1、4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像1.理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助畫圖工具作出指數(shù)函數(shù)的圖像.3.探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與圖像的特點(diǎn),并掌握指數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì).4.體會直觀想象的過程,加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).1 |指數(shù)函數(shù)一般地,函數(shù)y=ax稱為指數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a0且a1.指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式中,指數(shù)x是自變量,定義域是R.2 |指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y=ax(a0且a1) a10a0時(shí),y1;當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí),0y1;當(dāng)x1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)判斷正誤，正確的畫“ ” ，錯(cuò)誤的畫“ ” 。1.函數(shù)y=2x+1是指數(shù)函數(shù).()提示:因?yàn)橹笖?shù)x+1不是

2、自變量,所以函數(shù)y=2x+1不是指數(shù)函數(shù).2.若指數(shù)函數(shù)f(x)=(2a+1)x在定義域上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,+).()提示:由題意可知2a+11,解得a0.3.若f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=10 x,則當(dāng)x0且a1):(1)函數(shù)y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同;(2)求函數(shù)y=af(x)的值域,需先確定f(x)的值域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性確定函數(shù)y=af(x)的值域;(3)求函數(shù)y=f(ax)的定義域,需先確定y=f(u)的定義域,即u的取值范圍,亦即u=ax的值域,由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式(組),確定x的取值范圍,得到y(tǒng)=f(ax)的定義域;(

3、4)求函數(shù)y=f(ax)的值域,需先利用函數(shù)u=ax的單調(diào)性確定其值域,即u的取值范圍,再確定函數(shù)y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.拔高問題3.求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域時(shí)要注意什么?提示:要注意與求其他函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))值域的方法相結(jié)合,同時(shí)注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+),求解時(shí)要準(zhǔn)確運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.1.()(1)函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)?A)A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1(2)函數(shù)y=4x+2x+1+1的值域?yàn)?1,+) .思路點(diǎn)撥:(1)由函數(shù)式有意義,列出不等式組,不等式組的解集即為所求.(2)利用換元

4、法,設(shè)2x=t(t0),則y=t2+2t+1(t0),求出y=t2+2t+1(t0)的值域即可.解析(1)由題意得自變量x應(yīng)滿足解得-30,則y=t2+2t+1(t0).因?yàn)閥=t2+2t+1=(t+1)2(t0),所以y1,即y=4x+2x+1+1的值域?yàn)?1,+).2.()求函數(shù)y=的定義域和值域.思路點(diǎn)撥:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.解析由x-40,得x4,所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|xR,且x4. 因?yàn)?,所以1,故函數(shù)的值域?yàn)閥|y0,且y1.延伸探究:1.()將原函數(shù)改為y=,如何求函數(shù)的定義域和值域?提示:由x-20,得x2,所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|x2. 當(dāng)x2時(shí),0,又01,所以y=

5、的值域?yàn)閥|0y1. 2.()將原函數(shù)改為y=,如何求函數(shù)的定義域和值域? 提示:1-0,1,解得x0,函數(shù)的定義域?yàn)?,+).令t=1- (x0),則0t1,00且a1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法:當(dāng)a1時(shí),函數(shù)u=f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間;當(dāng)0a0且a1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法:通過內(nèi)層函數(shù)u=ax的取值范圍確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域,在此定義域內(nèi)討論外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.破疑典例()函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間為(-,2 ,單調(diào)減區(qū)間為2,+) .思路點(diǎn)撥:令u(x)=x2-4x,先確定u(x)=

6、x2-4x的單調(diào)性,再確定y=的單調(diào)性,即可確定函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間.解析令u(x)=x2-4x,則y=,u(x)=x2-4x在(-,2上單調(diào)遞減,在2,+)上單調(diào)遞增,y=在R上單調(diào)遞減,y=在(-,2上單調(diào)遞增,在2,+)上單調(diào)遞減.3|比較指數(shù)冪的大小指數(shù)冪的大小比較問題的類型及解法指數(shù)冪的大小比較可以歸納為以下兩類:(1)底數(shù)相同:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)底數(shù)不同:采用中間量法.一般取中間量1,其中一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1;或者以其中一個(gè)指數(shù)冪的底數(shù)為底數(shù),以另一個(gè)指數(shù)冪的指數(shù)為指數(shù),例如,要比較ac與bd的大小,可取ad為中間量,ac與ad利用指數(shù)函數(shù)y=ax(a0且a1)的單

7、調(diào)性比較大小,bd與ad利用函數(shù)的圖像比較大小.破疑典例() (1)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是(C)A.abcB.acbC.bacD.bca(2)下列大小關(guān)系正確的是(B)A.0.4330.40B.0.43030.4C.30.40.430D.030.41.50=1,0.60.60.60.6,又函數(shù)y=0.6x在(-,+)上是減函數(shù),且1.50.6,0.61.50.60.6,0.61.50.60.61.50.6,即bac.故選C.(2)0.430.40=1=0=300),則原方程可化為4t2+3t-1=0,解得t=或t=-1(舍去),2x=,解得x=-2.2.()解下列不等式.(1)2;(2)0,且a1).解析(1)2=,原不等式可以化為3x-1-1.y=