1、第 6 章線性離散系統(tǒng)的分析與校正前面五章主要了線性連續(xù)控制系統(tǒng)的分析與校章將介紹線性離散控制系統(tǒng)的分析與校正。首先給出信號采樣和保持的數(shù)學(xué)描述，介紹分析離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具z 變換理論，之后講述描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程和脈沖傳遞函數(shù)，在此基礎(chǔ)上線性離散系統(tǒng)的分析及校正方法。6.1 離散系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)是指在控制系統(tǒng)的一處或數(shù)處的信號為脈沖序列或數(shù)碼的系統(tǒng)。如果在系統(tǒng)中使用了采樣開關(guān)，將連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列去控制系統(tǒng)則稱此系統(tǒng)為采樣控制系統(tǒng)。如果在系統(tǒng)中采用了數(shù)字計算機或數(shù)字控制器，其信號是以數(shù)碼形式傳遞的，則稱此系統(tǒng)為采樣數(shù)字控制系統(tǒng)。通常把采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)稱為離散控制系統(tǒng)。

2、離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的不同，又有分析方面的相似性。利用 z 變離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣應(yīng)用于離散系統(tǒng)。換法目前，離散系統(tǒng)的最廣泛應(yīng)用形式是以數(shù)字計算機，特別是以微型計算機為控制器的數(shù)字控制系統(tǒng)。也就是說，數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計算機為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。因此，數(shù)字控制系統(tǒng)包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機和工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對象兩大部分。圖 6-1 給出了數(shù)字控制系統(tǒng)的原理框圖。圖中，計算機作為校正裝置被引進(jìn)系統(tǒng)，它只能接受時間上離散、數(shù)值上被量化的數(shù)碼信號。而系統(tǒng)的被控量c(t) 、給定量r(t) 一般在時間上是連續(xù)

3、的模擬信號。因此，要將這樣的信號送入計算機運算，就必須先把偏差量e(t) 用采樣開關(guān)在時間上離散化，再由模/數(shù)轉(zhuǎn)換器 A/D 將其在每個離散點上進(jìn)行量化，轉(zhuǎn)換成數(shù)碼信號。這兩項工作一般都由 A/D 轉(zhuǎn)換器來完成，然后進(jìn)入計算機進(jìn)行數(shù)字運算，輸出的仍然是時間上離散、數(shù)值上量化的數(shù)碼信號。數(shù)碼信號不能直接作用于被控對象，因為在兩個離散點之間是沒有信號的，必須在離散點之間補上輸出信號值。一般可采用保持器的辦法。最簡單的保持器是零階保持器，它將前一個采樣點的值一直保持到后一個采樣點出現(xiàn)之前，因此，其輸出是階梯狀的連續(xù)信號（見圖 6-1 中信號uh (t) ），可以作用到被控對象上。數(shù)模轉(zhuǎn)換和信號保持都

4、是由 D/A 轉(zhuǎn)換器完成的。圖 6-1 計算機控制系統(tǒng)原理框圖由此可見，圖 6-1 中所示的 A/D 和 D/A 轉(zhuǎn)換器，起著模擬量和數(shù)字量之間轉(zhuǎn)換的作用。當(dāng)數(shù)字計算機字長足夠長，轉(zhuǎn)換精度足夠高時，可忽略量化誤差影響，近似認(rèn)為轉(zhuǎn)換有唯一的對應(yīng)關(guān)系。此時，A/D 轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于僅是一個采樣開關(guān)，D/A 相當(dāng)于一個保持器，又將計算機的計算規(guī)律近似用傳遞函數(shù)Gc (s) 加一個采樣開關(guān)來等效描述。這樣就可將圖 6-1 簡化為圖 6-2 所示的結(jié)構(gòu)圖，從而可以用后面介紹的方法對離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和校正。圖 6-2 計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖數(shù)字計算機運算速度快，精度高，邏輯功能強，通用性好，價格低，在自動控制領(lǐng)

5、域中被廣泛采用。數(shù)字控制系統(tǒng)較之相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)具有以下優(yōu)點：（1） 由數(shù)字計算機的數(shù)字控制器，控制律由軟件實現(xiàn)，因此，與連續(xù)式控制裝置相比，控制規(guī)律修改調(diào)整方便，控制靈活。（2）數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高了系統(tǒng)的能力。（3）可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng)，提高設(shè)備的利用率，經(jīng)濟性好。同時，也為生產(chǎn)的網(wǎng)絡(luò)化、智能化控制和管理奠定基礎(chǔ)。6.2 信號采樣與保持采樣器與保持器是離散系統(tǒng)的兩個基本環(huán)節(jié)，為了定量離散系統(tǒng)，必須用數(shù)學(xué)方法對信號的采樣過程和保持過程加以描述。6.2.1信號采樣在采樣過程中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成脈沖或數(shù)碼序列的過程，稱為采樣過程。實現(xiàn)采樣的裝置，稱為采樣開關(guān)或采樣

6、器。如果采樣開關(guān)以周期T 時間閉合，并且閉合的時間為 ，這續(xù)函數(shù)e(t) 變成了一個斷續(xù)的脈沖序列e*(t) ，如圖 6-3(b)所示。樣就把由于采樣開關(guān)閉合持續(xù)時間很短，即 T ，因此在分析時可以近似認(rèn)為 0 。這樣可以看出，當(dāng)采樣器輸入為連續(xù)信號 e(t) 時，輸出采樣信號就是一串理想脈沖，采樣瞬時e*(t) 的脈沖等于相應(yīng)瞬時e(t ) 的值，如圖 6-3(c) 所示。圖 6-3 信號的采樣根據(jù)圖 6-3(c)可以寫出采樣過程的數(shù)學(xué)描述為e*(t) e(0) (t) e(T ) (t T ) L e(nT ) L(6-1)e*(t) e(nT ) e(t) )或(6-2)nn式中， n

7、是采樣拍數(shù)。由式（6-2）可以看出，采樣器相當(dāng)于一個幅值調(diào)制器，理想采樣序列e*(t) 可看成是由理想脈沖序列 (t) (t nT ) 對連續(xù)量調(diào)制而形成的，如圖Tn6-4 所示。其中， T (t) 是載波，只決定采樣周期，而e(t) 為被調(diào)制信號，其采樣時刻的值e(nT ) 決定調(diào)制后輸出的幅值。圖 6-4 信號的采樣6.2.2采樣定理一般采樣控制系統(tǒng)加到被控對象上的信號都是連續(xù)信號，那么，如何將離散信號不失真地恢復(fù)到原來的形狀，便涉及采樣頻率如何選擇的問題。采樣定理了由離散信號完全恢復(fù)相應(yīng)連續(xù)信號的必要條件。由于理想脈沖序列T (t) 是周期函數(shù)，可以展開為復(fù)數(shù)形式的傅氏級數(shù) n (t)

8、c e tjns(6-3)Tn式中， s 2 / T 為采樣角頻率， T 為采樣周期， cn 是傅氏級數(shù)系數(shù)，它由下式確定1TT /2 (t)edtjn tcn s(6-4)TT /2 jn t在 T 2 , T 2 區(qū)間中， T (t) 僅在t 0 時有值，且es |t 0 1，所以1T1T0 (t)dt cn （6-5）0將式(6-5)代入式(6-3)，得n1Te jnst (t) （6-6）T再把式(6-6)代入式(6-2)，有11Tjnstjnste*(t) e(t) ee(nT )e（6-7）Tnn將式（6-7）兩邊取拉氏變換，由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理，得到1E (s) E (s j

9、ns )T*(6-8)n 令 s j ，得到采樣信號e* (t) 的傅氏變換 1TE ( j ) E j ( n s )*（6-9)n 式中，E( j ) 為相應(yīng)連續(xù)信號e(t) 的傅氏變換， E( j)為e(t) 的頻譜。一般來說，連續(xù)信號的頻帶寬度是有限的，其頻譜如圖 6-5(a)所示，其中包含的最高頻率為h 。式（6-9）表明，采樣信號e*(t) 具有以采樣頻率為周期的無限頻譜，除主頻譜外，還包含無限多個附加的高頻頻譜分量（如圖 6-5(b)所示），只不過在幅值上變化了1 T 倍。為了準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)被采樣的連續(xù)信號，必須使采樣后的離散信號的主頻譜和高頻頻譜彼此不混疊，這樣就可以用一個理想的低通

10、濾波器（其幅頻特性如圖 6-5(b)中虛線所示）濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保留主頻譜。如果連續(xù)信號e(t) 頻譜中所含的最高頻率為h ，則e (t) 頻譜不混疊的條件為*s 2hT 或(6-10)h這就是(Shanoon)采樣定理。采樣定理說明，當(dāng)采樣頻率大于或等于信號所含最高頻率的兩倍時，才有可能通過理想濾波器，把原信號完整地恢復(fù)出來。否則會發(fā)生頻率混疊如圖 6-5(c)所示。此時，即使使用理想濾波器，也無法將主頻譜分離出來，因而就難以準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)原有的連續(xù)信號。圖 6-5 信號的頻譜6.2.3采樣周期的選擇采樣周期T 是離散控制系統(tǒng)設(shè)計中的一個重要。采樣定理只給出了不產(chǎn)生頻率混疊時采樣周期T

11、 的最大值（或采樣角頻率s 的最小值），顯然，T 選得越小，即采樣角頻率s選得越高，對控制過程的信息獲得的便越多，控制效果也會更好。但是，如果 T 選得過小，將增加不必要的計算負(fù)擔(dān)，就難以實現(xiàn)較復(fù)雜的控制律。反之，T 選得過大，會給控制過程帶來較大的誤差，影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，采樣周期T 要依據(jù)實際情況綜合考慮，合理選擇。從頻率性能指標(biāo)來看，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)通常具有低通濾波特性。當(dāng)隨動系統(tǒng)輸入信號的頻率高于其閉環(huán)幅頻特性的帶寬頻率b 時，信號通過系統(tǒng)將會明顯衰減，因此可以近似認(rèn)為通過系統(tǒng)的控制信號最高頻率分量為b 。一般隨動系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率c 與閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬頻

12、率b 比較接近，近似有c b ，因此可以認(rèn)為，一般隨動系統(tǒng)控制信號的最高頻率分量為c ，超過c 的頻率分量通過系統(tǒng)時將被大幅度衰減掉。根據(jù)工程實踐經(jīng)驗，隨動系統(tǒng)的采樣角頻率可選為s 10c因為T 2 s ，所以采樣周期可選為1T 5c從時域性能指標(biāo)來看，采樣周期T 可根據(jù)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts ，按經(jīng)驗公式1T t40s選取。6.2.4零階保持器為了控制被控對象，需要將數(shù)字計算器輸出的離散信號恢復(fù)成連續(xù)信號。保持器就是將離散信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號的裝置。根據(jù)采樣定理，當(dāng)s 2h 時，離散信號的頻譜不會產(chǎn)生混疊，此時用一個幅頻特性如圖 6-5(b)中虛線所示的理想濾波器，就可以將離散信號的主頻分量完

13、整地提取出來，從而可以不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號。但是，上述的理想濾波器實際上是不存在的。因此，必須尋找在特性上接近理想濾波器，而物理上又可以實現(xiàn)的濾波器。零階保持器實現(xiàn)簡單，是工程上最常用的一種保持器。步進(jìn)電機、數(shù)控系統(tǒng)中的寄存器等都是零階保持器的實例。零階保持器的作用是把前一采樣時刻 nT 的采樣值 e(nT ) 一直保持到下一采樣時刻(n 1)T ，從而使采樣信號e*(t) 變成階梯信號e (t) ，如圖 6-6 所示。因為e (t) 在每個采h樣周期內(nèi)的值保持常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零，故稱之為零階保持器。h圖 6-6 零階保持器的輸出特性給零階保持器輸入一個理想脈沖 (t) ，則其脈沖響應(yīng)函數(shù) g

14、h (t) 是幅值為 1，持續(xù)時間為T 的矩形脈沖，如圖 6-7 所示，它可分解為兩個階躍函數(shù)的和，即gh (t) 1(t) 1(t T )對脈沖響應(yīng)函數(shù) gh (t)取拉氏變換，遞函數(shù)（6-11）零階保持器的傳eTs1 eTs1Gh (s) s （6-12）ss圖 6-7 零階保持器的脈沖響應(yīng)式(6-12)中，令 s j ，便得到零階保持器的頻率特性1 e jT2e jT / 2 (e jT / 2 e jT / 2 )sin(T 2)T 2Gh ( j) jT / 2 Te(6-13)j2 j若以采樣角頻率 s 2 / T 來表示，則式（6-13）可表示為G ( j) 2sin ( s ) e j ( s )（6-14）h ( )ss根據(jù)式（6-14），可畫出零階保持器的幅頻特性 Gh ( j ) 和相頻特性Gh ( j ) 如圖 6-8 所示。由圖可見，零階保持器具有如下特點：零階保持器幅頻特性的幅值隨頻率的增大而衰減，具有明顯的低通濾波特性，但與理想濾波器特性相比，當(dāng) s / 2 時，其幅值只有初值的 637。另外，零階保持器除了允頻譜分量通過外，還允許一部分高頻分量通過。同時，從相頻特性可以看出，零階保持器會