1、題目：自動化車床管理的數學建模問題摘 要本文討論了自動化車床連續加工零件的工序定期檢查和刀具更換的最優策略。我們根據原始數據利用EXCEL軟件進行統計分析，得出刀具正常工作時長的函數，建立了以期望損失費用為目標函數的數學模型。問題一，我們假設所有的檢查為等間距，以檢查到的零件是否為次品來判定工序是否正常，若一直未出現故障則當加工到定期換刀時刻就換刀，利用概率論的相關知識，求出一個周期內的期望損失費用和期望零件個數，建立了以零件的期望損失費為目標函數的隨機優化模型，求解得檢查間隔，換刀間隔，每個零件的期望損失費用。問題二，不管工序是否正常都有可能出現正品和次品，在問題一的基礎上調整了檢查間隔中的

2、不合格品所帶來的損失費用，同時加上了因誤檢停機而產生的費用，求出期望損失費用和期望零件個數，建立了以每個零件的期望損失費用為目標函數的隨機優化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，每個零件的期望損失費用。問題三，在問題二的基礎上將工序正常工作的時間長由開始的近似等于刀具無故障工作的時間長，改進為刀具無故障工作時間長的95%，其它的故障近似服從均勻分布，求出一個周期內的期望損失費用和零件個數，建立了以每個零件的期望損失費用為目標的隨機優化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，期望損失費用。關鍵詞：自動化車床管理 檢查間隔 換刀間隔一、問題重述 一道工序用自動化車床連續加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會

3、出現故障，其中刀具損壞故障占 90%，其他故障僅占 10%。工序出現故障是完全隨機的，假定在生產任一零件時出現故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現故障。現積累有 150 次刀具故障記錄，故障出現時該刀具完成的零件數如附件表。現計劃在刀具加工一定件數后定期更換新刀具。已知生產工序的費用參數如下：故障時產出的零件損失費用 f=300 元/件；進行檢查的費用 t=20 元/次；發現故障進行調節使恢復正常的平均費用 d=3000 元/次（包括刀具費）；未發現故障時更換一把新刀具的費用 k=1200 元/次。1）假定工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品，試對該

4、工序設計效益最好的檢查間隔（生產多少零件檢查一次）和刀具更換策略。2）如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有1%為不合格品；而工序故障時產出的零件有25%為合格品，75%為不合格品。工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用為1500元/次。對該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。3）在 （2）的情況，可否改進檢查方式獲得更高的效益。 附：150次刀具故障記錄（完成的零件數） 311 460 975 463 708 666 398 771 532 474 538 740 651 458 407 420 467 207 457 337 759 488 509 486 539 218 715

5、 509 647 565 314 613 530 578 599 319 574 647 730 481 597 589 628 132 316 601 484 440 372 477 497 591 243 587 172 668 865 362 678 382 389 673 749 836 468 384 548 643 563 526 749 487 417 649 570 214 527 308 553 743 747 619 656 525 372 607 620 726 379 605 280 586 763 851 653 492 528 607 590 590 779 576

6、 651 249 560 723 927 449 644 325 619 734 320 599 754 433 521 971 175 582 549 549 375 802 256 557 529 678 567 656 627 502 708 531 503 452 677 524 539 212 309 573 673 398 408 592 447 463 415 594二、問題分析由題中信息可知，由于刀具損壞等原因會使工序出現故障, 工序出現故障完全是隨機的，即在生產任意一個零件時都有可能發生故障。 工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現故障, 如果檢查過于頻繁, 那么工序就會經常

7、處于正常狀態而少生產出不合格品, 然而, 這將使檢查費用過高;檢查間隔過長, 雖然可以減少檢查費用, 但由于不能及時發現故障而可能導致大量不合格品出現, 必將提高每個零件的平均損失費用。根據題目信息，刀具加工一定件數的零件后將定期更新刀具，從而我們可以通過確定最佳檢查間隔和換刀間隔來減少損失。2.1 對問題一的分析根據題目要求，我們假定所有的檢查都為等間隔檢查，因為未發生故障時生產的零件都是合格品，所以當發現零件不合格時就認為工序發生了故障，從而停機檢查并使其恢復正常。若一直未發生故障，則當加工到定期更換刀具時刻，不管是否發生了故障都進行換刀。計算平均費用可分為兩種情況：（1）在換刀之前未發生

8、故障，記平均損失費用為，（2）在換刀之前發生了故障，記平均損失費用為。然后以每個零件的期望損失費用為目標函數，運用MATLAB等軟件進行編程求解使其最小。2.2 對問題二的分析根據題目中所給的條件，我們還是假定所有的檢查都為等間隔檢查，因為未發生故障時次品率為1%，發生故障時的正品率為25%，所以不能單憑是否檢查到次品來判定工序是否正常，在工序正常時有可能誤判，這樣就會產生誤檢停機費用，計算平均費用分為兩種情況：（1）在換刀之前未發生故障，損失費用記為，（2）在換刀之前發生了故障，損失費用記為，然后以每個零件的期望損失費用為目標函數，運用MATLAB軟件等進行編程求解使其最小。2.3 對問題三

9、的分析 在實際情況下，在工序過程中，各個時間發生故障的概率是不同的，而第二問采取的等間隔檢查就在一定程度上浪費了這個條件，而且在第二問中誤檢，漏檢的概率比較大，因此我們針對這兩點采取改進措施：非等距檢查，連續檢查法。三、模型假設(1)檢查時間和換刀時間忽略不計；(2)所有的故障都為刀具故障；(3)刀具故障服從正態分布：(4)每次只抽查一個零件檢查；(5)為整數，即(6)一道工序只需要一把刀具；四、變量說明：每件不合格品的損失費用；：每次檢查的費用；：發現故障進行調節使恢復正常的平均費用；：未發現故障時更換一把新刀具的費用；：平均檢查間隔；：定期換刀間隔；：一個周期內的實際檢查次數；：工序正常而

10、誤認有故障停機產生的損失費用；：每個零件的期望損失費用；：刀具壽命的概率密度函數；：出現故障時已經生產的零件個數；：一個周期內的期望損失總費用；：期望零件個數； ：一個周期內的最多檢查次數：在定期換刀之前未發生故障的損失費用：在定期換刀之前發生故障的損失費用五、模型建立與求解 5.1數據處理5.1.1 刀具正常工作的時間長的概率密度函數題中附錄給出了150次刀具故障的記錄，我們利用了EXCEL軟件對這些數據進行了相關的統計分析。我們采用了假設檢驗下的NPar檢驗來對其進行正態分布的檢驗，在顯著性水平時，發現刀具故障服從正態分布，其中。由此可知概率密度函數 圖下面我們對正態分布進行檢驗：卡方檢驗

11、 是一種用途很廣的計數資料的假設檢驗方法。它屬于非參數檢驗的范疇，主要是比較兩個及兩個以上樣本率( 構成比）以及兩個分類變量的關聯性分析。其根本思想就是在于比較理論頻數和實際頻數的吻合程度或擬合優度問題。利用擬合檢驗法進行檢驗，我們用刀具壽命的最大值減去最小值，取70為區間長度，將其分成了12個區間，分別算它們的頻數，其中由于最后兩個區間的頻數都為3，根據檢驗的原則，我們將它們合并為一個區間，再計算各數值在區間出現的概率，其中n=70,得到表1所示數據：表1：各區間內數據區間頻數 130.5200.5391.954.62200.5270.57494.6910.45270.5340.510100

12、9.1010.99340.5410.51214415.549.27410.5480.51728921.6913.32480.5550.52772924.6729.55550.5620.53196124.6039.06620.5690.51936120.0018.05690.5760.51419613.5514.46760.5830.54167.522.13830.5900.5392.513.58900.5975.5392.663.38在顯著性水平下，結果如下： ，因為，在可接受區間內，故服從正態分布。5.1.2 刀具更換間隔在定期更換刀具之前，我們采用了等間距檢查的方式對零件進行檢查，若出現故

13、障則進行調節使其恢復正常，若沒有檢查出故障，則到了定期更換刀具時刻進行換刀，為了簡化模型，我們假定在正常換刀之健康前進行的是整數次檢查，即。5.2 模型一的建立與求解5.2.1 模型一的建立如果在換刀之前未發生故障，則損失包括兩部分：（1）檢查費用；（2）更換刀具費用；則此種情況下總的損失為；如果在換刀之前發生了故障，此時實際檢查次數為，假設前次檢查生產的都是正品，個數為，則次品的個數為，此時損失包括三部分：（1）檢查費用為；（2）發現故障進行調節使恢復正常的費用；（3）損失費用；則此種情況下總的損失費用為期望損失為： 期望零件個數：每個零件的期望損失費用：即，要使期望損失費用達到最低，則等價

14、于求最佳的，使達到最小。5.2.2 模型一的求解利用MATLAB對上述模型進行求解，可得到， ， 。即每生產31個零件檢查一次，生產248個零件后進行定期換刀，每個零件的期望損失費用為7.3693。5.3 模型二的建立與求解5.3.1 模型二的建立如果在換刀之前未發生故障，則在換刀時刻已經生產的零件個數為，根據題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費用包括四部分：（1）檢查費用：；（2）誤檢停機費用：；（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）更換刀具費用：； 則此種情況下總的損失費用為：如果在換刀之前已經發生故障，假設第次檢查出故障，則此時已經生產的零件個數為：，前次檢查都是正常工作的，

15、未發生故障時生產的零件個數為，發生故障后生產的零件個數為：，根據題中信息，我們可知，正常工作時次品率為1%，發生故障時次品率為75%，則損失費用包括五部分：（1）檢查費用：；（2）誤檢停機費用：；（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）發現故障進行調節使恢復正常的費用；（5）發生故障后次品的損失費用： 則此種情況下總的損失費用為：期望損失為： 期望零件個數：每個零件的期望損失費用：即，要使平均損失費用達到最低，則等價于求最佳的，使達到最小。5.3.2 模型二的求解利用MATLAB對上述模型進行求解，可得到， ， 。即每生產40個零件檢查一次，生產240個零件后進行定期換刀，每個零件的期望損失費

16、用為10.779。5.4 模型三的建立與求解5.4.1 模型三的建立 在實際情況下，在工序過程中，各個時間發生故障的概率是不同的，而第二問采取的等間隔檢查就在一定程度上浪費了這個條件，而且在第二問中誤檢，漏檢的概率比較大，因此我們針對這兩點采取改進措施：非等距檢查，連續檢查法。非等距檢查 如上圖所示，若每個周期內需要檢查n次，我們根據概率密度曲線，把無故障換刀點之前的面積平分成n份， S1=S2=Sn 即可以求得每個檢查點的位置，每兩個檢查點發生故障的概率就趨于平均。能大大 提高檢查效率。連續檢查法 連續檢查法是為了減少誤差和漏檢的概率，連續檢查法描述如下： 一次性檢查兩個零件 1、若兩個零件

17、都為合格品，則判斷無故障 2、若兩個零件都為不合格品，則判斷故障 3、若兩個零件，一個為合格品，一個為不合格品，則再檢查一個零件，根據第三個零件進行判斷。 根據上面檢查法，我們分別計算在這種檢查法的情況下誤檢與漏檢的概率P與期望檢查的費用Q 誤檢： 誤檢發生在正常工序階段，在上面的檢查法中，只有2和3的情況會發生誤檢。 P2=0.01*0.01=0.0001 P3=2*0.01*0.99*0.01=0.000198 P(1)=P2+P3=0.000298 Q(1)=（0.01*0.01+0.99*0.99）*25+2*0.01*0.99*75=25.99 漏檢： 漏檢發生在故障工序階段，在上面

18、的檢查法中只有1和3才會發生漏檢 P1=0.25*0.25=0.0625 P3=2*0.25*0.75*0.25=0.09375 P(2)=P1+P3=0.15625 Q(2)=(0.25*0.25+0.75*0.75)*25+2*0.25*0.75*75=43.75 采用這種連續檢查法，我們發現漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比較明顯變小，達到了理想的結果。 假設此時工序正常工作的時間長的概率密度函數為，則根據模型二中的相關知識，建立的模型如下：如果在換刀之前未發生故障，則在換刀時刻已經生產的零件個數為，根據題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費用包括四部分：（1）檢查費

19、用：；（2）誤檢停機費用：（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）更換刀具費用：；則此種情況下總的損失費用為：如果在換刀之前已經發生故障，假設第次檢查出故障，則此時已經生產的零件個數為：，前次檢查都是正常工作的，未發生故障時生產的零件個數為，發生故障后生產的零件個數為：，根據題中信息，我們可知，正常工作時次品率為0.000298，發生故障時次品率為0.84375，則損失費用包括五部分：（1）檢查費用：；（2）誤檢停機費用：；（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）發現故障進行調節使恢復正常的費用；（5）發生故障后次品的損失費用：(n+1)*t0-x*f*0.84375則此種情況下總的損失費用為

20、：Ln=(n+1)*t0+h*n*0.000298+x*f*0.000298+d+(n+1)*t0-x*f*0.84375期望損失為： 期望零件個數：期望損失費用：即，要使平均損失費用達到最低，則等價于求最佳的，使達到最小。 5.4.2模型三的求解利用 MATLAB 對上述模型進行求解，可得到， ， 。即每生產 41個零件檢查一次，生產 246個零件后進行定期換刀，期望損失費用為 7.9118。 采用這種連續檢查法，漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比較明顯變小，達到了理想的結果。 三種模型比較 模型一 模型二 模型三 t0(檢查間隔) 31 279 8.5169 t1(換刀周期)

21、45 270 13.3740 L（期望損失） 45 270 9.6568六、結果分析6.1 模型一的評價此模型采用了等間隔檢查的方式，簡化了模型，其中對損失費用分兩種情況討論，簡單明了，易于理解。將求解最佳檢查間隔和換刀間隔轉化求解最小期望損失費用，使模型的目標性更強。但此模型為等間隔檢查，在兩次檢查中次品率可能會很高，這樣次品損失費用就會增加。6.2 模型二的評價此模型考慮了工序正常工作和工序出現故障時產生的次品率，利用概率的相關知識，對模型簡化，最后將求解最佳檢查間隔和換刀間隔轉化求解最小期望損失費用，使模型的目標性更強。但模型考慮的是等間隔檢查，當發現次品時就停機檢查，誤檢停機費用會增加

22、，發現正品時就繼續生產，次品損失費會增加。6.3 模型三的評價此模型考慮到了等間隔檢查的方式并不合理，因為在工序過程中，各個時間發生故障的概率是不同的，所以應該采取非等間隔方式，大致是“前疏后密”，考慮到第二問中誤檢，漏檢的概率比較大，所以采用連續檢查法，降低誤檢率和漏檢率，進而減小期望損失。6.4 模型的優點1、本文建模思想易于理解，模型操作性強；2、對零件的檢查采取了等間隔抽查，簡化了模型，使模型便于建立和求解；3、將每個零件的平均損失費用作為目標函數，建立了評估體系，既有利于求出模型的最優解，又比較符合實際生產中企業取舍方案的標準；6.5 模型的缺點1、我們沒有對模型進行模擬仿真：2、在

23、模型一和模型二中，我們忽略了其他導致故障發生的原因，只考慮了刀具故障。6.6模型的改進對于問題二, 由于工序正常時產出的零件仍有1% 為不合格品, 而工序故障時產生的靈件有25% 為合格品, 這樣工作人員在通過定期檢查單個零件來確定工序是否出現故障的檢查方式必然會導致兩種誤判（1）正常工序時因檢查到不合格零件而誤認為出現故障；（2）工序發生故障后檢查到的仍是合格品而認為工序正常, 這兩種情況都將造成很大損失. 我們建議采取連續檢查方式，分為以下幾種情況：（1）連續兩次檢查都為正品時，我們認為工序正常，繼續生產；（2）連續兩次檢查都為次品時，我們認為工序發生故障，進行維修使其恢復正（3）常后再生

24、產；（4）連續兩次檢查中一次為正品，另一次為次品時，繼續第三次檢查，再進行判斷； 這樣雖然會相應地增加檢查費用, 但大大降低了因誤檢而造成的損失, 從而使系統工序獲得更高的效益.七、參考文獻 1 盛 驟 謝式千概率論與數理統計 高等教育出版社. 2 蔡 俊 可靠性工程學 黑龍江科學技術出版社. 3 沈玉波 馮敬海可修系統的最優檢測更新模型數學的實踐與認識 4 朱道元 數學建模案例精選 科學出版社 5 戴朝壽 孫世良數學建模簡明教程 高等教育出版社 6 樓順天 陳生潭 雷虎明MATLAB5.X程序設計語言西安電子科技大學出版社 7 宋來忠 王志明數學建模與實驗 科學出版社八、附錄模型一求解的MA

25、TLAB源代碼：k=1;for a=132:540for b=1:a-1if mod(a,b)=0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;for i=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf(i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendendz n=min(e(1:k-1)g(n),h(n)附錄一 k=1;for a=1

26、32:540for b=1:a-1if mod(a,b)=0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;for i=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf(i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendendz n=min(e(1:k-1)g(n),h(n)z = 7.3693n = 631ans = 248ans =31模型二求解的MATLAB源代碼k=1;for a=132:540for b=1:a-1if mod(a,b)=0p=normcdf(a,540