1、機械1509 1510 沒交作業名單: 2. 求函數 在拋物線x軸正向的切線方向的方導游數.解: 將拋物線用參數方程表示為它在點(1,2) 的切線方向為上點 (1, 2)處,沿著這拋物線在該點處偏向 2. 求函數 在拋物線x軸正向的切線方向的方導游數.解: 先求切線斜率：在它在點(1,2) 的切線方向為上點 (1, 2)處,沿著這拋物線在該點處偏向兩端分別對x求導，得 求可微函數最大值和最小值的普通方法：1求函數在 D 內的一切駐點；2求函數在 D 的邊境上的最大值和最小值；3將函數在一切駐點處的函數值及在 D 的邊境上的 最大值和最小值相比較，最大者就是函數在 D 上 的最大值，最小者就是最

2、小值。 在實踐問題中，假設根據問題的性質，知道函數的最 大或最小值存在且一定在 D 的內部獲得，而函數在 D 內只需一個駐點，那么該駐點就是函數在 D 上的最大或 最小值點。解如圖,得 在邊境 和在邊境 上 第九章 習題課三、多元函數微分法的運用 多元函數微分法的運用一、 根本概念延續性 偏導數存在 方導游數存在可微性1. 多元函數的定義、極限 、延續 定義域及對應規律 判別極限不存在及求極限的方法 函數的延續性及其性質2. 幾個根本概念的關系偏導數延續二、多元函數微分法顯示構造隱式構造1. 分析復合構造(畫變量關系圖)自變量個數 = 變量總個數 方程總個數自變量與因變量由所求對象斷定2. 正

3、確運用求導法那么“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導留意正確運用求導符號3. 利用一階微分方式不變性三、多元函數微分法的運用1.在幾何中的運用求曲線的切線及法平面(關鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數法) 求解最值問題3. 在微分方程變形等中的運用 最小二乘法1) 近似計算2) 幾何運用幾何運用曲線切線(法平面)曲面切平面(法線)一、內容小結：多元微分學的運用曲線：參數方程情形切線：法平面：普通方程情形切線：法平面：也可表為法平面方程那么曲線在該點的切線可以看作兩曲面在

4、該點切平面的交線：普通方程假設另：曲面：該曲面上，那么相應的切平面：法線：曲面方程： ，點 在稱之為函數在l 方向上的增量。假設極限存在射線l的參數方程為那么稱此極限為 f ( x , y ) 在點 處沿方向 l 的方導游數。記為3) 方導游數與梯度其中 為 軸正向到方向 的轉角二元函數的方導游數其中 是方向 l 的方向余弦.三元函數的方導游數梯度注：梯度方向為方導游數取最大值的方向或者函數在一點的梯度垂直于該點等值線,指向函數增大的方向.同樣, 的等值面(等量面). 當其各偏導數不同其上點 P 處的法向量為稱為時為零時, 那么上點P 處的法向量為 4) 極值問題必要性：可導的極值點是駐點充分

5、性：那么時， 極小值；時， 極大值；時不能確定；時 非極值(1) 無條件極值(2) 條件極值方法：最后對方程組的解進展討論而得到所求極值構造Lagrange函數單條件極值 求函數 在條件下的條件極值解方程組方法：解方程組構造Lagrange函數兩條件極值 下的條件極值最后對方程組的解進展討論而得到所求極值求函數 在條件(3)函數的最大值和最小值求函數在有界區域上的最大值和最小值的方法 1.求出該函數在內的一切駐點和偏導數不存在的點的函數值， 2.求出在邊境上能夠的最大值最小值, 3.比較大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。在實踐問題中往往可根據問題本身的性質來斷定駐點能否是最值點。1

6、. 選擇下述題中給出的四個結論中一個正確的結論:設函數 z = f (x, y) 在點(0, 0)的某鄰域內有定義,且 函數f (x, y) 在點(0, 0)處的兩個偏導數存在,不一定可微.那么有_.P133 題2解: 取x為參數 , 故(C)正確. 2. ( )選擇題解:平面的法向量曲線的切向量:3. 假設z=f (x,y)在(x0,y0)處獲得極大值, 那么g(y)=f(x0,y) 在y0處一定有 ( )A. g(y)在y0獲得最大值; B. g(y)在y0獲得極大值C. y0是g(y)的駐點 D.以上都不對.1314 ABC3. 假設 f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0

7、 , y0) 都獲得極值,那么f ( x , y) 在(x0 , y0) 處( )A.不一定獲得極值; B.獲得極值; C.獲得最值. D.取不到極值不一定獲得極值.例如,在 不取極小值.此時 取極小值;在 當 時, 分析:當 時, 取極小值;在 令 A.不一定獲得極值; B.獲得極值; C.獲得最值. D.取不到極值不一定獲得極值.例如,在 不取極值.但 取極大值;在 當 時, 分析:當 時, 取極小值;在 3. 假設 f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0 , y0) 都獲得極值,那么f ( x , y) 在(x0 , y0) 處( ) 那么(0,0) ( )(A). 不是f

8、( x, y)的延續點; (B) . 不是f ( x, y)的極值點; (C) .是f ( x , y)的極小值點. (D). 是f (x, y)的極大值點分析:4. 設函數的全微分為令得駐點 (0,0).在點(0,0) 處為極小值;5.設函數在處獲得極值，試求常數a，并確定極值的類型分析 這是二元函數求極值的反問題， 即知獲得極值，只需求根據可導函數獲得極值的必要條件和充分條件即可求解此題解：由于可微, 故必為駐點， 那么有 因此有，即1112B5.設函數在處獲得極值，試求常數a，并確定極值的類型在點為極小值.求二階偏導數解：處即解: 令切平面方程 法線方程法向量7在橢球面 上求一點，使函數

9、 在該點沿方向的方導游數為最大解: 設向量 l 的方向余弦為為橢球面上任一點，問題歸結為求在條件下的最大值.設拉格朗日函數解方程組7在橢球面 求一點，使函數 在該點沿方向的方導游數為最大得駐點得駐點在點的方導游數為最大沿方向由知條件可知此題的最大值與最小值一定存在.而且解:由方導游數的計算公式知P133 題15故例1.例2. 求函數在橢球面解: 的方導游數.沿外法線方向 對于封鎖的曲面，上述兩個法向量中，一個指向曲面的外側，另一個那么指向曲面的內側。設那么橢球面上恣意一點 P ( x , y , z ) 處的法向量可取為 指向外側，稱為外法線方向向量指向內側，稱為內法線方向向量上點 處P134

10、 題16解: 例2. 求函數在橢球面的方導游數.沿外法線方向上點 處橢球面在點 處的一個外法線方向向量例3.在第一卦限作橢球面的切平面,解: 設切點為那么切平面的法向量為即切平面方程使其與三坐標面所圍的四面體體積最小, 并求切點和最小體積. P134 題18問題歸結為求在條件下的最小值 .設拉格朗日函數切平面在三坐標軸上的截距為所圍四面體的體積 V 最小等價于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,令由此問題的性質知為所求切點 .得獨一駐點四面體的最小體積為 上求一點 , 使該點處的法線垂直于 在曲面并寫出該法線方程 .解: 設所求點為曲面的法向量利用得平面法線垂直于平面點在曲面上

11、P134 題14那么法線方程為所以法線方程為例4. 例4. 拋物面 被平面 截成一橢圓,求原點到這橢圓的最長與最短間隔。分析：設 為橢圓上任一點, 那么 到原點的距. 又 點既在拋物面上, 又在知平面上,故此題可轉化為求目的函數 在約束條件及 下的最大值和最小值。可用拉格朗日乘數法求解。 解：設 橢圓上任一點，那么它到原點的間隔為 下面求 在約束條件及 下的最值.離為P121 題11解方程組 得兩個駐點 由題意可知這種間隔的最大值與最小值一定存在；而駐點只需兩個,故最大值、最小值一定在這兩個駐點處獲得。 由于 故最長間隔為 最短間隔為 作拉格朗日函數P92證明: 隱函數求導法P92 11解法2

12、 復合函數求導法.由于 t 是由方程當(1)將上面的兩個式子代入(1), 得時,確定的 x, y 的隱函數,故P89解法3 微分法.對各方程兩端分別求全微分,得由(2), 得當(2)(1)乘以(1)兩端,并以(3)式代入, 得(3)時,P131 題11 設求解:P131 題11其中 f 具有延續的二階偏導數.這里 仍是以u, x, y 為中間變量的函數, 且與函數 f 有一樣的復合構造,故對它們求偏導要按復合函數求導法那么.P131 題12 設求解:利用行列式解出兩端對x求導，得P131 題12上式中的第一式乘 第二式乘 兩式相減，得上式中的第一式乘 第二式乘 兩式相加，得同理可得因此P131

13、 題12 設求提示:利用行列式解出 du, dv ：代入即得 代入即得 四、運用題7.求函數解: 第一步 求駐點.得駐點: (0, 0) , (0, 2), (1, 1) , (1, 1) .第二步 判別.在點(0,0) 處為極大值;解方程組的極值.求二階偏導數在點(1,1) 處不是極值;在點(0,2) 處為極小值.在點(1,1) 處不是極值;例4.求旋轉拋物面與平面之間的最短間隔.解: 設為拋物面上任一點，那么 P 的間隔為問題歸結為求作拉格朗日函數到平面在條件下的最小值 .令解此方程組得獨一駐點由實踐意義最小值一定存在 ,且有獨一駐點,故2. 設均可微, 且在約束條件(x, y) 0下的一個極值點, 知 (x0, y0) 是 f (x, y)以下選項正確的選項是( ) 提示: 設()代入()得D(2006考研)例3.設有二階延續偏導數, 且求解:例10. 設其中 f 與F分別具解法1 方程兩邊對 x 求導, 得有一階導數或偏導數, 求(1999 考研)解法2 方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得作業 P130 5，6，10， 15，