1、6 6速度勢函數(shù)和流函數(shù)的主要性質(zhì)速度勢函數(shù)和流函數(shù)的主要性質(zhì) (1) (1) 速度勢函數(shù)的等值線與流線正交，速度勢函數(shù)的等值線與流線正交， 流函數(shù)的等值線與流線重合。流函數(shù)的等值線與流線重合。 , ,x y tC由數(shù)學知又流線與 v v = 相切所以 (x, y, t) = C 與流線正交以上性質(zhì)不僅對于平面流動成立，對于軸對稱和三元流動也同樣成立。在三元流動中， = C 稱為等速度勢面(等勢面)。 (x, y, t) = C - 等速度勢線(等勢線)二元流線微分方程 ddxyuv可見， (x, y, t) = C 與流線重合。dd0v xu yCddd0 xyxyuyvx 在應(yīng)用中把流函數(shù)

2、等值線( = C)稱為流線。實際 = C 并不等同于流線，流函數(shù)是由不可壓縮二維流動 的連續(xù)性方程引入和定義的，只是對于特定的流動才 能引入流函數(shù) ，而流線則是對所有速度不全為零 的流場，由速度矢量的方向定義的。 在物面邊界上流函數(shù)的值是個常數(shù)，所以物面邊界 也可以被當作是流場中的一條流線。反過來說，流 場中任意一條流線也可以被看作是物面邊界。例例例例 = C 與流線正交， = C 與流線重合， 所以曲線 = C 與曲線 = C 正交。 兩族曲線正交。由速度勢函數(shù)和流函數(shù)的性質(zhì)不難判斷，部分曲線與圓正交的那一族是等速度勢線，而其中一條與物面相重合的那一族是流線。 = C = C例例(2)(2)

3、 在單連通區(qū)域中，沿任意曲線的切向速度積分等于在單連通區(qū)域中，沿任意曲線的切向速度積分等于 曲線兩端點上速度勢值之差，而且積分值與路徑無曲線兩端點上速度勢值之差，而且積分值與路徑無 關(guān)。通過連接兩條流線的任意曲線的體積流量等于關(guān)。通過連接兩條流線的任意曲線的體積流量等于 這兩條流線上流函數(shù)值之差。這兩條流線上流函數(shù)值之差。 ddddd0LLLu xv yxyxy對于無旋流動存在速度勢函數(shù)，此時在單連通區(qū)域上沿兩端點分別為 A 和 B 的任意曲線的切向速度積分為 dddBBABBAAAu xv y積分與路徑無關(guān)，它等于積分路徑兩端點上的速度勢值之差。 dddBBBABBAAAAQsssnv v在

4、微元 ds 上 ,uyvxddddyxysxssnv v因為討論的是平面問題，所謂通過某曲線的流量應(yīng)該被理解為通過垂直方向為單位厚的曲面的流量。 cos,cos,un xvn ynv vddcos, , cos,ddyxn xn yss - - dxdydsn()n,y()n,y()n,x()n,x2 ,uayy2vaxx1122022zvuaaxy流動無旋，所以存在相應(yīng)的速度勢函數(shù)。2uayxy d2d2xC yay xC yayxC yy 例例 已知平面不可壓縮流動的流函數(shù) = ax2 -ay2 ； 證明流動無旋，并求出相應(yīng)的速度勢函數(shù)。解解對 y 取偏導數(shù)，得 22vaxCyaxy 可見

5、， C (y) = 0，即 C(y) = C (常數(shù))可以在速度勢函數(shù)上加或減任意常數(shù)，所以2axy 0, 0uvxy解解（1）對于流動 (a) 有0uvxy顯然滿足不可壓縮流體流動的連續(xù)性方程存在對應(yīng)的流函數(shù)。ddddd2ddd2xyv x u yxyyxxy積分后得到： = y -2x (略去了積分常數(shù)) 。例例 設(shè)平面流動 (a) u = 1, v = 2； 流動 (b) u = 4x, v =-4y。 （1）對于 (a) 是否存在流函數(shù) ？若存在，求 。 （2）對于 (b) 是否存在速度勢函數(shù) ？若存在，求 。（2）對于流動 (b) 有22ddddd4 d4dd 22xyu xv yx

6、 xyyxyxy 積分后得到： = 2x2 -2y2 (已略去積分常數(shù))40 ,yvxx 40 xuyy滿足無旋條件102zvuxy存在相對應(yīng)的速度勢函數(shù)。 yxA(0,0)C(2,2) ,uxy vy例例 已知不可壓縮流體平面流動的速度（1）求流函數(shù)；（2）計算穿過直線 AC的流量QAC。解解 （1） 22yxy （2）2,20,06ACQ 2,2426 , 0,00 7.5 7.5 基本的平面有勢流動基本的平面有勢流動1 1均勻直線流均勻直線流滿足22220 xy不可壓縮流體的平面勢流cossinVyxcossinVxycosisinWVzicosisiniWVxy速度 等勢線流線coss

7、inxyCcossinyxCcossinVyxcossin VxycosuVxsinvVy等勢線流線Vvuxy對于 = 0，xyV V xV yuV0vWV zcossin VxycossinVyxcosuVsinvVcosisinWVz2 2平面點源平面點源/ /點匯點匯22222110rrrr滿足arctan22QQyx22lnln22QQrxyiilnilnln222QQQWrrezln2QWz2rQvrr10vr2 ,rrvQ0vQ - 點源(匯)強度ln2Qr平面點源流 ( Q 0 ) 平面點匯流 ( Q 0 ) 平面點匯流 ( Q 0 )，并且在坐標原點處壓強為 p0，試求 (1) 上半平面的流動圖案； (2) 沿 y = 0 的速度與壓強。2 i22cos2isin2War ear2cos2 ,ar2sin2ar解解 令 z = rei，于是所以令 = 0，得到零流線02k(1, 2,)k 及它們是自原點出發(fā)的射線，把上半平面分成兩個夾角為的直角區(qū)域。yxo對坐標原點和 y = 0 上的任意一點