1、Institute of Automotive EngineeringSouthwest Jiaotong University聲學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用 授課大綱2 聲的振動(dòng)理論基礎(chǔ) 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)學(xué) 彈性體振動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的衰減振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的強(qiáng)迫振動(dòng)隔振問題弦的振動(dòng)棒的振動(dòng)膜的振動(dòng)引言一：人耳的構(gòu)造及聽覺特性聲波耳廓（收集）外耳道（振動(dòng)）鼓膜聽小骨 耳蝸（聽覺收集器）聽神經(jīng)大腦聽區(qū)聽覺引言二：聲波的振動(dòng)圖像 聲波是一種機(jī)械波，是機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播。彈性介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的傳播過程，十分類似于在多個(gè)振子相互耦合形成 “質(zhì)量彈簧質(zhì)量彈簧” 的鏈形系統(tǒng)中，一個(gè)振子的運(yùn)動(dòng)會(huì)影響其他振子也跟著運(yùn)動(dòng)的過程。另一

2、個(gè)角度：彈性介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的傳播過程，十分類似于在多個(gè)有質(zhì)量彈簧相互耦合形成 的鏈形系統(tǒng)中，一個(gè)有質(zhì)量彈簧的運(yùn)動(dòng)會(huì)影響其他有質(zhì)量彈簧也跟著運(yùn)動(dòng)的過程。進(jìn)入主題 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)學(xué)將物體視為“質(zhì)點(diǎn)”的聲學(xué)前提： 如果形變從物體的始端到末端的傳播所需的時(shí)間，與物體中形變或振動(dòng)周期（振動(dòng)一次所需的時(shí)間）相比短得多；或者物體的線度與物體中振動(dòng)傳播波長（振動(dòng)一次所傳播的距離）相比小得多，那么這一物體的各部分振動(dòng)狀態(tài)就可以看成近似均勻，而這一振動(dòng)系統(tǒng)就可以近似地看作質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)方程：（牛頓第二定律）單振子：（胡克定律） 彈性系數(shù) 順性系數(shù)，或稱“力順” 振動(dòng)圓頻率，也稱“角頻率” 齊次二階

3、常微分方程 前提：小位移固有頻率：質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的一般規(guī)律：要了解質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的一般規(guī)律，首先要對質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)方程求解。位移 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律呈余弦形，即簡諧振動(dòng)：初始條件：例如自由振動(dòng)的能量： 保守力系統(tǒng)， 機(jī)械能守恒。固有頻率的另一種表示： 靜位移雙彈簧串接系統(tǒng)的振動(dòng)：彈簧串接時(shí)的等效彈性系數(shù)：系統(tǒng)的固有頻率：證：雙彈簧并接系統(tǒng)的振動(dòng)：彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率的影響：系統(tǒng)的等效質(zhì)量：系統(tǒng)的固有頻率： 據(jù)能量守恒定律推導(dǎo)：質(zhì)點(diǎn)的衰減振動(dòng) 這種現(xiàn)象在實(shí)際中是不存在的。 任何實(shí)際系統(tǒng)在作自由振動(dòng)時(shí)都會(huì)出現(xiàn)逐漸衰減的現(xiàn)象，亦即系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)始終會(huì)受到一種阻尼力的作用這種阻尼力作用可能是振動(dòng)物體與周

4、圍媒質(zhì)之間的粘滯摩擦，或者振動(dòng)物體自己的內(nèi)摩擦的效果；也可能是振動(dòng)物體向周圍媒質(zhì)輻射聲波的效果。前者使振動(dòng)能逐漸變化為熱能；后者使振動(dòng)能逐漸轉(zhuǎn)化為聲能。衰減振動(dòng)方程：阻尼的影響前提：仍然限于討論小振動(dòng)，可以認(rèn)為阻尼力與速度成線性關(guān)系。 阻力系數(shù)、阻尼系數(shù)、力阻衰減振動(dòng)方程： 衰減系數(shù) 二階齊次常微分方程 衰減模量衰減振動(dòng)的一般規(guī)律： 衰減振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率衰減振動(dòng)的能量： 由于阻尼的存在，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的平均能量將近似地隨時(shí)間作指數(shù)規(guī)律衰減。質(zhì)點(diǎn)的強(qiáng)迫振動(dòng) 受到外部持續(xù)作用而產(chǎn)生的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)方程： 外力圓頻率 二階非齊次常微分方程強(qiáng)迫振動(dòng)的一般規(guī)律： 阻抗 力抗質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)：當(dāng)穩(wěn)態(tài)時(shí)，系

5、統(tǒng)將以外力頻率作等幅簡諧振動(dòng)；振動(dòng)位移與外力之間還存在一定相位關(guān)系；其振幅除了與外力幅值，外力圓頻率有關(guān)外，還取決于系統(tǒng)的些固有參量；至于系統(tǒng)是如何開始振動(dòng)的，這對穩(wěn)態(tài)振動(dòng)已無關(guān)緊要了。引入力學(xué)品質(zhì)因素：系統(tǒng)的位移共振：歸一化的位移共振曲線位移共振頻率系統(tǒng)的位移共振頻率與固有頻率并不相等！質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的速度規(guī)律：速度共振頻率與力學(xué)品質(zhì)因素?zé)o關(guān)，并恒等于系統(tǒng)的固有頻率。速度共振頻率關(guān)于力學(xué)品質(zhì)因素的進(jìn)一步討論： 其倒數(shù)為系統(tǒng)共振頻帶的寬度質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的加速度規(guī)律：加速度共振頻率系統(tǒng)的加速度共振頻率與固有頻率并不相等！振動(dòng)控制：質(zhì)量（慣性）控制區(qū)：力阻（阻尼）控制區(qū)：彈性（剛度）控制區(qū)：彈

6、性（剛度）控制區(qū)：力阻（阻尼）控制區(qū)：強(qiáng)迫振動(dòng)的能量： 在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)中由于存在阻尼力，系統(tǒng)要不斷損失能量。每秒鐘阻尼力對系統(tǒng)所做的功稱為損耗功率，它表示每秒系統(tǒng)的能量損耗：一周期的平均損耗功率為：當(dāng)速度振幅一定時(shí)系統(tǒng)的平均損耗功率與力阻成正比，力阻愈大損耗功率也愈大。如果力阻是由系統(tǒng)向空間輻射聲波所引起的，那么顯然力阻愈大就表示系統(tǒng)向空間輻射聲波的能量愈多。由聲產(chǎn)生的力阻稱為聲輻射阻，一般頻率愈高聲輻射阻愈大，或頻率愈低聲輻射阻愈小。對于一振動(dòng)系統(tǒng)，低頻的聲輻射往往要比高頻困難得多。 外界強(qiáng)迫力每秒鐘向系統(tǒng)提供的能量，它可用強(qiáng)迫力每秒對系統(tǒng)所做的功來表示，即：取一周期的平均可得：顯然：質(zhì)量（慣性

7、）控制區(qū)：隔振問題 外力是通過系統(tǒng)中的彈簧傳給質(zhì)量塊的，這通常是屬于隔振問題。被動(dòng)（消極）隔振：振源位移傳遞比：位移傳遞比極大值時(shí)的頻率： 彈簧起到隔振作用的條件，實(shí)際上僅限于頻率 時(shí)，而且頻率愈遠(yuǎn)離相應(yīng)的無阻尼系統(tǒng)固有頻率，隔振效果愈好。主動(dòng)（積極）隔振：拾振周期力的強(qiáng)迫振動(dòng)振動(dòng)的拾?。ê喎Q拾振）是隔振的一個(gè)逆問題，一個(gè)任意周期力可表示成一系列頻率為整數(shù)倍的簡諧力的疊加， 彈性體振動(dòng)學(xué)集中參數(shù)系統(tǒng) vs. 分布參數(shù)系統(tǒng)弦的振動(dòng) 理想的振動(dòng)弦是指具有一定質(zhì)量、并有一定長度、性質(zhì)柔順的細(xì)絲或細(xì)繩用一定方式把它張緊，并以張力作為彈性恢復(fù)力進(jìn)行振動(dòng)的彈性體一般說彈性體自身還應(yīng)該具有勁度，但對弦來說，

8、這一自身的勁度與張力相比很小，可以忽略，這就是理想弦的一個(gè)重要特點(diǎn) 弦的振動(dòng)過程是一種較為直觀的波動(dòng)過程的模型，并且對這種振動(dòng)過程的理論處理方法又是處理聲學(xué)問題的一種基礎(chǔ)。 弦的“橫振動(dòng)”：弦的振動(dòng)方程：假設(shè)：（1）小振幅； （2）張力為常數(shù)。 仍然是牛頓第二定律，式中：函數(shù) 的物理意義：弦振動(dòng)方程的一般解：波函數(shù)，它代表了一種以傳播速度 c 向正 x 方向傳播的波動(dòng)過程。函數(shù) 的物理意義： 負(fù) 弦中振動(dòng)傳播速度（波速）：引入有界弦的邊界條件：兩端固定。得： 在有界弦中，在同一時(shí)刻在整個(gè)弦上進(jìn)行著的振動(dòng)具有一定的空間周期性規(guī)律，即有界弦將形成駐波。有界弦自由振動(dòng)的一般規(guī)律（駐波解）：解法：分離

9、變量法，亦稱駐波法設(shè)方程的解可寫成如此形式把一個(gè)偏微分方程分解成兩個(gè)具有單一獨(dú)立變量的常微分方程，具體為邊界條件：控制方程：& 初始條件：弦的總位移：所有簡正振動(dòng)方式的線性疊加。例：波數(shù)引入初始條件得：弦振動(dòng)的能量：其他多種邊界條件：有質(zhì)量負(fù)載的：彈性支撐的：受阻尼作用：近似自由的：棒的振動(dòng) 棒同柔順的弦不同，這種物體認(rèn)為是 “堅(jiān)硬” 的，其恢復(fù)平衡的力主要由自身的勁度（或彈性）所產(chǎn)生，而張力與之相比可以忽略。 棒一般可以進(jìn)行兩種方式的振動(dòng)：縱振動(dòng)與橫振動(dòng)。棒的振動(dòng)規(guī)律可作為以后要研究的聲波在彈性介質(zhì)中傳播的一種簡單模型。前提：（1）截面積均勻的細(xì)棒；（2）小振幅。棒的縱振動(dòng)方程：起點(diǎn)：彈性體

10、的虎克定律（應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系）（牛頓第二定律）棒的縱振動(dòng)傳播速度棒的縱振動(dòng)的一般規(guī)律：（棒_縱）（弦） 波數(shù)不同邊界條件下棒的縱振動(dòng)：兩端固定的棒邊界條件：頻率方程：簡正頻率：棒的總位移：引入初始條件：兩端自由的棒邊界條件：簡正頻率：棒的總位移：兩端自由與兩端固定棒的簡正頻率是相同的。引入初始條件：一端自由一端固定的棒邊界條件：簡正頻率：一端自由一端固定的棒的基頻在同樣長度時(shí)要比前兩種情形低一半，并且它的泛頻與前兩種情形的規(guī)律也不同，對這一種邊界它只存在奇數(shù)的泛頻。如果我們?nèi)⊥婚L度的棒而加以不同的邊界，然后予以相同的敲擊，則有可能激發(fā)出的基頻與泛頻都不相同，以致感到它們發(fā)出聲音的音調(diào)與音色也不一

11、樣。一端自由一端有質(zhì)量負(fù)載的棒邊界條件：頻率方程：這種邊界的振動(dòng)頻率不僅與棒長有關(guān)，而且還同質(zhì)量比有關(guān)。重棒輕負(fù)載：輕棒重負(fù)載：近似于兩端自由近似于一端自由一端固定特殊中間情形：一端固定，一端有質(zhì)量負(fù)載的棒邊界條件：頻率方程：當(dāng) 時(shí)，可以得出棒的最小一個(gè)固有頻率近似為：式中：式中：一端自由一端受簡諧外力作用的棒邊界條件：即：兩端自由棒的簡正頻率棒短、外力頻率低：復(fù)合棒的振動(dòng)邊界條件： 兩棒連接處的位移連續(xù)與力平衡條件：假設(shè)：兩根棒都用相同材料做成，長度也相同，僅是截面積不同。取：令：得：“聚能” 的作用棒的橫振動(dòng)方程：起點(diǎn)：彈性體的虎克定律因?yàn)橹行悦娴纳习氩亢拖掳氩渴菍ΨQ的，所以作用在該元段上

12、總的縱向力正負(fù)抵消，合力為零。 然而在此縱向力作用下彎矩不為零，求得： K 稱為截面回轉(zhuǎn)半徑而小振幅情況下的曲率半徑由于棒的彎曲，在棒的橫截面上還會(huì)產(chǎn)生剪力，也稱橫向力。為： 在棒的橫振動(dòng)方程中出現(xiàn)了對 x 的四階導(dǎo)數(shù)，因此該方程的一般解將出現(xiàn)四個(gè)待定常數(shù)。這就是說為了能完全地確定棒的振動(dòng)狀態(tài)，就需要有四個(gè)邊界條件。然而棒僅有兩個(gè)邊界，因而每個(gè)邊界應(yīng)該也必定同時(shí)存在兩個(gè)邊界條件。棒的橫振動(dòng)的一般規(guī)律：仍用 “分離變量法” 來求解，令：代入，得：棒的橫振動(dòng)的邊界條件：鉗定邊界剛性支撐邊界自由邊界例：音叉的工作原理 一端鉗定一端自由的棒l 端0 端 這時(shí) n 次的泛頻已不是基頻的整數(shù)倍，并且 n 增大，比值遞增更快。很明顯如果敲擊此棒，它發(fā)出的頻率將包含比基頻高得多的一些泛頻，因而人們感到由它發(fā)出的聲音常常是音調(diào)尖而不和諧。但是一般說來，棒作振動(dòng)時(shí)總會(huì)受到阻尼而產(chǎn)生衰減，而且頻率愈高衰減得愈快，所以開始時(shí)由棒的振動(dòng)而發(fā)出的音調(diào)尖而帶有刺耳感的聲音，很快就變成幾乎全是基頻的純音了。膜的振動(dòng) 所謂物理上的膜就是當(dāng)它受外力擾動(dòng)后，恢復(fù)其平衡的力主要是張力，材料自身的勁度同張力相比可以忽略。膜與弦類似，一定要把它張緊才能引起振動(dòng)。膜實(shí)際上是把弦推廣到二維空間，即平面坐標(biāo)情況。膜的振動(dòng)方程：弦的振動(dòng)方程：直接推廣：可做