1、第七章 非線性反演計算地球物理學講義非線性反演概論地球物理學家研究地球所依據的物性參數不同，方法各異，但就工作程序而言，一般都可分為數據采集，資料處理和反演解釋數據采集，資料處理和反演解釋等三個階段。數據采集就是按照一定的觀測系統、一定的測線、測網布置,在現場獲得第一手、真實可靠的原始資料。所以數據采集是地球物理工作的基礎，是獲得高質量地質成果的前提和條件。資料處理的目的是通過各種手段，去粗取精，去偽存真，壓制干擾，提高信噪比，使解釋人員能從經過處理的資料(異常,或響應) 中、較準確的提取出測區的地質、地球物理信息。資料處理是從原始觀測數據到地球物理模型之間的必不可少的手段和過渡階段。反演解釋

2、的目的反演解釋的目的，用地球物理的術語來說，就是實現從地球物理異常(或響應)到地球物理模型的映射，使解釋人員能從經過處理的地球物理資料(異常或響應)中提取出獲得最接近真實情況的地提取出獲得最接近真實情況的地質、地球物理模型質、地球物理模型，圓滿的完成提出的地質任務。引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007非線性反演概論 資料處理的基礎是時間（空間）序列分析。 反演解釋的基礎是反演理論。 地球物理觀測數據和地球物理模型參數之間的數學表達式，只有線性和非線性兩大類。以d表示觀測數據向量，m表示模型參數向量，f表示聯系d和m的函數或泛函表達式。線性反演問題滿足：不滿足

3、上面兩個條件之一的所有問題都統稱為非線性問題。引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007非線性反演概論 從模型參數m 到觀測數據d 的變換(或映射) ，統稱為正演或正問題,并記為：由觀測數據d，反推模型參數m的變換(或映射) ，叫反演或反問題。引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007 解決非線性問題有兩種辦法，一是把非線性問題線性化，按線性問題解決，然后通過迭代的辦法，逐次逼近，求得反演問題的近似解；一是不走線性化的路子，而按非線性的辦法進行反演。 非線性問題線性化的辦法，簡單、易行，在許多情況下也可以取得較好的結果，但是在目標函數

4、具多極值的情況下，在反演迭代中，容易陷入局部極小，而且反演結果極大的取決于初始模型，也可能使反演出現不穩定，甚至無解。引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007非線性反演概論非線性反演概論一般說來，地球物理反演的目標函數都是高次非線性函數，有多個極值。反演時，如初始模型選取不當，不靠近目標函數的全局極小，因而在迭代過程中,只能在局部極小點附近搜索，很難跳出局部極小的阱，這時，只能獲得局部最優解局部最優解；有的反演方法，由于初始模型選取和參數修改的隨機性，在搜索的過程中，可能在模型空間全局尋優，其解就是全局最優解全局最優解。引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地

5、球物理學報，4（1），2007非線性反演概論非線性反演概論 反演理論家R. L . Parker 在其著名的論文Understanding Inverse Theory中提出，地球物理反演理論必須回答以下4 個問題： 1) 解的存在性（Existence）。即給定一組地球物理觀測數據： di ， i = 1 , 2 , 3 , , M 之后，是否存在一個能擬和觀測數據的地球物理模型m？ 2) 解的非唯一性（Non-uniqueness）。如能求得能擬合觀測數據的地球物理模型，解是唯一的還是非唯一的？ 3) 模型構制（Model Construction）。如何求得能擬和觀測數據的一個地球物理模

6、型？ 4) 解的評價（Appraisal） 。既然解是非唯一，地球物理反演所獲得的任一解又有何意義？引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007非線性反演概論非線性反演概論 理論嚴格證明，給定一組地球物理觀測數據以后，總可以找到一個能擬合它的地球物理模型。由于觀測數據的個數并非無限，不構成一個數據的完備群，加之每一個觀測數據均有誤差，這就決定了地球物理反問題的解是非惟一的。雖然，反演問題的解是非惟一的，但這個非惟這個非惟一解仍然是有意義的一解仍然是有意義的。引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007非線性反演概論非線性反演概論蒙特卡洛法

7、(Monte-Carlo Method) ,模擬退火法( Simulated Annealing) , 人工神經元法(Artificial Neural Network) ,遺傳算法( Genetic Algorit hm) ,多尺度反演法(Multi-Scale Inversion) ,同倫反演法( Homotopy Method ) ,非線性共軛梯度法( Non-Linear Conjugate Gradient Method) ,原子躍遷法(Atomic Transition Algorithm) ,量子退火法(Quantum Annealing) ,量子遺傳法(Quant um Gen

8、etic Algorithm) ,螞蟻覓食法(Ant Colony Optimization Algorithm) ,免疫算法( Immune algorithm) , 離子群算法( ParticleSwarm Optimization) ,演化博弈算法( Evolutionary Game)引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007非線性反演概論非線性反演概論 1) 原子躍遷法 (Atomic Transition Algorithm, ATA) 2) 模擬退火法 （Simulated Annealing, SA） 3) 量子退火法 (Quantum SA) 4

9、) 量子遺傳算法 (Quantum GA)1、物理類物理類1) 貝葉斯法 (Bayesian Inversion) 2) 同倫算法 (Homotopy Algorithm) 3) 多尺度非線性反演法 (Multi-Scale Algorithm) 4) 蒙特卡羅法 (Monte-Carlo) 2、數學類、數學類1) 粒子群算法 (Particle Swarm Optimization, PSO) 2) 免疫算法 (Immune Algorithm, IA) 3) 人工神經元法 (ANN) 4) 遺傳算法 (GA) 5) 螞蟻算法 (Ant Colony Optimization, ACO）3、

10、仿生類、仿生類 和線性反演一樣，大多數非線性反演法都是基于最優化的原理。即從大量大量已知模型的正演正演結果中，選出方差方差（或其它范數規則）為最小最小的那個模型作為待求模型的解。因此，正演是反演的前提和瓶頸，成了提高反演速度的關鍵。引自：王家映，地球物理反演問題概述，工程地球物理學報，4（1），2007目標函數極小對應的解，就是反演問題的解。非線性反演概論非線性反演概論1、梯度法-Gradient method/the steepest descent/the steepest ascent,是一種傳統的非線性反演法，它是從一個初始模型出發，沿梯度方向搜索求取目標函數極小點的一種最優化方法。2

11、、試湊法-嘗試法，從一個初始模型出發，反復計算比較，直到找到最合適的模型。3、蒙特卡路法-賭博法，將反演過程中任何一個階段，用隨機發生器產生模型的方法通稱為蒙特卡路法，它可以用來解決高次非線性的、多參數、具有多個局部極小的非線性反演問題。蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法在反演過程中的任何一個階段，用隨機（或偽隨機）發生器產生模型、以實現模型全空間搜索的方法統稱蒙特卡洛反演法。假如我們已知待求模型的參數的上下界限，infsupmmm式中，infm代表第個參數的下限supm代表第個參數的上限有兩種方法對模型空間進行搜索，一種是徹底地搜索，把模型空間允許的范圍都搜索到，看哪一個模型，

12、或哪一組模型的計算值d(m)和觀測數據d擬合最好，這種方法叫窮舉法窮舉法；另一種搜索法是在模型空間允許的范圍內隨機地搜索，對每一個隨機產生的模型計算其理論值并把它與觀測值進行比較，看其是否可以接受，這就是傳統的蒙特蒙特卡洛算法卡洛算法。蒙特卡洛算法的主要步驟蒙特卡洛算法的主要步驟王家映，2007目標函數兩者等價兩者等價蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法 一些人進行了實驗，其結果列于下表 ：實驗者年份投計次數的實驗值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福

13、克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法 優點1) 能夠比較逼真地描述具有隨機性質的事物的特點及物理實驗過程。2) 受幾何條件限制小。3) 收斂速度與問題的維數無關。4) 具有同時計算多個方案與多個未知量的能力。5) 誤差容易確定。6) 程序結構簡單，易于實現。 缺點1) 收斂速度慢。2) 誤差具有概率性。3) 計算結果與系統大小有關。蒙特卡洛算法的特點蒙特卡洛算法的特點23個不同深度，共23*3=69個參數，隨機生成500萬個模型，在滿足一定先驗條件的基礎上，進行正演計算，挑出可以接受的模型。w算法的提

14、出算法的提出 模擬退火算法最早的思想由模擬退火算法最早的思想由Metropolis等（等（1953）提出，提出，1983年年Kirkpatrick等將其應用于組合優化。等將其應用于組合優化。w算法的目的算法的目的 解決解決NP復雜性復雜性問題；問題； 克服優化過程陷入局部極?。豢朔灮^程陷入局部極?。?克服初值依賴性?？朔踔狄蕾囆浴ＤM退火算法模擬退火算法w物理退火過程物理退火過程 什么是退火：什么是退火： 退火是指將固體加熱到足夠高的溫度，使分子呈隨退火是指將固體加熱到足夠高的溫度，使分子呈隨機排列狀態，然后機排列狀態，然后逐步降溫逐步降溫使之冷卻，最后分子以使之冷卻，最后分子以低能狀態

15、排列，固體達到某種穩定狀態。低能狀態排列，固體達到某種穩定狀態。 物理退火過程物理退火過程w物理退火過程物理退火過程 加加溫過程溫過程增強粒子的熱運動，消除系統原先可增強粒子的熱運動，消除系統原先可能存在的非均勻態；能存在的非均勻態； 等溫過程等溫過程對于與環境換熱而溫度不變的封閉系對于與環境換熱而溫度不變的封閉系統，系統狀態的自發變化總是朝自由能減少的方向統，系統狀態的自發變化總是朝自由能減少的方向進行，當自由能達到最小時，系統達到平衡態；進行，當自由能達到最小時，系統達到平衡態； 冷卻過程冷卻過程使粒子熱運動減弱并漸趨有序，系統使粒子熱運動減弱并漸趨有序，系統能量逐漸下降，從而得到低能的晶

16、體結構。能量逐漸下降，從而得到低能的晶體結構。物理退火過程物理退火過程 熱力學中的退火現象指物體逐漸降溫時發生的物理熱力學中的退火現象指物體逐漸降溫時發生的物理現象：現象： 溫度越低，物體的能量狀態越低，到達足夠的低點溫度越低，物體的能量狀態越低，到達足夠的低點時，液體開始冷凝與結晶，在結晶狀態時，系統的時，液體開始冷凝與結晶，在結晶狀態時，系統的能量狀態最低。緩慢降溫（能量狀態最低。緩慢降溫（退火退火，annealing）時，）時，可達到最低能量狀態；但如果快速降溫（可達到最低能量狀態；但如果快速降溫（淬火淬火，quenching），會導致不是最低能態的非晶形。），會導致不是最低能態的非晶形

17、。 大自然知道大自然知道慢工出細活慢工出細活： 緩緩降溫，使得物體分子在每一溫度時，能夠有足緩緩降溫，使得物體分子在每一溫度時，能夠有足夠時間找到安頓位置，則逐漸地，到最后可得到最夠時間找到安頓位置，則逐漸地，到最后可得到最低能態，系統最穩定。低能態，系統最穩定。物理退火過程物理退火過程 模仿自然界退火現象而得，利用了物理中固體物質模仿自然界退火現象而得，利用了物理中固體物質的的退火過程退火過程與一般與一般優化優化問題的相似問題的相似性。性。 從某一初始從某一初始溫度溫度開始，伴隨溫度的不斷下降，結合開始，伴隨溫度的不斷下降，結合概率突跳概率突跳特性在解空間中特性在解空間中隨機隨機尋找尋找全局

18、最優全局最優解解。物理退火過程物理退火過程w數學表述數學表述 在溫度在溫度T，分子停留在狀態，分子停留在狀態r滿足滿足Boltzmann概率分概率分布布DsBBBTksETZTZkrrEETkrETZrEEP)(exp)()(Boltzmann0)()(exp)(1)(子：為概率分布的標準化因常數。為的能量，表示狀態機變量，表示分子能量的一個隨模擬退火算法模擬退火算法w數學表述數學表述 在在同一個溫度同一個溫度T，選定兩個能量，選定兩個能量E1E2，有，有TkEETkETZEEPEEPBB12121exp1exp)(10模擬退火算法基本思想模擬退火算法基本思想：在一定溫度下，搜索從一個狀態：在

19、一定溫度下，搜索從一個狀態隨機地變化到另一個狀態；隨著溫度的不斷下降直到最低溫度，隨機地變化到另一個狀態；隨著溫度的不斷下降直到最低溫度，搜索過程以概率搜索過程以概率1停留在最優解停留在最優解模擬退火算法模擬退火算法wBoltzman概率分布告訴我們：概率分布告訴我們： （1）在同一個溫度，分子停留在能量小狀態的概率）在同一個溫度，分子停留在能量小狀態的概率大于大于停留在能量大狀態的概停留在能量大狀態的概率。率。 （2）溫度越高，不同能量狀態對應的概率相差越小；）溫度越高，不同能量狀態對應的概率相差越?。粶囟茸銐蚋邥r，各狀態對應溫度足夠高時，各狀態對應概率基本相同概率基本相同。 （3）隨著溫度

20、的下降，能量最低狀態對應概率越來）隨著溫度的下降，能量最低狀態對應概率越來越大；溫度趨于越大；溫度趨于0時，其狀態趨于時，其狀態趨于1。模擬退火算法模擬退火算法wMetropolis準則（準則（1953）以概率接受新狀態以概率接受新狀態 若在溫度若在溫度T，當前狀態，當前狀態i 新狀態新狀態j 若若EjEi，則接受，則接受 j 為當前狀態；為當前狀態； 否則，若概率否則，若概率 p=exp-(Ej-Ei)/kBT 大于大于0,1)區間的區間的隨機數，則仍接受狀態隨機數，則仍接受狀態 j 為當前狀態；若不成立則為當前狀態；若不成立則保留狀態保留狀態 i 為當前狀態。為當前狀態。 01-(Ej-E

21、i)/kTp只有小于等于零的區間wMetropolis準則（準則（1953）以概率接受新狀態以概率接受新狀態 p=exp-(Ej-Ei)/kBT 在高溫下，可接受與當前狀態能量差較大的新狀態；在高溫下，可接受與當前狀態能量差較大的新狀態； 在低溫下，只接受與當前狀態能量差較小的新狀態。在低溫下，只接受與當前狀態能量差較小的新狀態。實際地球物理反演，如何應用模擬退火算法？實際地球物理反演，如何應用模擬退火算法？T()()()obsobsFF mdmdm將待求反演模型的每個參數看作是熔化物體的每一個分子，將目標函數看作是熔化物體的能量函數，通過緩慢減小一個模擬溫度的控制參數來進行迭代反演，使目標函

22、數最終達到全局極小值。將非線性地球物理反演問題的每一個模型參數向量mi等效為物體的某種狀態ri，將地球物理反演問題的目標函數等效為物體的能量函數Ei，引入隨迭代次數變化而變化的控制參數T模擬物體的溫度，就可以得到地球物理反演問題的Metropolis接收準則。1 ()()()()()exp ()()jiijijjibifmmPifmmk T mmmm若在溫度若在溫度T，當前狀態，當前狀態i 新狀態新狀態j 若若EjEi，則接受，則接受 j 為當前狀態；為當前狀態； 否則，若概率否則，若概率 p=exp-(Ej-Ei)/kBT 大于大于0,1)區間的隨機數，則仍接受區間的隨機數，則仍接受狀態狀態 j 為當前狀態；若不成立則保留狀態為當前狀態；若不成立則保留狀態 i 為當前狀態。為當前狀態。 在模擬退火反演中，要求溫度T隨著迭代次數的增加而緩慢降溫。常用的溫