周期邊界b1a固定邊界aa絕熱邊界ba映射邊界b4規則每個元寶在確定的時間有兩種可能的狀態，即或1代表元胞，則時間的狀態只決定于時間的三元組：。由此三元組合可以計算出元胞自動機規則由256種。二、基于元胞自動機理論模

20、型及其模擬研究1、交通流元胞自動機模型概述 隨著我國經濟的飛速開展，私家車和城市汽車保有量迅猛增長，城市交通擁堵現象日益嚴重，從而引起了人們的極大關注。如何描述城市交通的規律，充分利用交通資源，以科學理論指導交通系統的開展和改善，己迫在眉睫。在交通工程領域，描述交通特性的方法主要有概率論方法、交通流體動力學、車輛跟馳理論和元胞自動機模型等。交通流元胞自動機模型是20世紀90年代發展起來的交通流新動力學方法。 交通流元胞自動機由元胞、元胞的狀態空間、鄰居及局部規則四局部組成。 1元胞和元胞空間 元胞又可稱為基元，是元胞自動機的最根本的組成局部，分布在離散的一維或二維空間的格點上； 2狀態 取值于

21、一個有限的離散集，交通流元胞自動機的元胞只能有一個狀態變量； 3鄰居 在給出規則之前，必須定義一定的鄰居規則，明確哪些元胞屬于該元胞的鄰居； 4規則 根據元胞當前狀態以及鄰居狀況確定下一時刻該元胞狀態的函數，也稱為狀態轉移函數。交通流元胞自動機是由分布在規則網格中的每一個元胞取有限的離散狀態，遵循確定的規則做出同步更新，即大量元胞通過簡單的局部相互作用而構成的動力系統。 不同于一般的動力學模型，交通流元胞自動機不是由嚴格的物理方程確定，而是通過構造一系列模型的規則來實現的，這恰恰增強了其表達復雜關系的能力，為其在復雜的交通流領域的應用奠定了根底。1.1一維交通流元胞自動機模型 最早的一維交通流

22、元胞自動機模型采用一維格點鏈上的粒子來模擬公路上的車輛。所有的車輛的行進方向都一樣。在每一個時步，假設*車前方是空的，則它可以向前行進一步。否則它就在原地不動，即使前方的車輛在此時步中離開。整個系統采用周期邊界條件以保持車輛數守恒。圖3-3為兩次時步演化圖。一維交通流元胞自動機模型忽略了十字路口，交通燈和穿插口方向上車輛的影響，強調了同一路段上同方向車輛的相互作用。這種模型適合與模擬高速公路或城市交通環線上的交通流。常用的一維元胞自動機模型為NS和FI模型及其以兩種模型為根底的改良模型。1.12 FI模型FI模型是由日本學者Fukui和Ishibashi提出的。在FI模型中，演化規則：1如果車

23、輛與前車的間距大于車輛的最大速度，車輛將以最大速度前進；即時，；2如果車輛與前車的間距小于車輛的最大速度，則車輛的前進速度等于。 即時，；3根據隨機減速規則，表示第輛車的行駛速度，當車輛能夠以最大速度前進時，它將以概率從減速為。即時， 。 其中；模型優缺點：FI模型與NS模型的區別在于加速方式和隨機減速方式不同。在NS模型中，如果車速小于最大速度，車輛在下一時刻的速度最多只能到達；而在FI模型中，只要車速小于最大速度，則車輛就可能加速到 (考慮隨機規則)；在NS模型中，所有車輛都可能隨機減速，而在FI模型中，只有以最大速度行駛的車輛才能減速。2、交通流元胞自動機模擬2.1元胞參數定義2.11元

24、胞長度在CA模型中，首先定義一個一維點陣來代表一條單車道，即將所研究的單車道分成n個長度為L的小路段(元胞)，該點陣中每個位置或空閑或容納一輛車。其中，定義元胞長度L是阻塞時的平均車頭間距。更新的時間步長一般可以認為是駕駛員的反響時間，一般取。這樣在CA模型中，位移、速度、時間都取整數，具有離散性。每個位置的狀態有7種，分別是：位置空閑和該位置處車輛速度分別為0，1，2，3，4，5元胞長度/秒。這樣定義的元胞長度的缺乏是：由于元胞長度取值偏大，導致車輛運動的加速度過大，這樣，車輛在加速時總是以最大加速度加速，而在減速時，又以最大減速度減速。通過縮小元胞長度能夠獲得較小的加速度值。考慮到城市道路

25、上車輛阻塞密度一般為120125，將元胞長度取為平均車頭間距的1/4(假設=125，則平均車頭間距為8)，對城市道路來說一個元胞長度即為2。于是路段上每4個連續的元胞容納一輛車，在*一時刻，這4個連續的元胞具有一樣的狀態，即所容納車輛的速度一樣。2.12最大速度本模型中的最大速度并不是指車輛所能到達的最大設計車速。在城市道路上，出于平安考慮，都規定了車輛的最大行駛速度，我國城市道路的限速是 ()。為了減少過程中的問題，本文僅取最大速度為。由于每個元胞長度為，因此在元胞自動機模型中最大速度將為2.5元胞長度/秒，車速圍為。2.13更新時間間隔更新時間間隔取為。2.14邊界條件CA模型采用的邊界條

26、件是封閉的道路系統，換句話說道路系統是一個閉環，即一輛車從路段出口離開，馬上從入口進入另一路段。這樣可簡單地將所研究路段上的車輛數控制在指定的數量上，來研究*一密度下的交通狀況。該模型可以保證所研究路段的車流模擬穩定性，對單車型交通流的研究效果較好，但對于車輛組成復雜的道路系統，它會造成真實道路系統中車輛類型比例與期望值的較大差異。2.2元胞自動機規則在規則中使用的變量符號定義如下。把一列正在行駛的車輛從小到大排序，第n輛車記為本車，第n-1輛為前車。再假設在1s車輛的速度是勻速的，而且時間t的取值為整數秒。記：時刻本車的位置(元胞長度)；：時刻本車的速度(元胞長度/秒)；：時刻本車的加速度(

27、元胞長度/秒2)；：時刻前車的位置(元胞長度)；：時刻前車的速度(元胞長度/秒)；：時刻，本車車頭與前車車尾之間的間隔(元胞長度)，即。為方便起見，本車在時段行駛的距離記為秒=，速度變化記為秒=。道路上所有車輛的狀態同時按下述的元胞自動機規則變化。(1)加速規則在時刻，假設，則車輛加速行駛。其中：如果，則；如果，則；如果，則。(2)減速規則在時刻，假設，則車輛減速行駛。其中：如果，則；如果，則。(3)修正規則在時刻，本車的加速度是，設前車的加速度是最大減速度(-4)，則在時刻：如果，則本車的加速度依然取；如果，則本車的加速度取(但不小于-4)，再重新計算和，一直到為止。此時得到的即為修正后本車

28、在時刻的實際加速度值。(4)隨機規則在概率下，經過修正規則修正的車輛繼續減速，其減速增量為，且使修正后的加速度加上不小于最大減速度。(5)前進規則；車輛按元胞自動機規則運動的程序框圖按照元胞自動機規則確定的路段上所有車輛運動狀態的程序框圖如下圖。2.3 結果分析比照圖1中沒有添加紅綠燈車輛位置時空演化圖可以發現，時車輛位置分布比擬均勻，車流速度較大，車輛位置與時間具有較好的線性關系，交通流處于稀薄狀態；而隨著密度的增大到時，交通流逐漸由稀薄流向稠密流轉變，車頭間距越來越小，車輛速度迅速減小，道路通行能力隨之下降，這時車輛已經不太可能自由運動，有些區域出現了車輛停滯的堵塞相，呈現了高速公路實際交

29、通流中觀察到的啟動-停車波動現象，車輛位置與時間關系為非線性關系，車流也進入了時停時走的狀態，從而導致了交通流量的下降，與實際情況根本相符。比照圖2中添加紅綠燈車輛位置-時空演化圖發現，當密度較小時，紅綠燈左右側車輛分布均勻，有較好的線性關系，并且較之圖1可以發現，當經過紅綠燈后車流分布更加趨于線性關系，車流無任何交通阻塞，極大的改善了交通擁擠現象。同時，當車流密度逐漸增大后，盡管有紅燈20s對車速的限制，從時空圖觀察發現，車輛位置并沒有因此而明顯改善，并且較之圖1中時空斑圖可以發現，當車流密度較大時，即使在中間位置設置紅綠燈，對交通改善效果也不是十清楚顯。比照圖3中車流密度與車速的演示圖可以

30、發現，在同等條件下，車流密度逐漸增大，車輛速度就逐漸減小，但并不是簡單的線性變化，從圖中可以發現明顯的拐點，并且在添加紅綠燈的情形下，這個拐點會提早出現本模型中無紅綠燈時在時出現，有紅綠燈時在時出現，這也就解釋了安裝紅綠燈后會迫使汽車提前減速，為減少交通平安事故提供的保障。比照圖4車流量-密度關系圖可以發現，在正常交通行為前提下，車流量會在*一密度下出現峰值(本模型為與時出現，也就是車流量可以到達一個最大值，當密度繼續增大后，出現局部阻塞現象，車流量逐漸減小,直至趨近于0，并且從圖中知道，當沒有添加紅綠燈時，當密度時便出現，當密度繼續增大便發生交通局部堵塞，交通流急劇下降，嚴重干擾正常的城市交

31、通行為，而添加紅綠燈后，交通流峰值在左右出現，在一定程度上減緩了交通阻塞的出現，為城市正常的交通行為提供了有利條件。2.4結論 本小節在基于元胞自動機NS模型下，采用周期邊界條件，模擬在道路上適當位置添加紅綠燈的城市道路交通流。模擬結果顯示，在同等交通承載能力下，選擇適當位置添加紅綠燈將對交通流產生較大影響，能在一定程度上限制交通事故的發生，提高城市道路交通行為能力。三、小結交通問題在數學模型中的分類多種多樣，在現實中的應用也十分廣泛。不僅有傳統的數學微分非線性模型，經典的概率統計模型、車輛跟馳模型、流體動力學模型、車輛排隊模型，也有現階段 不斷在研究上實現突破的元胞自動機模型。盡管目前對細胞

32、自動機模型的研究尚處于理論研究階段，要使該理論走出實驗室和研究部門進入實踐領域，需要不斷地改良它的規則，標定其中的參數，使之更加接近實際交通情況，雖然這尚需一段時間，但是由于該模型具有規則簡單、計算速度快等優點，相信必將具有廣闊的研究前景。四、參考文獻1：王仲軍、王超能. 元胞自動機的演化行為與研究.計算機應用與研究, 20072：賀明鋒、鄧成瑞. 數學的實踐與認識，20083：呂凱. 元胞自動機的研究及模型的建立，20074：金小剛. 基于Matlab的元胞自動機的仿真設計,20025：數學模型 第三版，啟源、金星、葉俊編6：安文.朱曉宏.城市道路交通供應能力研究-應用根底與工程科學學報，20027：春艷.金川.郭繼孚.城市交通模型錦集.城市交通，20088： 杰,熊烈強.交通流理論中幾個概念的重新定義.交通與計算機,20059：牟勇飚、 蕓.元胞自動機交通流模型中減速概率的影響，交通與計算機 200610：靳文舟,杰,英力.細胞自動機理論的交通流模擬模型.華南理工大學報,200111：慕仁、薛郁氣、孔令江.城市道路交通問題與交通流模型.力學與實踐,200512：春艷、金川、郭繼孚.四層次綜合交通模型體系.城市交通模型錦集，200813：英力、翟潤平、馬社強.交通流元胞自動