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1、一階線性微分方程 第四節一、一階線性微分方程*二、伯努利方程 第七章 一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程 ;對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2. 解非齊次方程用常數變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例1. 解方程 解: 先解即積分得即用常數變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例2. 有一電路如圖所示, 電阻 R 和電解: 列方程 .已知經過電阻 R 的電壓降為R i 經過 L的電壓降為因此有即初始

2、條件: 由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,解方程:由初始條件: 得利用一階線性方程解的公式可得暫態電流穩態電流因此所求電流函數為解的意義: 例3. 求方程的通解 .解: 注意 x, y 同號,由一階線性方程通解公式 , 得故方程可變形為所求通解為 這是以為因變量 y 為自變量的一階線性方程*二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利 例4. 求方程的通解.解: 令則方程變形為其通解為將代入, 得原方程通解: 內容小結1. 一階線性方程方法1 先解齊次方程 , 再用

3、常數變易法.方法2 用通解公式化為線性方程求解.2. 伯努利方程3. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如, 解方程法1. 取 y 作自變量: 線性方程 法2. 作變換 則 代入原方程得 可分離變量方程思考與練習判別下列方程類型:提示: 可分離 變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作業第五節 習題課1 備用題1. 求一連續可導函數使其滿足下列方程:提示:令則有線性方程利用公式可求出2. 設有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續解.解: 1) 先解定解問題利用通解公式, 得利用得故有2) 再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3) 原問題的解為( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士數學家, 位數學家. 標和極坐標下的曲率半徑公式, 1695年 版了他的巨著猜度術,上的一件大事, 而伯努利定理則是大數定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多 1694

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