1、n關于教學方式關于教學方式：1 1）聽大課；）聽大課；2 2）習題課；）習題課；3 3）小班討論課；）小班討論課；4 4）做好筆記。）做好筆記。n關于具體目標及希望關于具體目標及希望：1 1）大二參加全國部分地區大學生物理競賽；）大二參加全國部分地區大學生物理競賽；2 2）大三參加中國大學物理學術競賽；）大三參加中國大學物理學術競賽；3 3）好的績點，為繼續深造打好儲備；）好的績點，為繼續深造打好儲備；4 4）批判性思維，邊學邊研，滾雪球。）批判性思維，邊學邊研，滾雪球。關于內容： 運用矢量和微積分：新視角 守恒律：從不變中找到變化的規律 萬有引力：自然法則力學典型問題：剛體平面平行運動 振動

2、與波：力學成功的范例 關于任課教師關于任課教師包景東：物理系包景東：物理系2 2級教授、博士生導師、物理學與核科學學位級教授、博士生導師、物理學與核科學學位分會主席。分會主席。19841984年年7 7月本科畢業于武漢大學物理系月本科畢業于武漢大學物理系19921992年博士畢業于中國原子能科學研究院年博士畢業于中國原子能科學研究院19961996年在日本京都大學理論物理研究所博士后出站年在日本京都大學理論物理研究所博士后出站獲得的主要獎勵：獲得的主要獎勵：1) 1) 中國青年科技獎中國青年科技獎 （19961996年）年）2) 2) 德國學術交流研究獎德國學術交流研究獎 （20072007年

3、）年）3 3）世界青年氣象學家獎提名）世界青年氣象學家獎提名 （19941994年）年）4 4）北京市高等學校教學名師）北京市高等學校教學名師 （20132013年）年）5) 5) 全國寶鋼優秀教師獎全國寶鋼優秀教師獎 （20132013年）年）6 6）教育部跨世紀優秀人才）教育部跨世紀優秀人才 （20002000年）年）7 7）國務院政府特殊津貼專家）國務院政府特殊津貼專家 （20022002年）年）8 8）北京市高等教育教學成果一等獎）北京市高等教育教學成果一等獎 （20122012年）年）9 9）中國氣象學會青年科技一等獎）中國氣象學會青年科技一等獎 （19931993年）年）1010）

4、中國原子能科學研究院青年論文一等獎）中國原子能科學研究院青年論文一等獎 （19891989年）年）1111）國家精品視頻公開課主講人）國家精品視頻公開課主講人 （20142014年）年）1212）國家級規劃教材主編）國家級規劃教材主編 （20142014年）年）主要學術任職主要學術任職:1）國家自然科學基金委員會數理學部學科評議組成員）國家自然科學基金委員會數理學部學科評議組成員2）中國核物理學會理事）中國核物理學會理事3）中國計算物理學會理事）中國計算物理學會理事4）中國大學生物理學術競賽執委）中國大學生物理學術競賽執委5）全國高等學校統計物理，計算物理教學）全國高等學校統計物理，計算物理教

5、學 兩個委員會副主任兩個委員會副主任6）全國蒙特卡羅方法委員會副主任）全國蒙特卡羅方法委員會副主任7）大學物理大學物理副主編副主編8）原子核物理評論原子核物理評論編委編委9）計算物理計算物理編委編委10）北京師范大學基礎人才培養專家委員會委員）北京師范大學基礎人才培養專家委員會委員一、什么是力學？一、什么是力學？這個問題最淺顯的答案是：一切運動都有它的原因，這個原因就是力。這個問題最淺顯的答案是：一切運動都有它的原因，這個原因就是力。關于運動及其產生運動的原因的學問就是力學。這樣，力學有兩個含義：關于運動及其產生運動的原因的學問就是力學。這樣，力學有兩個含義：(1) (1) 對運動本身的表象描

6、述；對運動本身的表象描述；(2)(2)對運動原因的內在屬性的表述。對運動原因的內在屬性的表述。教育部高等學校物理學教學指導委員會對力學課程的定義和要求是：教育部高等學校物理學教學指導委員會對力學課程的定義和要求是：“力學是研究物體機械運動規律的基礎課程。通過該課程的學習，學生力學是研究物體機械運動規律的基礎課程。通過該課程的學習，學生理解和掌握由實驗和觀測總結的機械運動基本規律，以及運用數學方法理解和掌握由實驗和觀測總結的機械運動基本規律，以及運用數學方法進一步導出力學規律，并學會利用基本和導出規律解決力學問題。進一步導出力學規律，并學會利用基本和導出規律解決力學問題。”中國力學學會如是說：中

7、國力學學會如是說：“力學是自然科學中最重要的一門基礎學科，也力學是自然科學中最重要的一門基礎學科，也是與工程建設聯系最為緊密的一門學科。力學在各種科學知識的普及中是與工程建設聯系最為緊密的一門學科。力學在各種科學知識的普及中起著最為基礎的作用。人們只有對力學有一定程度的理解，才能夠深入起著最為基礎的作用。人們只有對力學有一定程度的理解，才能夠深入理解其他門類的科學知識。理解其他門類的科學知識。”二、力學的分類與地位二、力學的分類與地位力學可以按運動的表象分類：如固體力學、流體力學、空氣動力學、生物力力學可以按運動的表象分類：如固體力學、流體力學、空氣動力學、生物力學、斷裂力學、巖石力學、土力學

8、。也可以按運動原因的內在屬性分類：如學、斷裂力學、巖石力學、土力學。也可以按運動原因的內在屬性分類：如連續介質力學、電動力學、等離子體力學等。在近代，可以按是否有工程屬連續介質力學、電動力學、等離子體力學等。在近代，可以按是否有工程屬性而分類為：工程力學、純粹力學、應用力學等。還可以按研究手段分類為：性而分類為：工程力學、純粹力學、應用力學等。還可以按研究手段分類為：計算力學、理性力學、幾何力學等。計算力學、理性力學、幾何力學等。力學這個學科的大起是在第一次工業革命后。很多的社科詞匯帶有那個時代力學這個學科的大起是在第一次工業革命后。很多的社科詞匯帶有那個時代氣息：如，生產力、活力、能力。但是

9、，在第二次工業革命期間，電力、磁氣息：如，生產力、活力、能力。但是，在第二次工業革命期間，電力、磁力概念被取代，出現了場的概念，能量守恒概念的地位提高了，而動量守恒、力概念被取代，出現了場的概念，能量守恒概念的地位提高了，而動量守恒、角動量守恒的地位下降了，為了強調這種差別性，有時盡可能不使用力學這角動量守恒的地位下降了，為了強調這種差別性，有時盡可能不使用力學這個詞。如，電磁場論取代了電動力學。個詞。如，電磁場論取代了電動力學。這樣，就抽象面上來說，力學就被貶低為與具體對象或工程相聯系的學問。這樣，就抽象面上來說，力學就被貶低為與具體對象或工程相聯系的學問。另一方面，也是出于物理學研究對象越

10、來越遠離日常生活中的現象。在這另一方面，也是出于物理學研究對象越來越遠離日常生活中的現象。在這層意義上，力學就是日常生活中常見物體（物質）的物理學。層意義上，力學就是日常生活中常見物體（物質）的物理學。此后，尤其是量子力學、廣義相對論建立以后，力學就開始地位大落了。此后，尤其是量子力學、廣義相對論建立以后，力學就開始地位大落了。力學，從它的產生之日起就是與工程直接聯系在一起，從而，未來的力學力學，從它的產生之日起就是與工程直接聯系在一起，從而，未來的力學就是在物理學與工程科學間的基礎科學，起橋梁作用。就是在物理學與工程科學間的基礎科學，起橋梁作用。基本粒子的碰撞實驗，能量守恒基本粒子的碰撞實驗

11、，能量守恒+ +動量守恒的結果是：角動量（自旋）動量守恒的結果是：角動量（自旋）守恒并不是它們的導出律。同樣的，能量守恒守恒并不是它們的導出律。同樣的，能量守恒+ +角動量守恒的結果是，動角動量守恒的結果是，動量守恒也不是它們的導出律。也就是說，三者在哲學上是有獨立的基礎地量守恒也不是它們的導出律。也就是說，三者在哲學上是有獨立的基礎地位的。由于這個原因，力學的觀點和方法再次地被重視起來。位的。由于這個原因，力學的觀點和方法再次地被重視起來。物理學和應用物理學專業的教學規范指出：物理學和應用物理學專業的教學規范指出：“力學是培養學生的邏力學是培養學生的邏輯思維及接受新事物的能力，為后續課程的學

12、習奠定扎實的物理基輯思維及接受新事物的能力，為后續課程的學習奠定扎實的物理基礎礎”。三、生活經驗與力學知識研究力學的時候，我們會驚奇地發現，在許多很簡單的事情上我們的日常感覺研究力學的時候，我們會驚奇地發現，在許多很簡單的事情上我們的日常感覺與科學竟然相去甚遠。這里有一個明顯的例子。假如有一個定常的力作用于一與科學竟然相去甚遠。這里有一個明顯的例子。假如有一個定常的力作用于一個物體，那么物體應該如何運動呢？個物體，那么物體應該如何運動呢？“常識常識”告訴我們，這個物體應該一直以告訴我們，這個物體應該一直以相同的速度運動，即做勻速運動。不過，力學卻告訴我們，完全不是這樣的。相同的速度運動，即做勻

13、速運動。不過，力學卻告訴我們，完全不是這樣的。一個恒定不變的力所產生的不是勻速運動，而是加速運動，因為這個力在原來一個恒定不變的力所產生的不是勻速運動，而是加速運動，因為這個力在原來積累的速度上不斷地補充著新的速度。難道說日常生活中的觀察結果大錯特錯積累的速度上不斷地補充著新的速度。難道說日常生活中的觀察結果大錯特錯了嗎？不！這些觀察并非完全錯誤，只不過它們是在極其有限的范圍里發生的了嗎？不！這些觀察并非完全錯誤，只不過它們是在極其有限的范圍里發生的現象。現象。日常觀察的物體是在有摩擦和阻力的情況下運動的。而力學定律說的卻是自由日常觀察的物體是在有摩擦和阻力的情況下運動的。而力學定律說的卻是自

14、由運動的物體。要使物體在有摩擦的情況下保持不變的運動速度，的確是需要向運動的物體。要使物體在有摩擦的情況下保持不變的運動速度，的確是需要向它施加一個恒定不變的力，但是這個力不是用來使物體改變運動速度的，而是它施加一個恒定不變的力，但是這個力不是用來使物體改變運動速度的，而是用來克服運動阻力的，也就是給物體創造自由運動條件的。所以，在有摩擦的用來克服運動阻力的，也就是給物體創造自由運動條件的。所以，在有摩擦的情況下，物體受到一個恒定不變的力的作用而做勻速運動是可能的。情況下，物體受到一個恒定不變的力的作用而做勻速運動是可能的。四、力學黃金律則四、力學黃金律則“力學黃金律則力學黃金律則”告訴我們，

15、任何機器如果在力上討了巧，則在位移長告訴我們，任何機器如果在力上討了巧，則在位移長度，亦即用時上失利。達芬奇在四百年前的一句名言所得好，力學的定度，亦即用時上失利。達芬奇在四百年前的一句名言所得好，力學的定律律“制約著工程師和發明家，使他們不能向自己和別人許諾不可能的東制約著工程師和發明家，使他們不能向自己和別人許諾不可能的東西。西。”包景東包景東 彭彭 婧婧12質點運動學13運動學基本概念14,.,.力學：只描述物體的運動情況 而不涉及物體間的相互作用 與運動變化間的關系：探索為什么物體會運動 描述物體運動和受力的運動學動力關系學 參考物：選取的一個有固定大小和形狀的物體。相對參考物，可以確

16、定其它物體的位置。參考空間：將參考物沿左右、前后、上下三對方向無限擴展，構成三維平直空間。參考系：參考空間 測量時間的時鐘運動學基本概念15:.:.坐標系：在參考空間中任選一點作為原點， 可建立各種坐標系。時間的零點也可任選具有質量而無形狀和大小的點 （由繁到簡將物體模型化為一個點)幾個質點組成的系統質點質點組xzy運動學的研究方法16： 先研究軌跡，再來分析速度。認為軌跡是最基本的，速度則次之。這種方法的特點是先研究運動的大的整體方面，然后再涉及局部細節。這是人們早期研究機械運動所走的一條路，符合人們的認識過程。從大到小： 先研究局部細節，再來分析整體。認為瞬時、局部情況更為基本，弄清瞬時、

17、局部的變化情況之后再來討論整體運動。這是牛頓創建的方法，也是現代物理學的一個基本方法。從小到大質點運動的矢量描述17OrOPrrerre （1） 在參考系上選一個定點作為遠點 ，位置矢量 其大小為 ，沿位置矢量 運動方向的單位矢量 矢量的描述不需要借助任何坐標系學方程 軌道=trrr r （隨時間變化的函數關系為質點運動學方程 質點運動的軌道極為其位置矢量 的矢端曲線）質點運動的矢量描述1800()- ( )0limlimddttPtrr ttr tsrrstrsrs（2） 質點 在時間 內的位移：該時間間隔內位置矢量的增量 描述了質點位置的改變（大小、方向）路程是一個恒正的標量是位移的大小，

18、一般情況下 當時，有即位移 路程質點運動的矢量描述190000()- ( )=0()- ( )d=lim=lim=dsd=lim=lim= d ttttrr ttr tPttttrr ttr trrtttrssttt（3）質點 在時間 內的平均速度 如果，則可以精確描述質點運動的快慢和方向沿軌道切線指向質點運動前方速度矢量大小曾為平均速度 瞬時速度 速率速率質點運動的矢量描述20220=()- ( )=0dd=lim=dd tPtttttatttrarttta （4）質點 的速度是時間平均加速度 瞬時加速的矢量函數（）定義平均加速度為速度的平均變化率 瞬時加速度為平均加速度當時的極限 指向軌道

19、凹側度質點運動的矢量描述210=d=lim=d tt=tra raar rrr ratt （5）描述任意時刻質點位置，其矢端曲線為質點運動軌跡；且，；所以包含質點運動的全部信息，成為運動方程。思考：判斷以下表達式的正誤（1），（2） ，（運動學方程（ ）（）3，（4）2.3,2.4 質點的直線運動22=tr rra r 運動學方程，：（，）；( )x t()x ttx( ) ,( ),()( )(xxxxOxrx t iv ix t iara ix t ixx t vx tax tx研究直線運動，沿質點運動軌跡建立坐標系則運動學方程簡化為，；只有 方向的運動，簡化，0000( )( )( )(

20、)xxxxxtxtttxvavx taxavxv tva t dtx txv t dtt求導數；， ， 積分質點的直線運動23 直線運動可按加速度為零、常量和變量分為： 勻速 勻加速 變三加速類直線運動00202cos()sin()cos()xAtvAtaAtx 例簡諧振動：質點的直線運動2400000(,) ()tx vaab ttt例 物體在 時刻的初始運動狀態為，加速度求 時刻的位置和速度先求 t 時刻的速度dvadt微分關系式 00000()vttvttdvadtab ttdt兩邊積分 0200022000 0001() 211() () 22ttvva tb tta tb tta t

21、b tt質點的直線運動25200001()()2vva ttb tt即：再求 t 時刻的位置dxvdt微分關系：000200001()() 2xttxttdxvdtva ttb ttdt兩邊積分2300000011()()()26xxv tta ttb tt物體運動的初始狀態與積分常數是一一對應的質點的直線運動26(t)rvaavr解題步驟：（1）建立合適的坐標系（2）根據已知條件給出運動方程，求導數得出 和 ； 或給出加速度 ，通過積分求得 和02kk例：跳水運動員沿豎直方向入水，入水速度為，入水后浮力與重力抵消，受水的阻力而減速，其加速度的大小為， 為常數，求入水后運動員速度隨時間的變化規

22、律。質點的直線運動27OOy建立坐標系：取水面 點，豎直向下為正方向建立軸2-yyakv加速度來自阻力2d=-kdyyvvt入水時t=0，vy=v00t220dd=-d=-kdkyvyyyyvvttvv00011-=1+kyyvvvvtv質點的直線運動2821=0.4kkm例：跳水運動員沿豎直方向入水，入水后浮力與重力抵消，受水的阻力而減速，其加速度的大小為，求運動員速度減為入水速度的1/10時，其入水深度？OOy建立坐標系：取水面 點，豎直向下為正方向建立軸2-yyakv加速度來自阻力2d=-kdyyvvt分析：求深度，試圖在深度與速度之間建立聯系質點的直線運動29=( ),( )yyyyv

23、vyvvyyy t隨著運動員的入水深度的增加， 也相應的發生變化因而將 看成 的函數，ddddd=dddyyyyvvvvttyyy導數運算法則2d=-kdyyyvvvy01ln |ydxxCvvx利用積分公式和初始條件t=0,-k0= eyyvv0/105.67yvvym當時，質點的直線運動30000000002000002200( )()1( )( )()()22-2 ( -)xxtttttvxaavxv tvadtva ttx txv t dtxv tta ttvva x x初始時間為 初始速度為 ，初始位移為 ，加速度為的勻變速直線運動方程, 積分，消去上 式中的時間得本題中建立坐標系為

24、本題中建立坐標系為y y方向，因而上式中方向，因而上式中x x用用y y取代取代20000001( )-g()( )()-g()2v tvtty tyv tttt，質點的直線運動31統一坐標法：對于一個問題中不同質點，不同運動階段建立統一的時空坐標。關鍵是利用坐標系來研究問題。00m=19.6m/s1,121例：甲立于9.8 的高臺上，以的速度豎直上拋小球秒后乙從地面地沿同一豎直線以相同速度上拋小球 ，忽略空氣阻力。求：(1)小球 相對于甲上升的最大高度；(2)1、2兩球相遇時相對于甲的高度；(3)小球2由拋出到相遇走過的路程。質點的直線運動3210Oyt 建立坐標法：以小球1拋出點為遠點，豎

25、直向上為正方向建立坐標系，小球 拋出時為計時起點10101 0020202 000(1)10,0,(2)21 ,-9.8 ,-yytyvts ymvvg分析：已知條件小球 的初始條件為小球 的初始條件為小球以 為初速度， 為加速度做勻變速直線運動質點的直線運動332101011( )-g( )-g2v tvty tv tt對小球 ：，210120012( )-g(1)( )(1)-g(1)2v tvty tyv tt對小球 ：，1102101( )0( )-0121( )-19.62v tv tvgttsy tv tgtm（）小球上升到最大高度是，利用得到帶入球 的位移公式1222020012

26、2( )=( )11-(1)-g(1)3.5=8.575m22y ty tv tgtyv tttsyy （ ）2小球相遇時上升，即，質點的直線運動34132( )0 2(3)9.8 (19.6 )23.520.5(9.8-8.575)19.6(9.8-8.575)20.825v tstsmmssmmmm（ ）小球 上升到最大高度是， 后 即時到達最高點位移為實際走過的路程為；球相遇于時刻，即在球 到達最高點回落階段，這內走過總路程為計算質點的路程需要分析質點實際的運動軌跡！計算質點的路程需要分析質點實際的運動軌跡！質點的直線運動35作業作業: P56 2.2.6, 2.3.5, 2.4.3;

27、2.4.5,2.4.7要求：統一坐標法要求：統一坐標法計算過程中盡量不要使用已經推導出來的直線運計算過程中盡量不要使用已經推導出來的直線運動的位移和速度方程，從最原始的動的位移和速度方程，從最原始的=tr rra r 運動學方程，：（，）；出發，推出所需要的位移，速度和時間關系，通出發，推出所需要的位移，速度和時間關系，通過練習，掌握微積分思想。過練習，掌握微積分思想。2.6,2.7平面曲線運動36直角坐標系直角坐標系自然坐標系自然坐標系極坐標系極坐標系平面曲線運動37在質點運動的平面上建立直角坐標系Oxy位置矢量rxiyj( )rr t質點的平面曲線運動方程這個運動方程有兩個分量式( ),(

28、 )xx tyy t平面曲線運動可正交地分解為兩個直線運動平面曲線運動可正交地分解為兩個直線運動質點的位置與坐標(x, y)一一對應( )( )( )r tx t iy t jxyO( )r tP平面曲線運動38速度drdxdyvijrdtdtdt22yxdvdvdvd raijrdtdtdtdtt 時刻質點位于P處，位置矢量t + dt 時刻質點運動到Q處，位矢( )r t()r tt位移()( )rr ttr t 加速度xyO( )r t()r ttrxiyjPQ平面曲線運動39cossin,(1)(2)(3)ratibtjabaa例：已知質點運動學方程為其中 、 、 均為正值常量，試求質

29、點軌跡方程質點 、 隨時間的變化規律證明 指向坐標原點cossincos,sinratibtjxat ybt消去t，得到軌跡方程22221xyab質點的軌跡為橢圓平面曲線運動40cossinratibtj對求導可得(sin )cos(cos )sinxxxx 利用導數公式 -sincosratibtj22-cossinaatibtj2222-cossin=( cossin)aatibtjatibtjr ar可知 與 反向，指向坐標原點平面曲線運動41例：討論不考慮空氣阻力的斜向上拋體運動，求其運動學方程，軌跡方程，水平射程和射高？g0分析：斜拋運動，質點加速度大小為 ，方向豎直向下，初始速度，

30、與水平軸夾角為OxyOOxOy建立坐標系：運動平面為平面，拋出點為原點 ，軸沿拋出方向，軸豎直向上0;xxaxag 0000000,0,cos ,sinxytxyvvvv初始條件平面曲線運動420;xyaxag 對積分2001cos,sin2xt ytgt 22202tan2cosgtyxx消去上 式中的（軌跡方程）0yx水平射程即：位移時，水平位移 (最大值)201sin02ytgt 02sintg 200sin2cos=xtg此時平面曲線運動430y射高即豎直方向速度為 時對應的 方向的位移yag 對積分0sinyvgt0sin=0yvgt令0sin=0yvgt令201sin2ytgt 代

31、入220sin2yg平面曲線運動442tantan100例：討論不考慮空氣阻力的斜向上拋體運動:由傾斜角為 的斜面底部，以向斜面上方拋出一個小球，與斜面夾角為 ，若小球垂直擊中斜面，證明OxyOOxOyOxOxy運動平面為平面，拋出點為原點 ，軸沿斜面向上，軸垂直于軸向上建立直角坐標系平面曲線運動45sincosaggigj 加速度為0000( )( )( )( )ttxxttavxv tva t dtx txv t dt 積分: ，220011cossin,sincos22xtgtytgt 0,0 xy垂直擊中斜面，即00cossin,sincosxygtgt2001cossin0,sinc

32、os02xgtytgt ,2tantan1t消掉 得v平面曲線運動4612例：空心入籃，拋射角2211cossin2xvtgt2211sincos2yvtgt0y 212 sincosvtg22111cossin(2)sinAgxv無極大值，但有極小值10452極小值對應的拋射角xy水平線12xAA作業作業: P58 2.5.1, 2.5.3平面曲線運動47自由度：確定物體的運動狀態所需的獨立坐標的數目。質點在Oxy平面內運動，如果已知軌跡方程為f(x,y)=0(限定在一條曲線上運動)，這時的獨立變量只有一個，可選用自然坐標描述平面曲線運動48在質點運動的軌跡上任選一點O作為原點(弧長起算點)

33、，沿軌跡規定一個弧長正方向，則可用由原點到質點所在地的弧長s(可正可負)來描述質點的位置s=s(t)弧長方程弧長方程與軌跡方程一起等效于運動方程，給出了質點運動學的全部信息。tnee沿軌道切線方向建立單位矢量 ，指向于弧長正方向一致，沿垂至于切線的法線方向建立單位矢量 ，指向軌道凹側。平面曲線運動49, ,P(tni j kee 不同于直角坐標系的單位矢量()為恒矢量,的方向隨質點 的運動，)而改變。,0tntaeeasse把沿單位矢量 ， 的方向作正交分解，得到的自然坐標表達式， 沿軌道切線方向，其大小當時， 與 同向，反之反向,tttttnnv ese aa ea etnaa其中 稱為切線

34、加速度，為法向加速度平面曲線運動50以O1為原點，規定弧長正方向如圖示，建立自然坐標01200=lim=lim+limtttatttOAB和ACD均為等腰三角形，頂角AOB= CAD= 平面曲線運動511 ABOABACDR 21100=limlim ttABatRtR1210,ntaaeR當時，沿法向方向，為法向加速度或向心加速度222220d=(t+ t)-(t)=limdttttaaatt：22d0,=d=ttttttttaeaesea et，當時， 沿切線方向即，平面曲線運動5222td+=dtntnaeeseetRR +2tnseeR切向加速度是因為速度的大小發生變化而產生的加速度分

35、量，法向加速度是由于速度的方向發生變化產生的加速度分量=t平面曲線運動531P質點做一般曲線運動時，在軌道上， 點的曲率圓對于的半徑為曲率半徑 曲率，曲線可以看成無數個曲率圓組成22td+=dtntnaeeseeRtRR將+中 用每點曲率半徑替代22td+=dtntnaeeseet推廣得+2ne一般而言，法向加速度指向曲率圓中心平面曲線運動54計算曲率半徑的運動學方法計算曲率半徑的運動學方法（1）假設一種沿曲線的簡單運動（2）計算各點的速度（3）計算各點的加速度（4）計算與速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）計算曲率半徑2va心平面曲線運動55例例 橢圓半長軸和半短軸處的曲率半徑橢圓半

36、長軸和半短軸處的曲率半徑假設一沿軌道的運動假設一沿軌道的運動cos,sinxAtyBt求速度和加速度（求導）求速度和加速度（求導）22sin,coscos,sinxyxyvAtvBtaAtaBt 求向心加速度求向心加速度在(A, 0)處2aA心，cos t=1在(0, B)處2aB心,sin t=1帶入曲率半徑公式?,2BAABBA2AB心av2自然坐標系中，向心加速度取其大小，而方向總是指向曲率圓中心平面曲線運動5613302(3) - 0.21tORmOsm stm stts例：質點于時自 點進入的圓形軌道，以 為自然坐標原點規定弧長正方向如圖，弧長方程試求時質點的速度和加速度。2,ttt

37、tnsv ese aseeR +1323132 2(3)(0.6) (-1.2)3)(0.6) 2ttnm sm st eam stem sm ste代入t=1s122(2.4)( 1.2)(2.9)tttttnv esem seam sem se 平面曲線運動570,0;0,0;0,0;0,0;tntntntntn思考：如果質點的切向加速度a 和法向加速度a 為以下情況，試問質點做何種運動？（1）aa（2）aa（3）aa（4）aa2tnseeR切向加速度是因為速度的大小發生變化而產生的加速度分量，法向加速度是由于速度的方向發生變化產生的加速度分量作業：P58 2.6.1,2.6.2平面曲線運

38、動58極坐標系( ( ), ( )r tt基矢( ,)re e 任意矢量的分解( , , )rrA rtA eA e與直角坐標系的變換cossin xryr選定參考點和參考方向質點的位置到參考點的距離r到參考點的連線與參考方向的夾角( )r tree平面曲線運動59正交基矢只依賴 ，與 r 無關，質點P處于不同位置，基矢量不同= ( )=( )rreeee, ,P,),rrrae er arae e 在我們定義的極坐標系下，對矢量做正交分解：指沿 點所在處的(進行正交分解，因此根據定義求時，必須要考慮就地的變化平面曲線運動60,=cossin,sincosrreei jeij eij 將 和

39、沿方向正交分解，得d=-sincosddcossindrreijeeije 平面曲線運動61dd=,ddrreeee dddd()+ddddrrrrrreerererrerrer ettt,rrr22dddd()dddd-=( -)(2)rrrrrreearer ererr er erttrer er er e rer rerrett22-,1 d2()drar rarrrrt平面曲線運動62222,xyRsa 質點做圓周運動，其運動軌跡方程為，只需要一個獨立變量描述質點的運動。前面選取了弧長 為基本變量，從而得線到，稱為量描述。-也可以選取角量 為基本變量，用 和 描述圓周運動 角量描述22/ttnrsvvsRaavtsRaaRR 建立極坐標系和自然坐標，規定弧長 正方向與極角 正方向一致 22,-,1 d2()drrrrar rarrrrt平面曲線運動63-也可以選取角量 為基本變量，用 和 描述圓周運動 角量描述222/ttnrvvsRaavtsRRRaaRRR 角速度ddt角加速度22dddtdt平面曲線運動64ESa例：地球 受萬有引力作用，繞太陽 作平面橢圓軌道運動，已知地球的加速度 恒指向太陽，試證明：由太陽指向地球的位置矢量在單位時間內掃過的