1、窗體頂端第三章第一節測量誤差的處理知識點：系統誤差的發現和減小系統誤差的方法根據誤差理論及相關知識，區分兩類不同性質的誤差，并能在實際測量工作中減小系統誤差和系統誤差。誤差的一般分類1 系統誤差（可定誤差）系統誤差的特性重復出現、恒定不變（一定條件下）、單向性、大小可測出并校正，故有稱為可定誤差。可以用對照試驗、空白試驗、校正儀器等辦法加以校正。2. 隨機誤差（不可定誤差）產生原因與系統誤差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。例如：測定時環境的溫度、濕度和氣壓的微小波動，以其性能的微小變化等。隨機誤差的特性：有時正、有時負，有時大、有時小，難控制（方向大小不固定，似無規律）；但在消除系統誤差

2、后，在同樣條件下進行多次測定，則可發現其分布也是服從一定規律（統計學正態分布），可用統計學方法來處理。 3一般規律認識系統誤差可檢定和校正隨即誤差可控制只有校正了系統誤差和控制了偶然誤差，測定結果才可靠。系統誤差可能由儀器誤差、裝置誤差、人為誤差、外界誤差及方法誤差引起，因此要發現系統誤差是哪種誤差引起的不太容易，而要完全消除系統誤差則是更加困難的。（一）系統誤差的發現(1)在規定的測量條件下多次測量同一個被測量，從所得測量結果與計量標準所復現的量值之差可以發現并得到恒定的系統誤差的估計值。(2)在測量條件改變時，例如隨時間、溫度、頻率等條件改變時，測量結果按某一確定的規律變化，可能是線性地或

3、非線性地增長或減小，就可以發現測量結果中存在可變的系統誤差。(二)減小系統誤差的方法要完全消除系統誤差比較困難，但降低系統誤差則是可能的。降低系統誤差的首選方法是用標準件校準儀器，作出校正曲線；最好是請計量部門或儀器制造廠家校準儀器；其次是實驗時正確地使用儀器，如調準儀器的零點、選擇適當的量程、正確地進行操作等。通常，消除或減小系統誤差有以下幾種方法：1.采用修正的方法對系統誤差的已知部分，用對測量結果進行修正的方法來減小系統誤差。已修正測量結果=未修正測量結果+修正值2.在實驗過程中盡可能減少或消除一切產生系統誤差的因素3.選擇適當的測量方法，使系統誤差抵消而不致帶入測量結果中的誤差符號相反

4、。試驗和測量中常用的幾種方法：(1)恒定系統誤差消除法異號法改變測量中的某些條件，例如測量方向、電壓極性等，使兩種條件下的測量結果中的誤差符號相反，取其平均值以消除系統誤差。交換法將測量中的某些條件適當交換，例如被測物的位置相互交換，設法使兩次測量中的誤差源對測結果的作用相反，從而抵消了系統誤差。替代法保持測量條件不變，用某一已知量值的標準器替代被測件再作測量，使指示儀器的指示不變或指零，這時被測量等于已知的標準量，達到消除系統誤差的目的。 (2)可變系統誤差消除法合理地設計測量順序可以消除測量系統的線性漂移或周期性變化引入的系統誤差。用對稱測量法消除線性系統誤差半周期偶數測量法消除周期性系統

5、誤差這種方法廣泛用于測角儀上。周期性系統誤差通常可以表示為：=asin2l/t 式中：t誤差變化的周期；l決定周期性系統誤差的自變量(如時間、角度等)。由公式可知，因為相隔t/2半周期的兩個測量結果中的誤差是大小相等符號相反的。所以凡相隔半周期的一對測量值的均值中不再含有此項系統誤差。 (三)修正系統誤差的方法1.在測量結果上加修正值修正值的大小等于系統誤差估計值的大小，但符號相反。 當測量結果與相應的標準值比較時，測量結果與標準值的差值為測量結果系統誤差估計值。 注注意的是：當對測量儀器的示值進行修正時，為儀器的示值誤差=xxs 式中：x被評定的儀器的示值或標稱值；xs標準裝置給出的標準值。

6、則修正值c為c= 已修正的測量結果xc為 2.對測量結果乘修正因子修正因子cr等于標準值與未修正測量結果之比已修正的測量結果xc為 3.畫修正曲線當測量結果的修正值隨某個影響量的變化而變化，這種影響量例如溫度、頻率、時間、長度等，那么應該將在影響量取不同值時的修正值畫出修正曲線，以便在使用時可以查曲線得到所需的修正值。例如電阻的溫度修正曲線的示意圖如圖3-3所示。實際畫圖時，通常要采用最小二乘法將各數據點擬合成最佳曲線或直線。 4.制定修正值表當測量結果同時隨幾個影響量的變化而變化時，或者當修正數據非常多且函數關系不清楚等情況下，最方便的方法是將修正值制定成表格，以便在使用時可以查表得到所需的

7、修正值。提示注意的是：(1)修正值或修正因子的獲得，最常用的方法是將測量結果與計量標準的標準值比較得到，也就是通過校準得到。修正曲線往往還需要采用實驗方法獲得。 (2)修正值和修正因子都是有不確定度的。在獲得修正值或修正因子時，需要評定這些值的不確定度。(3)使用已修正測量結果時，該測量結果的不確定度中應該考慮由于修正不完善引入的不確定度分量。 測量結果的誤差，按其組成分量的特性可分為(b、c)。a、測量誤差b、隨機誤差c、系統誤差d、計算誤差e、主觀誤差窗體底端窗體頂端知識點：計量器具誤差的表示與評定(一)最大允許誤差的表示形式計量器具又稱測量儀器。測量儀器的最大允許誤差是由給定測量儀器的規

8、程或規范所允許的示值誤差的極限值。它是生產廠規定的測量儀器的技術指標，又稱允許誤差極限或允許誤差限。最大允許誤差有上限和下限，通常為對稱限，表示時要加“”號。最大允許誤差可以用絕對誤差、相對誤差、引用誤差或它們的組合形式表示。1.用絕對誤差表示的最大允許誤差例如，標稱值為1的標準電阻，說明書指出其最大允許誤差為0.0l，即示值誤差的上限為+0.01，示值誤差的下限為0.01，表明該電阻器的阻值允許在0.991.01范圍內。 2.用相對誤差表示的最大允許誤差相對誤差表示的最大允許誤差是其絕對誤差與相應示值之比的百分數。例如：測量范圍為lmv10v的電壓表，其允許誤差限為1%。這種情況下，在測量范

9、圍內每個示值的絕對允許誤差限是不同的。如1v時，為1%1v=0.01v，而10v時，為1%10v=0.1v。最大允許誤差用相對誤差形式表示，有利于在整個測量范圍內的技術指標用一個誤差限來表示。 3.用引用誤差表示的最大允許誤差引用誤差表示的最大允許誤差是絕對誤差與特定值之比的百分數。特定值又稱引用值，通常用儀器測量范圍的上限值(俗稱滿刻度值)或量程作為特定值。例如：一臺電流表的技術指標為3%fs，這就是用引用誤差表示的最大允許誤差，fs為滿刻度值的英文縮寫。又如一臺0150v的電壓表，說明書說明其引用誤差限為2%，說明該電壓表的任意示值的允許誤差限均為2%150v=3v。用引用誤差表示最大允許

10、誤差時，儀器在不同示值上的用絕對誤差表示的最大允許誤差相同，因此越使用到測量范圍的上限時相對誤差越小。絕對誤差引用誤差特定值（滿刻度值）絕對誤差相對誤差示值 4.組合形式表示的最大允許誤差組合形式表示的最大允許誤差是用絕對誤差、相對誤差、引用誤差幾種形式組合起來表示的儀器技術指標。例如：一臺脈沖產生器的脈寬的技術指標為(p10%+0.025s)，就是相對誤差與絕對誤差的組合；又如：一臺數字電壓表的技術指標：(1106量程十2106讀數)，就是引用誤差與相對誤差的組合。值得注意的是最大允許誤差有上下兩個極限，應該有“”。 (二)計量器具示值誤差的評定計量器具的示值誤差是指計量器具(即測量儀器)的

11、示值與相應測量標準提供的量值之差。在計量檢定時，用高一級計量標準所提供的量值作為約定值，稱為標準值；被檢儀器的指示值或標稱值統稱為示值。則示值誤差可以用下式表示：示值誤差=示值一標準值根據被檢儀器的情況不同，示值誤差的評定方法有比較法、分部法和組合法幾種。（1)比較法。例如：電子計數式轉速表的示值誤差是由轉速表對一定轉速輸出的標準轉速裝置多次測量，由轉速表示值的平均值與標準轉速裝置轉速的標準值之差得出。（2）分部法。例如：靜重式基準測力計是通過對加荷的各個砝碼和吊掛部分質量的測量，分析當地的重力加速度和空氣浮力等因素，得出基準測力計的示值誤差。(3)組合法。例如：用組合法鑒定標準電阻，被檢定的

12、一組電阻和已知標準電阻具有同一標稱值，將被檢定的一組電阻與已知標準電阻進行相互比較，被檢定的一組電阻間也相互比等實物量具的檢定可以采用組合法。1.計量器具的絕對誤差和相對誤差計算(1)絕對誤差的計算示值誤差可用絕對誤差表示，按下式計算式中： 用絕對誤差表示的示值誤差； x被檢儀器的示值；知識點：計量器具誤差的表示與評定xi標準值。示值誤差是有符號有單位的量值，其計量單位與被檢儀器示值的單位相同，可能是正值，也能是負值，表明儀器的示值是大于還是小于標準值。當示值誤差為正值時，正號可以省略。示值誤差為多次測量結果的平均值情況下，示值誤差是被檢儀器的系統誤差的估計值。如需要對示值進行修正，則知識點：

13、計量器具誤差的表示與評定修正值c由下式計算c= 修正值與誤差的估計值大小相等而符相反。 (2)相對誤差的計算相對誤差是測量儀器的示值誤差除以相應示值之商。相對誤差用符號 表示，按下式計算在誤差的絕對值較小情況下，示值相對誤差也可用下式計算相對誤差同樣有正號或負號，但由于它是一個相對量，一般沒有單位(即量綱為1)，常用百分數表示，有時也用其他形式表示(如m/)。 2計量器具的引用誤差的計算引用誤差是測量儀器的示值的絕對誤差與該儀器的特定值之比。特定值又稱引用值(xn)，通常是儀器測量范圍的上限值(或稱滿刻度值)或量程。通常是儀器測量范圍的上限值(或稱滿刻度值)或量程。引用誤差i按下式計算 引用誤

14、差同樣有正號或負號，它也是一個相對量，一般沒有單位(即量綱為1)，常用百分數表示，有時也用其他形式表示(如m/)。 (三)檢定時判定計量器具合格或不合格的判據1.什么是符合性評定計量器具(測量儀器)的合格評定又稱符合性評定，就是評定儀器的示值誤差是否在最大允許誤差范圍內，也就是測量儀器是否符合其技術指標的要求，凡符合要求的判為合格。評定的方法就是將被檢計量器具與相應的計量標準進行技術比較，在檢定的量值點上得到被檢計量器具的示值誤差，再將示值誤差與被檢儀器的最大允許誤差相比較確定被檢儀器是否合格。2.測量儀器示值誤差符合性評定的基本要求按照jjfl094一2002測量儀器特性評定的規定，對測量儀

15、器特性進行符合性評定時，若評定示值誤差的不確定度滿足下面要求：評定示值誤差的測量不確定度(u95或k=2時的u)與被評定測量儀器的最大允許誤差的絕對值(mpev)之比小于或等于1：3，即滿足 u951/3mpev 時，示值誤差評定的測量不確定度對符合性評定的影響可忽略不計(也就是合格評定誤判概率很小)，此時合格判據為 判為合格不合格判據為 判為不合格(3-28)式中： 被檢儀器示值誤差的絕對值；mpev被檢儀器示值的最大允許誤差的絕對值。對于型式評價和仲裁鑒定，必要時u95與mpev之比也可取小于或等于1：5。 3.考慮示值誤差評定的測量不確定度后的符合性評定依據計量檢定規程以外的技術規范對測

16、量儀器示值誤差進行評定，并且需要對示值誤差是否符合最大允許誤差做出符合性判定時，必須對評定得到的示值誤差進行測量不確定度評定，當示值誤差的測量不確定度(u95或是k=2時的u)與被評定測量儀器的最大允許誤差的絕對值(mpev)之比不滿足小于或等于1：3的要求時，必須要考慮示值誤差的測量不確定度對符合性評定的影響。(1)合格判據當被評定的測量儀器的示值誤差的絕對值小于或等于其最大允許誤差的絕對值mpev與示值誤差的擴展不確定度u95之差時可判為合格，即 判為合格 (2)不合格判據當被評定的測量儀器的示值誤差的絕對值大于或等于其最大允許誤差的絕對值mpev與示值誤差的擴展不確定度u95之和時可判不

17、合格，即 判為不合格(3)待定區當被評定的測量儀器的示值誤差既不符合合格判據又不符合不合格判據時，為處于待定區。這時不能下合格或不合格的知識點：計量器具誤差的表示與評定結論，即 判為待定區當測量儀器示值誤差的評定處于不能做出符合性判定時，可以通過采用準確度更高的計量標準、改善環境條件、增加測量次數和改善測量方法等措施，以降低示值誤差評定的測量不確定度u95后再進行合格評定。對于只具有不對稱或單側允許誤差限的被評定測量儀器，仍可按照上述原則進行符合性評定。窗體頂端第三章 第二節 測量不確定度的評定與表示知識點：統計技術應用根據測量不確定度評定與表示方法，分析測量不確定度的來源，評定測量結果的a類

18、與b類不確定度標準不確定度分量，處理不確定度分量間的相關性，計算合成標準不確定度，確定測量結果的擴展不確定度，報告測量結果及其測量不確定度。（一）概率分布概率分布(p)是一個隨機變量取任何給定值或屬于某一給定值集的概率隨取值而變化的函數，該函數稱為概率密度函數。概率分布通常用概率密度函數隨隨機變量變化的曲線來表示“概率分布曲線”測量值x落在區間a，b內的概率p可用式(332)計算式中，p(x)為概率密度函數，數學上積分代表面積。由此可見，概率p是概率分布曲線下在區間a，b內所包含的面積，又稱包含概率或置信水平。當p=0.9，表明測量值有90%的可能性落在該區間內，該區間包含了概率分布下總面積的

19、90%。在( +)區間內的概率為1，即隨機變量在整個值集的概率為1；當p=1(即概率為1)表明測量值以100%的可能性落在該區間內，也就是可以相信測量值必定在此區間內。(二)概率分布的數學期望、方差和標準偏差1.期望期望又稱(概率分布或隨機變量的)均值(mean)或期望值，有時又稱數學期望。常用符號表示，也可用e(x)表示被測量x的期望。期望是在無窮多次測量的條件下定義的，通俗地說：無窮多次測量的平均值。期望是概率分布曲線與橫坐標軸所構成面積的重心所在的橫坐標，所以期望是決定概率分布曲線位置的量。對于單峰、對稱的概率分布來說，期望值在分布曲線峰頂對應的橫坐標處。因為實際上不可能進行無窮多次測量

20、，因此測量中期望值是可望而不可得的。2方差2測量值與期望值之差是隨機誤差，用表示，i=xi，方差就是隨機誤差平方的期望值。測量值x的方差還可寫成v(x)，是隨機變量x的每一個可能值對其期望e(x)的偏差的平方的期望，也就是測量的隨機誤差平方的期望方差說明了隨機誤差的大小和測量值的分散程度。但由于方差是平方，使用不方便、不直觀，因此引出了標準偏差這個術語。 3標準偏差（概率分布或隨機變量的）標準偏差是方差的正平方根值，用符號表示，又可稱標準差。 標準偏差是表明測量值分散性的參數，小表明測量值比較集中，大表明測量值比較分散。期望與標準偏差都是以無窮多次測量的理想情況定義的，無法由測量得到和2，因此

21、都是概念性的術語。 (三)有限次測量時的算術平均值和實驗標準偏差1.算術平均值算術平均值 是有限次測量時概率分布的期望的估計值。由大數定理證明，若干個獨立同分布的隨機變量的平均值以無限接近于1的概率接近于其期望值，所以算術平均值其期望的最佳估計值。因此，通常用算術平均值作為被測量的最佳估計值，即作為測量結果。在相同條件下對被測量x進行有限次n的重復測量，得到一系列測量值xl，x2，xn，其算術平均值為 算術平均值是有限次測量的平均值，它是由樣本構成的統計量，它也是有概率分布的。 約定真值可以通過( e)途徑獲得。a、校準b、檢定c、更高準確度等級的測量儀器d、主觀認為e、多次測量 2.實驗標準

22、偏差用有限次測量的數據得到的標準偏差的估計值稱為實驗標準偏差，用符號s表示。實驗標準偏差s是有限次測量時標準偏差的估計值。最常用的估計方法是貝塞爾公式法，即在相同條件下，對被測量x作以次重復測量，每次測得值為xi，測量次數為n，則n次測量中某單個測得值xk實驗標準偏差按式(341)估計式中： v=n1自由度；知識點：統計技術應用s(x)(測量值x的)實驗標準偏差。 在給出標準偏差的估計值時，自由度越大，表明估計值的可信度越高。(n1)越大，1/ n1值越小，則其s(x)值也越小(四)正態分布正態分布又稱高斯分布，其概率密度函數p(x)為1.正態分布的特性正態分布曲線：正態分布圖，具有如下特征：

23、單峰：概率分布曲線在均值處具有一個極大值；對稱分布：正態分布以x= 為其對稱軸，分布曲線在均值的兩側是對稱的;當x 時，概率分布曲線以x軸為漸近線；概率分布曲線在離均值等距離(即x=)處兩邊各有一個拐點；分布曲線與x軸所圍面積為1，即各樣本值出現概率的總和為1；為位置參數，為形狀參數。由于，能完全表達正態分布的形態，所以常用簡略符號xn(,)表示正態分布。當=0,=1時表示為xn (0，1)，稱為標準正態分布。 （五）常用的非正態分布表38幾種非正態分布的標準偏差與置信因子的關系6. t分布t分布又稱學生分布，是兩個獨立隨機變量之商的分布。如果隨機變量x是期望值為的正態分布，設其算術平均值與其

24、期望之差與算術平均值的實驗標準偏差之比為新的隨機變量t。 (六)相關性和相關系數1.相關性相關性是描述兩個或多個隨機變量間的相互依賴關系的特性。如果兩個隨機變量x和y，其中一個量的變化會導致另一個量的變化，就說這兩個量是相關的。2.協方差協方差是兩個隨機變量相互依賴性的度量。兩個隨機變量x和y，各自的誤差之積的期望稱為x和y的協方差，用符號cov(x，y) 或v(x，y) 表示定義的協方差是在無限多次測量條件下的理想概念，根據有限次測量數據得到協方差的估計值。協方差的估計值用s(x，y)表示式中： 有限次測量時兩個隨機變量的一對算術平均值 的協方差估計值用 表示， 3.相關系數相關系數也是兩個

25、隨機變量之間相互依賴性的度量，它等于兩個隨機變量間的協方差除以它們各自的方差乘積的正平方根，用p(x，y)表示。定義的相關系數也是在無限多次測量條件下的理想概念。根據有限次測量數據，得到相關系數估計值。相關系數的估計值用r(x，y)表示，用式(351)求得式中，s(x)和s(y)分別為x和y的實驗標準偏差。 4.相關系數與協方差的關系(1)相關系數是一個純數字，相關系數的值在1到+1之間，它表示兩個量的相關程度，通常比協方差更直觀。相關系數為零，表示兩個量不相關；相關系數為+1，表明x與y正全相關(正強相關)，即隨著x增大y也增大；相關系數為1，表明x與y負全相關(負強相關)，即隨著x 增大y

26、變小。(2)協方差估計值s(x,y)與相關系數估計值r(x，y)的關系式中，s(x)和s(y)分別為x和y的實驗標準偏差。第三章 第二節 測量不確定度的評定與表示知識點：gum法評定不確定度的一般步驟 gum法評定不確定度的一般步驟 圖313不確定度評定的 流程圖 知識點：測量不確定度的評定方法(一)分析測量不確定度的來源不確定度來源的分析取決于對測量方法、測量設備、測量條件及對被測量的詳細了解和認識，必須具體問題具體分析。所以，測量人員必須熟悉業務、鉆研專業技術，深入研究有哪些可能的因素會影響測量結果，根據實際測量情況分析對測量結果有明顯影響的不確定度來源。通常測量不確定度來源從以下方面考慮

27、：1.被測量的定義不完整例如：定義被測量是一根標稱值為lm長的鋼棒的長度，要求測準到1m量級。此時被測鋼棒受溫度和壓力的影響已經比較明顯，而這些條件沒有在定義中說明，不同溫度、不同壓力下可以得出不同的測量結果，由于定義細節的不完整對測量結果會引入不確定度。 2.復現被測量的測量方法不理想例如：在微波測量中“衰減”量是在匹配條件下定義的，但實際測量系統不可能理想匹配，因此要考慮失配引入的測量不確定度。3.取樣的代表性不夠，即被測樣本不能代表所定義的被測量4.對測量過程受環境影響的認識不恰如其分或對環境的測量與控制不完善例如：以測量木棒長度為例，如果實際上濕度對木棒的測量有明顯影響，但測量時由于認

28、識不足而沒有采取措施，在評定測量結果的不確定度時，應把濕度的影響引起的不確定度考慮進去。5.對模擬式儀器的讀數存在人為偏移模擬式儀器在讀取其示值時一般要在最小分度內估讀，由于觀測者的位置或個人習慣的不同等原因可能對同一狀態的指示會有不同的讀數，這種差異引入不確定度。6.測量儀器的計量性能的局限性通常情況下，測量儀器的不準(最大允許誤差)是影響測量結果的最主要的不確定度來源。例如：用天平測量物體的重量時，測量結果的不確定度必須包括所用天平和砝碼引入的不確測量儀器的其他計量特性如儀器的分辨力、靈敏度、鑒別力(閾)、分辨力、死區及穩定性等的影響也應根據情況加以考慮。 7.測量標準或標準物質提供的量值

29、的不準確計量校準中被校儀器是用與測量標準比較的方法實現校準的。對于給出的校準值來說，測量標準(包括標準物質)的不確定度是其主要的不確定度來源。8.引用的數據或其他參量值的不準確例如測量黃銅棒的長度時，為考慮長度隨溫度的變化，要用到黃銅的線膨脹系數a，查數據手冊可以得到所需的a值。該值的不確定度是測量結果不確定度的一個來源。9.測量方法和測量程序的近似和假設例如：被測量表達式的近似程度；自動測試程序的迭代程度；電測量中由于測量系統不完善引起的絕緣漏電、熱電勢、引線電阻等，均會引起不確定度。10.在相同條件下被測量在重復觀測中的變化在實際工作中，通常多次測量可以得到一系列不完全相同的數據，測量值具

30、有一定的分散性，這是由諸多的隨機因素影響造成的，這種隨機變化常用測量重復性表征，也就是重復性是測量結果的不確定度來源之一。除此之外，如果已經對測量結果進行了修正，給出的是已修正測量結果，則還要考慮修正值不完善引入的測量不確定度。通常，在分析測量結果的不確定度來源時，可以從測量儀器、測量環境、測量方法、被測量等方面全面考慮，應盡可能做到不遺漏、不重復。特別應考慮對測量結果影響較大的不確定度來源。 (二)建立測量的數學模型1.測量的數學模型測量的數學模型是指測量結果與其直接測量的量、引用的量以及影響量等有關量之間的數學函數關系。當被測量y由n個其他量xl，x2，xn的函數關系確定測量的數學模型是指

31、測量結果與其直接測量的量、引用的量以及影響量等有關量之間的數學函數關系。當被測量y由n個其他量xl，x2，xn的函數關系確定時，被測量的數學模型為y=f(xl，x2，xn) (354) 被測量的測量結果稱輸出量，輸出量y的估計值y是由各輸入量xi的估計值xi按數學模型確定的函數關系f計算得到y=f(xl，x2，xn) (355) 數學模型中輸入量可以是：(1)當前直接測量的量；(2)由以前測量獲得的量；(3)由手冊或其他資料得來的量；(4)對被測量有明顯影響的量。當被測量y由直接測量得到，且寫不出各影響量與測量結果的函數關系時，被測量的數學模型為y=x1-x2或y=x 例如：用溫度計測量一杯水

32、的溫度，測量結果y就是溫度計(測量器具)的示值x。又如：用卡尺測量工件的尺寸時，則工件的尺寸就等于卡尺的示值。通常用多次重復測量的算術平均值作為被測量的測量結果。(三)標準不確定度分量的評定l.標準不確定度分量的a類評定方法對被測量x，在同一條件下進行n次獨立重復觀測，觀測值為xi(i=1，2，n)，得到算術平均值 及實驗標準偏差s(x)。算術平均值 作為被測量的最佳估計值，算術平均值 的實驗標準偏差就是測量結果的a類標準不確定度u(x) 注意：公式中的n為獲得平均值時的測量次數。(1)基本的標準不確定度a類評定流程(見圖314) 圖3l4標準度a類評定流程圖 (2)測量過程的a類標準不確定度

33、評定對一個測量過程，如果采用核查標準核查的方法使測量過程處于統計控制狀態，則該測量過程的實驗標準偏差為合并樣本標準偏差sp。若每次核查時測量次數n相同(即自由度相同)，每次核查時的樣本標準偏差為si，共核查k次，則合并樣本標準偏差sp為此時sp的自由度v=(n1)k。則在此測量過程中，測量結果的a類標準不確定度為式中的n為獲得測量結果時的測量次數。 (3)規范化常規測量時a類標準不確定度評定規范化常規測量是指已經明確規定了測量程序和測量條件下的測量，如日常按檢定規程進行的大量同類被測件的檢定，當可以認為對每個同類被測量的實驗標準偏差相同時，通過累積的測量數據，計算出自由度充分大的合并樣本標準偏

34、差，以用于評定每次測量結果的a類標準不確定度。在規范化的常規測量中，測量m個同類被測量，得到m組數據，每組測量n次，第j組的平均值為xj，則合并樣本標準偏差sp對每個量的測量結果 的a類標準不確定度自由度為v=m(n1)。若對每個被測件的測量次數nj不同，即各組的自由度vj不等，各組的實驗標準偏差為sj，則式中，vj= nj1。對于常規的計量檢定或校準，當無法滿足n10時，為使得到的實驗標準差更可靠，如果有可能，建議采用合并樣本標準差sp作為由重復性引入的標準不確定度分量。 窗體底端窗體底端窗體頂端(4)由最小二乘法擬合的最佳直線上得到的預期值的a類標準不確定度由最小二乘法擬合的最佳直線的直線

35、方程：y=a+bx 預期值yi的實驗標準偏差為式中，r(a，b)為a和b的相關系數；sa,sb和sx分別為a，b和x的實驗標準偏差。預期值yi的a類標準不確定度為ua(yi)=sp(yi)。2.標準不確定度分量的b類評定方法標準不確定度的b類評定是借助于一切可利用的有關信息進行科學判斷，得到估計的標準偏差。根據有關信息或經驗，判斷被測量的可能值區間(a，a)；假設被測量值的概率分布；根據概率分布和要求的包含概率p估計包含因子k，則b類標準不確定度ub為ub=a/k 式中a為被測量可能值區間的半寬度；k為包含因子。標準不確定度的b類評定流程見圖315。 (1)b類評定時可能的信息來源及如何確定可

36、能值的區間半寬度區間半寬度b值是根據有關的信息確定的。一般情況下,可利用的信息包括：以前的觀測數據；對有關技術資料和測量儀器特性的了解和經驗；生產部門提供的技術說明文件(制造廠的技術說明書)；知識點：測量不確定度的評定方法校準證書、檢定證書、測試報告或其他提供的數據、準確度等級等；手冊或某些資料給出的參考數據及其不確定度；規定測量方法的校準規范、檢定規程或測試標準中給出的數據；其他有用信息。 例如：制造廠的說明書給出測量儀器的最大允許誤差為，并經計量部門檢定合格，則可能值的區間為(，)，區間的半寬度為 a =校準證書提供的校準值，給出了其擴展不確定度為u，則區間的半寬度為 a=u由手冊查出所用

37、的參考數據，同時給出該數據的誤差不超過，則區間的半寬度為 a =由有關資料查得某參數x的最小可能值為a和最大可能值為a+，區間半寬度可以用下式確定 a=1/2(a+-a) 數字顯示裝置的分辨力為1個數字所代表的量值x，則取當測量儀器或實物量具給出準確度等級時，可以按檢定規程或有關規范所規定的該等別或級別的最大允許誤差或知識點：測量不確定度的評定方法測量不確定度進行評定。根據過去的經驗判斷某值不會超出的范圍來估計區間半寬度a值。必要時，用實驗方法來估計可能的區間。 (2)b類評定時如何假設可能值的概率分布和確定k值概率分布的假設a.被測量受許多相互獨立的隨機影響量的影響，這些影響量變化的概率分布

38、各不相同，但各個變量的影響均很小時，被測量的隨機變化服從正態分布。b.如果有證書或報告給出的擴展不確定度是u90。、u95或u99，除非另有說明，可以按正態分布來評定b類標準不確定度。c.一些情況下，只能估計被測量的可能值區間的上限和下限，測量值落在區間外的概率幾乎為零。若測量值落在該區間內的任意值的可能性相同，則可假設為均勻分布。d.若落在該區間中心的可能性最大，則假設為三角分布。e.若落在該區間中心的可能性最小，而落在該區間上限和下限處的可能性最大，則假設為反正弦分布。f.對被測量的可能值落在區間內的情況缺乏了解時，一般假設為均勻分布。實際工作中，可依據同行專家的研究和經驗來假設概率分布。

39、k值的確定a.已知擴展不確定度是合成標準不確定度的若干倍時，則該倍數(包含因子)就是k值。 b.假設概率分布后，根據要求的置信概率查表得到置信因子k值。例如：如果數字顯示儀器的分辨力為x，則區間半寬度a=x/2，可假設為均勻分布，查表得，由分辨力引起的標準不確定度分量為 若某數字電壓表的分辨力為1v(即最低位的一個數字代表的量值)，則由分辨力引起的標準不確定度分量為：u(v)=0.29 1v=0.29v被測儀器的分辨力會對測量結果的重復性測量有影響。在測量不確定度評定中，當重復性引入的標準不確定度分量大于被測儀器的分辨力所引入的不確定度分量時，可以不考慮分辨力所引入的不確定度分量。但當重復性引

40、入的不確定度分量小于被測儀器的分辨力所引入的不確定度分量時，應該用分辨力引入的不確定度分量代替重復性分量。若被測儀器的分辨力為x，則分辨力引入的標準不確定度分量為0.29x。 常用的概率分布與置信因子的關系見表312和表313。表311正態分布的k值與概率p的關系表312幾種非正態分布時k的值注：為梯形上底半寬度與下底半寬度之比。 （四)合成標準不確定度的計算無論各標準不確定度分量是由a類評定還是b類評定得到，合成標準不確定度是由各標準不確定度分量合成得到的。測量結果y的合成標準不確定度用符號uc(y)表示。1.測量不確定度的傳播律當被測量的測量結果y的數學模型為線性函數y=(x1,x2,xn

41、) 知識點：測量不確定度的評定方法時，測量結果y的合成標準不確定度uc(y)按式(364)計算，此式稱為“不確定度傳播律”。式中： y輸出量的估計值，即被測量的測量結果； xi，xj輸入量的估計值，ij； n輸入量的數量； 偏導數，又稱靈敏系數，可表示為ci，cj；u(xi），u(xj）輸入量xi和xj的標準不確定度；r（xi，xj）輸入量xi與xj的相關系數估計值；r（xi，xj）u(xi）u(xj）=u(xi，xj)輸入量xi與xj的協方差估計值。注：靈敏系數是一個有符號和單位的量值，它表明了輸入量xi的不確定度影響被測量估計值u(xi）的不確定度的靈敏程度。當數學模型為線性函數時，可采用

42、泰勒級數展開，舍去高次項后得到近似的線性函數。 2.輸入量間不相關時合成標準不確定度的評定(1)當各輸入量間不相關，即r（xi，xj）=0時，公式(364)的簡化形式為若設ui(y)是測量結果y的標準不確定度分量則uc(y)由被測量y的標準不確定度分量合成時，可用式(367)評定對于直接測量，可簡單地寫成 (2)當被測量的函數形式為：y=a1x1+a2x2+anxn，且各輸入量間不相關時，合成標準不確定度uc(y)為 (3)當被測量的函數形式為y=a(x1p1 x2p2xnpn)且各輸入量間不相關時，合成標準不確定度uc(y)為如果式(370)中pi=1，則被測量的測量結果的相對合成標準不確定

43、度是各輸入量的相對合成標準不確定度的方和根值 3 .輸入量間相關系數均為+1時合成標準不確定度的評定當所有輸入量都相關，且相關系數為1時，合成標準不確定度uc(y)為當所有輸入量都相關，且相關系數為+1，靈敏系數為1時，合成標準不確定度uc(y)為由此可見，當輸入量都正強相關，且靈敏系數均為1時，合成標準不確定度是各輸入量標準確定度分量的代數和。也就是說，強相關時不再是方和根法合成。4.輸入量間相關時的處理方法(1)在以下情況時可取協方差為零或忽略不計可以判定xi與xj不相關。例如：在不同實驗室用不同測量設備、在不同時間測得的知識點：測量不確定度的評定方法量值，或獨立測量的不同量的測量結果。x

44、i與xj中任意一個量可作為常數處理。認定xi與xj相關的信息不足。(2)用同時觀測兩個量的方法確定協方差估計值對兩個輸入量xi及xj進行同時重復觀測，設xik，xjk分別是輸入量xi及xj的觀測值。k為測量次數(k=1，2，n)。分別為第i個輸入量和第j個輸入量的k次測量的算術平均值；xi與xj的協方差估計值可由式(374)計算 (3)用同時觀測兩個量的方法確定相關系數的估計值根據對x和y兩個量同時測量的n組測量數據，相關系數的估計值按式(375)計算式中，s(x)和s(y)分別為x和y的實驗標準偏差。(4)用經驗公式估計相關系數如果兩個輸入量xi，xj相關，xi變化i會使xj相應變化變化j，

45、則xi和xj的相關系數可用經驗公式(376)估計式中，u(xi）和u(xj）分別xi和xj的標準不確定度。 (5)當兩個量均因與同一個量有關而相關時，協方差的估計方法設xif(q),xj=g(q) ，q是為使xi與xj相關的變量q的估計值，f,g分別表示兩個量與q的測量函數。則xi與xj的協方差按式（376a）計算如果多個變量使xi與xj相關，當時，則協方差按式（376b）計算 5.合成標準不確定度的有效自由度的計算合成標準不確定度uc(y)的自由度稱為有效自由度，用符號veff表示。（1）在以下情況時需要計算有效自由度veff （2）當需要評定up時為求得kp而必須計算 的自由度veff；當

46、用戶為了解所評定的不確定度的可靠程度而提出要求時。有效自由度的計算公式: 當各分量間相互獨立且輸出量解決正態分布或t分布時，合成標準不確定度的有效自由度通常可按式(377)計算得到當測量模型為 時，有效自由度可用相對標準不確定度的形式計算，式378實際計算中，得到的有效自由度veff不一定是一個整數。如果不是整數，可以采用將veff數字舍位到最接近的一個較低的整數。例如計算得到veff=12.65，則取veff=12。有效自由度計算舉例：設y=f(x1 ,x2,x3)=b x1x2x3，x1 ,x2,x3的估計值x1 ,x2,x3分別是nl，n2，n3次測量的算術平均值，n2=10，n2=5，

47、n3=15。它們的相對標準不確定度分別為：u(x1）/ x1=0.25%，u(x2）/ x2=0.57%，u(x3）/ x3=0.82% 這種情況下合成標準不確定度及其有效自由度為6.合成標準不確定度計算流程合成標準不確定度的計算流程如圖316所示。 (五)擴展不確定度的確定1.確定擴展不確定度的流程圖317是確定擴展不確定度的流程圖。 2.擴展不確定度u的評定方法 (1)擴展不確定度以由合成標準不確定度u c乘包含因子k得到u=k uc (379) 測量結果可表示為：y=yu；y是被測量y的最佳估計值，被測量y的可能值以較高的包含概率落在yu，y+u區間內，即yuyy+u，擴展不確定度u是該

48、統計包含區間的半寬度。 (2)包含因子k的選取包含因子k的值是根據u=kuc所確定的區間yu需具有的置信水平來選取。k值一般取2或3。當取其他值時，應說明其來源。為了使所有給出的測量結果之間能夠方便地相互比較，在大多數情況下取k=2。當接近正態分布時，測量值落在由以所給出的統計包含區間內的概率為：若k=2，則由u=2 uc所確定的區間具有的包含概率(置信水平)約為95%。若k=3，則由u=3 uc所確定的區間具有的包含概率(置信水平)約為99%以上。當給出擴展不確定度u時，應注明所取得k值。 3.明確規定包含概率時擴展不確定度up的評定方法當要求擴展不確定度所確定的區間具有接近于規定的包含概率

49、p時，擴展不確定度用符號up表示up=kp uc (380) kp是包含概率為p時的包含因子。(1)接近正態分布時kp的確定根據中心極限定理，當不確定度分量很多，且每個分量對不確定度的影響都不大時，其合成分布接近正態分布，此時若以算術平均值作為測量結果y，通常可假設概率分布為t分布，可以取kp值為t值。即 kp=tp(veff) (381) 根據合成標準不確定度uc(y)的有效自由度veff和需要的置信水平p，查表得到的t值即置信水平為p的包含因子kp。擴展不確定度up=kp uc(y)提供了一個具有包含概率(置信水平)為p的區間y士up。獲得kp的計算步驟為：先求得測量結果的估計值y及其合成

50、標準不確定度uc(y)。按式(382)計算uc(y)的有效自由度veff式中，ci為靈敏系數，u (xi)為輸入量xi的標準不確定度， vi為u (xi)的自由度。當u(xi)為a類標準不確定度時是由n次觀測得到的s(x)或 ，其自由度為vi=n1；當u (xi)為b類標準不確定度時，用式(383)估計自由度vi式中，u(xi)/ u(xi)是標準不確定度u(xi)的相對不確定度，是所評定的u(xi)的不可靠程度。(2)當合成分布為非正態分布時kp的選取如果不確定度分量很少，且其中有一個分量起主要作用，合成分布就主要取決于此分量的分布，可能為非正態分布。當要求確定up，而合成的概率分布為非正態

51、分布時，應根據概率分布確定kp值。例如：若合成分布接近均勻分布，則對p=0.95的kp為1.65，對p=0.99的kp為1.71。若合成分布接近兩點分布，p=0.99，取kp=1；三角分布，p=1.0，取 ；反正弦分布， p=1.0，取 實際上，當合成分布接近均勻分布時，為了便于測量結果間進行比較，有時約定仍取k為2。這種情況下給出擴展不確定度時，包含概率遠大于0.95，所以此時應注明k的值，但不必注明p的值。 測量不確定度的表示方法有(a、d)。a、標準不確定度b、非標準不確定度c、分散性不確定度d、擴展不確定度e、集中不確定度 測量不確定度可用(acde)表示。a、標準差b、最大允許誤差c

52、、標準差的倍數d、置信區間e、說明了置信水平的區間的半寬度 (一)完整的測量結果的報告內容(1)完整的測量結果應包含：被測量的最佳估計值，通常是多次測量的算術平均值或由函數式計算得到的輸出量的估計值；測量不確定度，說明該測量結果的分散性或測量結果所在的具有一定概率的統計包含區間。例如：測量結果表示為：y=yu(k=2)。其中：y是被測量的測量結果，y是被測量的最佳估計值，u是測量結果的擴展不確定度，k是包含因子，k=2說明測量結果在yu區間內的概率約為95%。(2)在報告測量結果的測量不確定度時，應對測量不確定度有充分詳細的說明，以便人們可以正確利用該測量結果。(二)用合成標準不確定度報告測量結果1.在以下情況報告測量結果時使用合成標準不確定度1)基礎計量學研究；(2)基本物理常量測量；(3)復現國際單位制單位的國際比對。合成標準不確定度可以表示測量結果的分散性大小，便于測量結果間的比較。2.帶有合成標準不確定度的測量結果報告的表示(1)要給出被測量y的估計值y及其合成標準不確定度uc(