1、第二章 邏輯代數基礎本章主要內容：本章介紹分析數字電路邏輯功能的數學方法。主要內容有：本章重點內容：邏輯函數表示邏輯函數化簡邏輯代數的基本公式、常用公式和重要定理邏輯函數及其表示方法邏輯函數的化簡。本章學時安排： 6學時本章習題：2.4、2.7、2.8、2.10、2.12、2.15、2.2212.1 概述在數字電路中，我們要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系（因果關系），所以數字電路又稱邏輯電路。二進制數碼表示不同的邏輯狀態，它們之間按指定的某種因果關系進行推理運算，稱邏輯運算。進行邏輯運算的數學方法是邏輯代數（布爾代數）。在邏輯代數中，邏輯變量只能取兩個值（二值變量），即1和0，這里的1和

2、0不是數量大小的概念，而是預先規定的代表事物的兩種完全相反狀態的符號。若定義一種狀態為1，則另一種狀態就為0。如燈亮用1表示、則燈滅就為0，不考慮燈損壞等。只有兩個對立的邏輯狀態（二值邏輯）。2.2 邏輯代數中的三種基本運算定義為邏輯變量A、B、C、全部為“1”時，邏輯結果Y才能是而且必定是“1”；反之，A、B、C、中任一個為“0”，則Y必定是“0”。一、“與”邏輯意味著：各條件缺一不可邏輯代數的基本運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種，復雜的邏輯運算關系都可以用與、或、非的組合來實現。2.2 邏輯代數中的三種基本運算ABY與邏輯關系的事件如下圖所示的二串聯開關A、B控制一盞燈Y的

3、電路。只有A、B兩開關同時閉合時，指示燈Y才亮。真值表與運算口訣：有0得0，全1才1。設開關閉合為1、斷開為0，燈亮為1、燈滅為0，則邏輯關系可用下面的表格表示。111001010000YBA一、“與”邏輯邏輯代數式記為：Y= ABC或Y =ABC或Y=ABC邏輯與運算又稱邏輯乘運算邏輯符號：ABY&BAY目前國家標準局規定符號國外一些書刊和資料上的符號2.2 邏輯代數中的三種基本運算意味著：滿足任一個條件即可定義為邏輯變量A、B、C、全部為“0”時，邏輯結果Y才能是而且必定是“0”；反之，A、B、C、中任一個為“1”，則Y必定是“1”。二、“或”邏輯2.2 邏輯代數中的三種基本運算真值表或運

4、算口訣：有1得1，全0才0。設開關閉合為1、斷開為0，燈亮為1、燈滅為0，則邏輯關系可用下面的表格表示。111101110000YBA或邏輯關系的事件如下圖所示的二并聯開關A、B控制一盞燈Y的電路。 A、B兩開關只要有任何一個閉合時，指示燈Y就亮。ABY2.2 邏輯代數中的三種基本運算記為：Y= A+B+C+邏輯代數式邏輯或運算又稱邏輯加運算定義為邏輯變量A為“0”時，邏輯結果Y必定是“1”；反之，A為“1”時，則Y必定是“0”。意味著：輸出和輸入相反三、“非”邏輯邏輯符號：目前國家標準局規定符號國外一些書刊和資料上的符號1BAYABY2.2 邏輯代數中的三種基本運算設開關閉合為1、斷開為0，

5、燈亮為1、燈滅為0，則非邏輯關系的真值表如下。0110YA非邏輯關系的事件如下圖所示的由開關A控制燈Y的電路。開關A閉合，燈Y就滅；A斷開，則燈Y亮。 AYR邏輯代數式：讀作“A非”稱邏輯非或邏輯反邏輯符號：AY目前國家標準局規定符號國外一些書刊和資料上的符號1AY2.2 邏輯代數中的三種基本運算四、最常見的幾種復合邏輯關系“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關系，任何其它的邏輯關系都可以用它們的組合來表示。常見的有與非、或非、與或非、異或、同或等。011101110100YBA&BAY目前國家標準局規定符號ABY國外一些書刊和資料上的符號與非：A、B均為1時，則Y 為0；否則Y為1。有0得

6、1全1才0“與非”邏輯2.2 邏輯代數中的三種基本運算“或非”、“異或”邏輯或非：A、B均為0時，則Y為1；否則Y為0。有1得0全0才1011001010100YBA異或：A、B不相同時，則Y 為1；相同時Y為0。1BAY目前國家標準局規定符號ABY國外一些書刊和資料上的符號011101110000YBA目前國家標準局規定符號1BAY國外一些書刊和資料上的符號ABY2.2 邏輯代數中的三種基本運算“同或”、“與或非”邏輯與或非：A、B及C、D之間均為與的關系，只要A、B或C、D任一組同時為1，Y就為0。否則Y為1。同或：A、B相同時，則Y 為1；不相同時Y為0。BAY目前國標符號1110010

7、10100YBA國外流行符號ABY國外流行符號ABCDY目前國標符號&1ABDCY=AB2.3 邏輯代數的基本公式和常用公式從三種基本的邏輯運算關系，我們可以得到以下的基本運算公式（公式14、9、1114）。0 0=00 1=01 0=01 1=1公式1 0 A=0公式2 1 A=A公式3 A A=A公式4 A A=0與運算2.3.1 基本公式（布爾恒等式）非運算公式92.3 邏輯代數的基本公式和常用公式或運算0+0=00+1=11+0=11+1=1公式11 1 +A=1公式12 0+A=A公式13 A +A=A公式14從一些基本的代數規律，我們可以得到基本運算公式5、15、6、16、7、17

8、。交換律公式15 A+B=B+A公式5 A B=B A結合律公式16 A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B公式6 A (B C)=(A B) C2.3 邏輯代數的基本公式和常用公式公式17證明：右邊=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC =A（1+C+B）+BC=A+BC摩根定律公式8公式18可以用列真值表的方法證明：11011000BA001001110011111100000011分配律公式17 A+B C=(A + B) (A+C )公式7 A (B+C)=AB+AC普通代數不適用！2.3.2 若干常用公式（由基本公式導出）2.3 邏輯代數的基本公式和常用公式公式21

9、A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A1=A公式22證明：（公式17）公式23 AB+AB = A 公式24 A（A+B）=A 證明：左邊=AA+AB=A+AB=A（1+B）=A說明：變量A和包含A的和相乘時，其結果等于A，可將和消掉。2.3 邏輯代數的基本公式和常用公式推論：證明：公式251公式26；證明：2.4 邏輯代數的基本定理2.4.1 代入定理證明：摩根定理適用于多變量情況二變量摩根定理為 及以（B+C）代替左邊等式中的B，得以（BC）代替右邊等式中的B，得在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。變量A的取值僅0和1兩種，而任一

10、個邏輯式的取值也僅有0和1兩種。用代入定理容易把基本公式和常用公式推廣為多變量形式。2.4.2 反演定理2.4 邏輯代數的基本定理例1：已知Y=A(B+C)+CD，求Y。解：由反演定律得例2：證明摩根定律是反演定理的特例。設由反演定律得所以注意：遵循與普通代數一樣的運算優先次序“括號、乘、加”。不屬于單個變量的反號應保留不變。對任一個邏輯式Y，若將其中所有的“”換成“”， “”換成“”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結果就是Y。這個規律叫做反演定理。2.4 邏輯代數的基本定理2.4.3 對偶定理若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等，這就是對偶定理。對偶式對任一

11、個邏輯式Y，若將其中的“”換成“”， “”換成“”，0換成1，1換成0，則得到一個新的邏輯式YD，則YD就叫做Y的對偶式。或者說Y和YD互為對偶式。例如則則證明兩個邏輯式相等，可通過證明它們的對偶式相等來完成。因有時證明它們的對偶式相等更容易。例：證明基本公式左邊的對偶式，右邊的對偶式，顯然兩者相等。基本公式中有很多是對偶式，請自行分析。2.5 邏輯函數及其表示方法2.5.1 邏輯函數以邏輯變量作為輸入，以邏輯結果作為輸出，則輸出和輸入之間是函數關系；當輸入變量的取值確定后，輸出的取值也隨之而定。稱為邏輯函數，寫作邏輯變量和函數都僅有0和1兩種取值，二值邏輯函數。任何一件具體的因果關系都可用一

12、個邏輯函數描述。2.5.2 邏輯函數的表示方法常用的表示方法有邏輯真值表、邏輯函數式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖和硬件描述語言等。一、邏輯真值表邏輯真值表簡稱真值表，是將輸入變量所有的取值下對應的輸出值找出來，以表格形式一一對應地列出。2.5 邏輯函數及其表示方法注意：n個輸入變量可以有2n個組合，一般按二進制數由小到大的順序，將輸出與輸入一一對應，列出所有可能的狀態。例：如下圖所示電路，設開關閉合為1、斷開為0；指示燈亮為1、滅為0。則以開關A、B、C為輸入，指示燈Y為輸出，其真值表如右所示。ABCY11111011110100010110001001000000YCBA輸出輸入2.5 邏輯函數

13、及其表示方法二、邏輯函數式邏輯函數式也稱邏輯式或函數式，是把邏輯函數的輸出與輸入之間的邏輯關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式，即邏輯代數式。比如三、邏輯圖把邏輯函數中各變量之間的與、或、非等邏輯關系用圖形符號和連線表示出來。例如2.5 邏輯函數及其表示方法四、波形圖將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。2.5 邏輯函數及其表示方法五、各種表示方法間的轉換從真值表寫出邏輯函數式邏輯真值表11111011110100011110001001000000YCBAY為1的情況有4種，而4種情況中滿足任意一種都可使Y為1 ，故Y應為4種情況邏輯相加，即為或邏輯關系。每種情況中

14、三個變量的取值必須同時滿足，比如當A=0、B=1、C=1時，Y=1，即ABC=1時，Y=1；所以三個變量取值的組合對應一個乘積項，是與邏輯關系。因此，Y為4個乘積項之和。找Y=1的輸入變量取值組合每種取值組合對應一個乘積項，值為1的寫原變量，為0的寫反變量。將各個乘積項相加，得Y。步驟：2.5 邏輯函數及其表示方法從邏輯式列出真值表將輸入變量的所有取值組合逐一代入邏輯式，求出函數值，列成表，即可得到真值表。從邏輯式畫出邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的運算符號，加上連線，就得到邏輯圖。從邏輯圖寫出邏輯式從輸入端開始逐個寫出每個圖形符號輸出端的邏輯式，直到末端。2.5 邏輯函數及其表示方法5. 從波

15、形圖列出真值表 從波形圖上找出所有時間段里輸入變量與輸出變量的取值，并將其對應列成表格。邏輯真值表11110011110100010110101011000000YCBA6. 從真值表畫出波形圖 將真值表中所有輸入變量與對應的輸出變量取值，依次排列畫成以時間為橫軸的波形。2.5 邏輯函數及其表示方法2.5.3 邏輯函數的兩種標準形式一、最小項和最大項最小項在n變量邏輯函數中，若乘積項m包含所有n個變量，而且在m中每個變量只能以原變量或反變量的形式出現一次，且僅出現一次。則稱m為該組變量的最小項。例如n變量有2n個最小項。如3變量有23=8個最小項。2變量A、B：AB 、AB、AB、AB3變量A

16、、B、C：ABC、ABC、ABC、ABC、 ABC、 ABC、 ABC、 ABC3變量中使每個最小項為1的變量取值按二進制數碼從小到大排列：000、001、010、011、100、101、110、111，對應十進制數依次為07，依次將最小項記作m0m7。如m4表示ABC。2.5 邏輯函數及其表示方法最小項的性質：對輸入變量的任一取值組合，必有且僅有一個最小項為1。所有最小項之和為1。任意兩最小項的乘積為0。若兩個最小項只有一個因子互反、其它相同，則稱它們邏輯相鄰。邏輯相鄰的兩個最小項相加后，可合并為一項并消去互反的因子。 和邏輯相鄰，則如最大項在n變量邏輯函數中，若M為n個變量之和，而且在M中

17、每個變量只能以原變量或反變量的形式出現一次，且僅出現一次。則稱M為該組變量的最大項。例如、3變量A、B、C：、2.5 邏輯函數及其表示方法最大項的性質：對輸入變量的任一取值組合，必有且僅有一個最大項為0。所有最大項之積為0。任意兩最大項之和為1。只有一個因子互反的兩個最大項的乘積等于各相同因子之和。如最大項和最小項的關系：如，則n變量有2n個最大項。如3變量有23=8個最大項。3變量中使每個最大項為0的變量取值按二進制數碼從小到大排列：000、001、010、011、100、101、110、111，對應十進制數依次為07，依次將最大項記作M0M7。如M4表示最大項 。2.5 邏輯函數及其表示方

18、法二、邏輯函數的最小項之和形式利用A+A=1可把任一個邏輯函數化為最小項之和的標準形式。這種標準形式廣泛應用于邏輯函數化簡及計算機輔助分析和設計中。如可化為三、邏輯函數的最大項之積形式任何一個邏輯函數都可以化成最大項之積的標準形式。最小項之和必為。設，因為全部最小項之和為1，所以以外的由反演定理得2.5 邏輯函數及其表示方法2.5.4 邏輯函數形式的變換邏輯函數式通常是由幾個乘積項相加組成的，稱為與-或邏輯式，或稱“積之和”形式。如：若受器件限制（只有與非門），則需要把邏輯函數式變換為全部由與非運算組成，稱為與非-與非邏輯式。Y的與非-與非式：，利用如：已知與-或式可得可以通過運算將與或形式的

19、邏輯函數變換為最小項之和或最大項之積的形式。若只有或非器件，則需要把邏輯函數式變換為全部由或非運算組成，稱為或非-或非邏輯式。與-或式與或非形式用反演定理或非-或非式2.6 邏輯函數的化簡方法2.6.1 公式化簡法當用電路來實現一個邏輯函數的功能時，邏輯式越簡單，所需要的電子器件就越少。所以，常常需要把邏輯函數化簡以找出邏輯函數的最簡形式。邏輯式中，若相加的乘積項不能再減少，而且每項中相乘的因子不能再減少時，則函數式為最簡形式。公式化簡法就是用邏輯代數的基本公式和常用公式消去函數式中多余的乘積項和多余的因子，求得函數式的最簡形式。公式化簡法沒有固定的步驟。常用化簡方法：公式化簡法、卡諾圖化簡法

20、、Q-M法。2.6 邏輯函數的化簡方法2.6.1 公式化簡法一、并項法利用公式，注意A和B都可以是任何復雜的邏輯式。例1：用并項法化簡解：二、吸收法利用公式，A和B同樣可以是任何一個復雜的邏輯式。例2：用吸收法化簡解：2.6 邏輯函數的化簡方法三、消項法利用公式及消去BC或BCD ，其中A、B、C、D都可以是任何復雜的邏輯式。例3：用消項法化簡解：四、消因子法用公式，A、B可以是任何復雜的邏輯式。消去例4：用消因子法化簡解：2.6 邏輯函數的化簡方法五、配項法根據A+A=A，在函數式中重復寫入某一項，以得到更簡結果。例5：試化簡解：在式中重復寫入，則得到例6：試化簡解：根據 ，可在函數式中的某

21、一項上乘以 ，然后拆成兩項分別與其它項合并，以得到更簡結果。1.6 邏輯函數的公式化簡法公式化簡法沒有固定的步驟，在化簡復雜的邏輯函數時，往往需要靈活、交替地綜合運用上面介紹的并項、吸收、消項等方法，才能得到最后的化簡結果。平時要多做練習，以期“熟能生巧”、“舉一反三”。消因子法并項法例6：試化簡邏輯函數解：解：2.6 邏輯函數的化簡方法例7：試化簡邏輯函數配項法吸收法并項法反演定理2.6 邏輯函數的化簡方法2.6.2 卡諾圖化簡法一、邏輯函數的卡諾圖表示法將n個變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并且將邏輯相鄰的最小項排列在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就叫做n變量最小項的卡諾圖。m3m2

22、m1m0AB01012變量卡諾圖m6m7m5m4m2m3m1m0ABC00011110013變量卡諾圖m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD00011110000111104變量卡諾圖2.6 邏輯函數的化簡方法卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把使最小項為1的變量取值一一對應地注明在陣列圖的上方和左方。注意：每個最小項與其上、下、左、右的最小項均是邏輯相鄰。每一行最左端與最右端的最小項、每一列最上端與最下端的最小項也是邏輯相鄰。幾何位置相鄰的最小項具有邏輯相鄰性，即只有一個因子互反，而其它因子相同。一、邏輯函數的卡諾圖表示法最小項編

23、號m2，即當變量ABCD=0010（十進制數2）時該最小項為1。對應的最小項是：2.6 邏輯函數的化簡方法卡諾圖兩側（或稱為行、列坐標）標注的0和1表示使對應小方格（行列交叉處）內的最小項為1時的變量取值，有時為了方便，用二進制數碼表示行、列坐標變量的組合，用二進制對應的十進制數表示方格對應的最小項。如4變量卡諾圖1011981415131267542310ABCD00011110000111104變量卡諾圖卡諾圖法是邏輯函數化簡的一個重要方法，首先要熟記卡諾圖的排列規則。下面的動畫可幫助我們進一步理解卡諾圖。一、邏輯函數的卡諾圖表示法2.6 邏輯函數的化簡方法二、用卡諾圖表示邏輯函數任一個邏

24、輯函數都可表示為若干最小項之和，而卡諾圖是最小項陣列圖，所以可用卡諾圖來表示任一個邏輯函數。步驟：將邏輯函數化為最小項之和形式；以外的位置填0。將卡諾圖中與對應的最小項的位置填1，而將解：先將Y化為最小項之和形式例1：用卡諾圖表示邏輯函數2.6 邏輯函數的化簡方法畫出4變量卡諾圖，在對應于mi（i=1，4，6，8，9，10，11，15）的最小項的位置上填1，在其余位置上填0，則可得表示Y的卡諾圖。1111010010010010ABCD0001111000011110例2：已知邏輯函數Y的卡諾圖如下，試寫出該邏輯式。01011010ABC0001111001函數Y 等于卡諾圖中填入1的那些最小

25、項之和2.6 邏輯函數的化簡方法1、合并最小項的規則三、用卡諾圖化簡邏輯函數也稱圖形化簡法，其基本原理就是邏輯相鄰的最小項相加，可消去互反的因子。因卡諾圖按邏輯相鄰原則排列最小項的幾何位置，所以在圖上能直觀地找出邏輯相鄰的最小項并將其合并化簡。0110001100110110ABCD0001111000011110以函數Y的化簡為例來說明將邏輯相鄰的最小項兩兩圈起來，稱為卡諾圈。分別將4個卡諾圈中的兩個最小項相加，可消去互反的因子、只剩下相同的因子。化簡結果如下2.6 邏輯函數的化簡方法0110001100110110ABCD0001111000011110觀察以上結果，它們兩兩之間也是僅有一

26、個因子互反、即邏輯相鄰，可進一步簡化。相當于圈成2個大卡諾圈。每個圈中有4個相鄰的1。將4個邏輯相鄰的最小項圈成一個卡諾圈，合并后將消去兩個變量。2.6 邏輯函數的化簡方法依此類推，若是8個邏輯相鄰的最小項圈成1個卡諾圈，合并將會消去三個變量、只剩下8個最小項中的公共因子。0110011001100110ABCD0001111000011110如右圖，8個最小項中的公共因子只有D，合并后將消去A、B、C三個變量。圈卡諾圈合并最小項的規則：邏輯相鄰的最小項的個數是2n（n是正整數）個，并組成矩形組時，可以圈為一個卡諾圈、合并為一項。合并后將消去n個變量、只剩下這些最小項的公共因子。2.6 邏輯函

27、數的化簡方法只能是2n個（2、4、8）邏輯相鄰且組成矩形組的1才能圈為一個卡諾圈，3個、6個1不能圈，不排成一個矩形組不能圈。0001001100100000ABCD00011110000111100111010001000000ABCD00011110000111102.6 邏輯函數的化簡方法卡諾圈越大越好，卡諾圈越大，所包含的最小項就越多，合并后消去的變量也越多, 2n（n是正整數）個1組成的卡諾圈，合并后將消去n個變量；而卡諾圈的個數越少越好，因一個卡諾圈將合并為一項，故卡諾圈的個數越少，最后得到的函數式的項數越少。兩者結合，最后得到最簡化的函數式。所有邏輯相鄰的1都要圈完（不能漏圈）。

28、每一個新卡諾圈中必須至少有一個1不曾被前面的卡諾圈所包含，才是獨立的。若兩卡諾圈完全相同，則不會起化簡作用。因為A+A=A。2、卡諾圖化簡法的步驟將函數化為最小項之和形式。畫出表示該邏輯函數的卡諾圖。根據圈卡諾圈合并最小項的規則，畫出各卡諾圈。每個卡諾圈合并為一個乘積項，將各乘積項相加，得最簡函數式。例1：用卡諾圖法化簡邏輯函數解：Y已是最小項之和形式，可直接畫出該函數的卡諾圖。11100100ABC0001111001畫卡諾圈；將各卡諾圈的合并結果相加，得到Y的最簡形式。例2：用卡諾圖化簡將Y化為最小項之和形式2.6 邏輯函數的化簡方法畫出該函數的卡諾圖0110111111101110ABC

29、D0001111000011110圈卡諾圈，基本規則是“圈盡可能大，圈的個數盡可能少”。將各卡諾圈的合并結果相加，得到Y的最簡式如下：合并各卡諾圈中的最小項，其合并結果等于卡諾圈中所包含的最小項的公共因子之積。對卡諾圖熟練后，可以省去把函數式化為最小項之和的第步，直接畫函數的卡諾圖。如 一項，包含了所有含有 的最小項，對應于右上角的4個1。這實際是合并卡諾圈化簡的逆過程。2.6 邏輯函數的化簡方法解：省略將Y化為最小項之和一步，直接畫出該函數的卡諾圖。畫卡諾圖時，碰到某個最小項多次重復出現的情況，即某方格的值多次重復為1，算一次1就可以了。A+A=A2.6 邏輯函數的化簡方法例3：用卡諾圖化簡

30、11111111000000ABCD000111100001111011111111依據“圈盡可能大，圈的個數盡可能少” 的基本規則圈卡諾圈；合并各卡諾圈中的最小項，將各合并結果相加，得最簡式。1111111110101101ABCD0001111000011110例4：已知函數Y的卡諾圖如下，試將Y化簡。A2.6 邏輯函數的化簡方法2.6 邏輯函數的化簡方法例4：已知函數Y的卡諾圖如下，試將Y化簡。1111100111111111ABCD0001111000011110分析Y的卡諾圖，1的數目遠大于0的數目，所以采用合并0的方法會比合并1來得簡單。因為全部最小項之和為1，而Y等于卡諾圖中為1的最小項之和，則其余的最小項之和應為Y，即Y 等于卡諾圖中為0的最小項之和。ABD圖中只有兩個0、且邏輯相鄰，圈起來合并后，得若采用合并1的方法將得到同樣的結果。請自行分析。2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數中的無關項分析某些具體的邏輯函數時，經常對輸入變量的取值有限制，即輸入變量的取值不是任意的，稱為約束。則該組變量為具有約束的一組變量。通常用約束條件來描述約束的具體內容。例如，一臺電動機正轉、反轉、停止的命令分別用三個邏輯變量A、B、C表示，A=1表示正轉、B=1表示反轉、C=1表示停止。因任何時候只能執行其中一個命令，所以ABC的取值只能為00