1、2022年-2023年最新一、填空題(每題3分，共15分).設事件A3僅發生一個的概率為0.3,且P(A) + P仍)=0.5,那么至少有一個不發生的概率為.答案：0.3解：_ _P(AB + AB)=Q.3即0.3 = P(AR + P(AB) = P(A) - P(AB) + P(B) - P(AB) = 0.5-2P(AB)所以P(AB) =0.1P(A B) = P(AB) = 1 - P(AB) = 0.9.設隨機變量X服從泊松分布，且P(X 1) = 4P(X =2),那么P(X=3)=g.答案： e-i6解答：九2P(X 1) = P(X =0) + P(X =1) = 6-九

2、+貓-3 P( x=2) = e-由 P(X 1) = 4P(X = 2) 知 e-九 + 九e-九=226-大即 2九2九一1=0 解得九=1,故1p(X=3)=_e-i63.設隨機變量X在區間(0,2)上服從均勻分布，那么隨機變量Y = X 2在區間(0,4)內的概率,0y4,f (y) = F，(j)=YY密度為分3=口 答案：解答：設丫的分布函數為/y), x的分布函數為仆(月，密度為人(九)那么5(y) = P(Yy) = P(X2 y) = P(-x 0, P(B) 0, P(B)=尸(A),那么 P(BA) = (2)設隨機變量X的分布函數為/3 =11 - (1 + x)er

3、,x 0.那么X的密度函數/(x)=, P(X2)= (3)設是總體分布中參數e的無偏估計量,S=cA -m+30； 123123當二衛時，0人也0是的無偏估計量.(4)設總體x和丫相互獨立，且都服從n(oj), x,x, 12X是來自總體X的 9樣本，丫：，丫是來自總體丫的樣本，那么統計量 129X + + XU = 19Jy+TyY 19服從分布(要求給出自由度)。102022年-2023年最新二、填空題(每空3分共15分) xe-x x oL P(B) 2. /(x)=,3e2 3. -1 4.9) TOC o 1-5 h z 0 x 1 = 1 - px= o4 分= 1-Co(O.7

4、)o(1-0.7)4=0.99196 分4五(6分)設隨機變量X的概率密度為x,I。， 其它求隨機變量Y=2X+1的概率密度。解：因為y = 2x + l是單調可導的，故可用公式法計算 1分當X20時，y12分由 y = 2x + l,得 x = y T y =J_4 分2/()y i22從而y的密度函數為/(y)=5分r 0yi丁 0, 0,/（% M = ,0,其他.求（1）尸（o4xi,oy42）；（2）求x的邊緣密度。 TOC o 1-5 h z 解:（1） P（0 X 1,0 7 0 - e-y解：因為 X e（_）得 /（x） =，4 4 * * * 4I 0 x。8 分- 0 x

5、10100=1-px10100=1-px10100）3 分 =1-X-1000 x10 10100-1000 x1011000X1000 x1-0(10100-1000 x10I uu000 Xd喘）（7分）設工產，x是取自總體X的一組樣本值, 12f(0 +1)x0, 0 % 1,/(x)=日”10,其他，其中。0未知，求e的最大似然估計。 解：最大似然函數為L(x , ,x ,0) =H f(x ) = H(0 +1)x01n/if=1z=1=（0+1）儲，葉）9In L(x , x,0) = nln(0 +1) + 0 ln(x , x)1n1n0 x , X /vn1分2分依題意 ct

6、 = 0.05, U = 1.96, n 00, o =1,a2那么目的置信水平為95%的置信區間為即為x-UL2O,Jc+U赤a4.801,5.1994分5分172022年-2023年最新概率論與數理統計課程期末考試試題(B)專業、班級：姓名：學號：題號IT二三四五六七八九十十一 十二總成房得分-、單項選擇題(每題3分共15分)(D假設事件A、3適合P(AB) = O,那么以下說法正確的選項是().(A) A與5互斥(互不相容)；(B)尸(A) = O或尸=0;(C) A與3同時出現是不可能事件；(D)尸(A)0,那么 P(5|A) = 0.(2)離散型隨機變量X的分布律為PX=k=bXk,

7、伏= 1,2,)的充分必要條件是().0?1 0.0 x11 x0 且 Ov 九 v1;(C)人= 11 且九V 1 ； 九(B)(D)(3)連續隨機變量X的概率密度為。二1 九且x =且1+Z?x,2- x,0,那么隨機變量X落在區間(0.4, 1.2)內的概率為().(A) 0.64;(B)0.6；(C)0.5;(D) 0.42.(4)設隨機變量XN(-3, 1), Y N(2, 1),且X與y相互獨立，令 Z = X-2Y+7 ,貝ij Z ().(A)N(O, 5);(B)N(O, 3);(C)N(O, 46);(D)N(0,54).182022年-2023年最新(5)設(斗,。2)是

8、參數0的置信度為1-。的區間估計，那么以下 結論正確的選項是().(A)參數0落在區間(01502)之內的概率為1-a ;(B)參數0落在區間(肉,。？)之外的概率為(C)區間(01?02)包含參數0的概率為1-a ;(D)對不同的樣本觀測值，區間(耳,。2)的長度相同.二、填空題(每空2分共12分)設總體x與y相互獨立，且都服從正態分布n(o,i).(x, ,xj 是從總體x中抽取的一個樣本，(匕，丫)是從總體y中抽取的 一個樣本，那么統計量.二 %+ +XyIY+ TOC o 1-5 h z v 19服從 分布，參數為.設是總體分布中參數。的無偏估計量。=洲”-用+30； 123123當。

9、=工時，o也e是的無偏估計量.設總體XN(n,1),日是未知參數，X1,X2是樣本，那么2111曰=；X +X 及%+：X1 3 1 3 22 2 1 2 2都是N的無偏估計，但 有效.設樣本(X1，x2,x)抽自總體XN(也0 2).也02均未知.要對日作假設檢驗，統計假設為H 邛=一 o o(日0)，四。自0,那么要用檢驗統計量為，給定顯著水平a,那么檢驗的拒絕區間為.192022年-2023年最新，0 y 4,另解 在(0,2)上函數y = %2嚴格單調，反函數為/z(y)=所以.設隨機變量X,y相互獨立，且均服從參數為 人的指數分布，P(Xl) = e-2,那么 九二口 Pmin(X,

10、y)l=.答案：九=2, Pmin(X,y) 1) = 1 P(X 4 1) = e-入=e-2,故九=2 Pmin(X,y) 1)P(Y 1) =le-4.設總體X的概率密度為 TOC o 1-5 h z J(e+l)xe, 0 xl,J(X)= 00, 其它X ,X , ,X是來自X的樣本，那么未知參數0的極大似然估計量為 12n答案：0 =1-11 2 In x n i i= 解答：似然函數為L(x ,x ;0 ) = (。+1)工。=(+l)(x，x)。1ii/1ni=nL = nln(0 +1)+0 nxii=0=0dnLd。i=解似然方程得。的極大似然估計為2022年-2023年最

11、新三、(7分)產(8)=0.5, P(8) = 0.6,條件概率尸(目4) = 08 試求尸(八8).四、(9分).設隨機變量X的分布函數為F(x) = A+ Barctan x, -oo x +oo, 求：(1)常數A, 8； (2) F(|X| 0其它求隨機變量的函數的密度函數上八、（6分）現有一批鋼材，其中80%的長度不小于3 m,現從鋼材中隨機取出100根，試用中心極限定理求小于3 m的鋼材不超過30的概率。（計算結果 用標準正態分布函數值表示）222022年-2023年最新九、（10分）設二維隨機變量（x,y）的聯合密度函數為o,其他.求（1）p（oxi,oy2）；（2）求x,y的邊

12、緣密度；（3）判斷x與丫是否相互獨立232022年-2023年最新十、（8分）.設隨機變量（X1）的聯合密度函數為0,0 y 1, 其他求E（X）, （y）, E（xy）,進一步判別X與y是否不相關。242022年-2023年最新卜一、（7分）.設X ,X , ,X是來自總體X的一個簡單隨機樣本，總體X的密度函數 12n為三，0 x05羽。）=.20, 其他，求。的矩估計量。十二、（5分）總體X NM ,1）測得樣本容量為100的樣本均值X=5 ,求X的數學期望N的置信度等于0.95的置信區間。（605（100） = 1.99,0（1.96） = 0.975）252022年-2023年最新一、

13、單項選擇題：（15分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空題：（12分）1、乙 9 ;2、-13、日更2 TOC o 1-5 h z X - n v 4、 廠，（Xt （-1）X+/（-1）S 7na/2V/2a/2三(7分)解：P(AB) = P(A)P(B | A)4分=0.5x0.8 = 0.47分國(9分) JT解(1)由1 =尸(+8)= A +81分2兀0 二 F(oo)= A B 2分2得A = _, B = _3 分271F(x) = _+ _arctan x4 分2 nP(X) = F(1)-F(-1) = 16分2f(x) = F (a：) = (-oo x +oo)9分

14、71 (1 + 2)五（6分）26解：8= 從倉庫隨機提出的一臺是合格品A =提出的一臺是第/車間生產（，=1,2） ic八2022年-2023年最新 TOC o 1-5 h z 232 分1525門(8區)=1一0.15 = 0.85, P(8|4) = 1 0.12 = 0.883分12那么 P(B) = PAP(BA) + P(A )P(BA)5 分11229Q=Zx0.85+_x0.88=0.8686分55六、（8分）解：設用X表示乙箱中次品件數，那么X的分布律為CoC3 _ 1 尸(x=o)= -= 7 C3 206P(X=2) = CS= 9C3 20 6X的分布函數F(x)為Co

15、C3 _ 1 尸(x=o)= -= 7 C3 206P(X=2) = CS= 9C3 20 6X的分布函數F(x)為p(X=1)=C3C/C36920P(X=3)= C= 1C3 2064分 TOC o 1-5 h z 0 1x 0200 x1F(x)=51 x28分2 x33 xu七、（7分） 解：272022年-2023年最新 TOC o 1-5 h z Y = ex可能取值范圍為1,住），丫的分布函數為q（y） = P（y y） = P（exy）3分當 yl時，,（y）=O當 yNl 時,F （y）=P（Xie-ny. y 1八y 6分0y=亍yX7分。J 1八、（6分） 解：設X為10

16、0根鋼材小于3根的鋼材根數那么 X 3( 100,0.2)2分E(X) = 100 x 0.2=20, Z)(X) = 100 x0.2x0.8=163 分由中心極限定理：X20 30-20P(X 30) = P(= =)5分V16V16、(2.5) = 0.99386分九(10分)解：(1) P(0 X 1,0 y 0八八 TOC o 1-5 h z =八 八 6分0 xy一8 0y0（3）因為/()=乙(%)/ W +*-8 y 2)的值為(A) 21(2).(B) 2(2)1.(C) 2-0(2).(D) 1-20(2).()答案：(A)解答：X N(0,l)所以 P(| XI2) =

17、1- P(| X| 2)=1-P(-2 X2) =1-0(2) + 0(-2) = 1-2(D(2)-1= 2l-O(2) 應選(a).3設隨機變量x和y不相關，那么以下結論中正確的選項是(A) X 與丫獨立.(B) D(X-Y) = DX + DY.(C) D(X-Y) = DX-DY.(D) D(XY) = DXDY.()2022年-2023年最新解：因為0=1,所以|1的置信度為0.95=1-0.05的置信區間為(X U , X + K/。/2赤 。/2冊其中a=0.050.025, u =1.96, =100,3 = 592a/2所求區間為(4.804, 5.196)30共8頁第8頁2

18、022年-2023年最新答案：(B)解答：由不相關的等價條件知，Pe=ncov (x, y) =0D(X-Y) =DX+DY+2cov (x, y)應選(B).4設離散型隨機變量x和y的聯合概率分布為(X,y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)69183假設x,y獨立，那么氏 p的值為2(A) a =91(C) a = _, 6(A) a = _,(D) a=_18p=2.182022年-2023年最新口解答:(A)假設x,y獨立那么有a=P(X=2, y=2)=P(X=2)P(Y=2)118P 1 - 9 a1-6 1-3111 Q_ _ +a _+ p

19、 2 918131 Q一+a+ p3112 1=(+a + P)( +a)= ( +a)21， a = _ , P = _99故應選(A).5設總體X的數學期望為(i,X ,X廠，X為來自X的樣本，那么以下結論中12n正確的選項是X是JLL的無偏估計量.(C) x是目的相合(一致)估計量. 1X是JLL的無偏估計量.(C) x是目的相合(一致)估計量. 1是目的極大似然估計量.(D) X不是目的估計量.()1(A)解答：EX =目，所以X是H的無偏估計，應選(A). 11三、(7分)一批產品中90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認為是次品的概率為 0.05, 一個次品被誤認為是合格品的概率為

20、0.02.求(1) 一個產品經檢查后被認為是合格品的概率；(2) 一個經檢查后被認為是合格品的產品確是合格品的概率.解：設人=任取一產品，經檢驗認為是合格品B=任取一產品確是合格品二_那么(1) P(A) = P(B)P(A | B) + P(B)P(A | B)=0.9x0.95+ 0.1 x 0.02 = 0.857.(2) P(B | A) = NAB) _ 0.9x95 = 0.9977 尸(A)0.857四、(12分)從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的, 并且概率都是2/5.設X為途中遇到紅燈的次數，求X的分布列、分布函數、數學期望和方

21、差.2022年-2023年最新解：X的概率分布為/c = 0,1,2,3./c = 0,1,2,3.2 3P(X=/c) = Ck(Hk3 5 5275412512523612538125X的分布函數為0 , 27x 0,蟒R(x)=一, 125117T2551 ,EX=3x2 =R(x)=一, 125117T2551 ,EX=3x2 =1 x 2,2 x 3.密度.55nx-3x2x3-18 DA OX X ,5 5 25五、（10分）設二維隨機變量（X,y）在區域D = （x, y）|x20, yNO, x+yWl上服從 均勻分布.求（1）（x,y）關于x的邊緣概率密度；（2）z = x

22、+ v的分布函數與概率(1)(x,y)的概率密度為(2, (x, y)eDf(x)=o,其它.r /伊-2x, 0 x1幻/(x,y)dy = f 0,其匕（2）利用公式/（z）=z2,其中 f(x, 2 X)=10，z-x)dx-oo0 x1,0z-x1-x (2, 0 x1, xz1.其它一o,其它.z=xX當 z1 時/ (z) =0 Z0z41時f 0 =25=2邛=22z o o2022年-2023年最新故Z的概率密度為2z, 0z1,/ (z) =z 05其它.z的分布函數為I。,z0 fo, TOC o 1-5 h z / (z) =k/ (y)dy=J Z2ydy,oz1=z2,z f zo111,z1 I1 5z0, 0z1 .z0, 0z1 .或利用分布函數法0 ,z0,F(z) = P(ZWz) = P(X+YWz)=9 2dxely, 0z1.X.0,z0,= z2,Oz1./( = )0z1,z Z )0 5 其它.六、(io分)向一目標射擊，目標中心為坐標原點，命中點的橫坐標x和縱坐標丫相 互獨立，且均服從N(0,22)分布.求(1)命中環形區域D = (x,y)|14次+ 9242