1、分形幾何及其在地球物理中的應用初探 摘要：本文簡要介紹分形的基本概念，發展歷史，簡述它在地球物理學中的應用，并探討未來可能它在地球物理中可能的應用。 限于篇幅，文中將略去理論的細節及數學推導，也不涉及分形在其它領域的應用。關鍵字：分形，分形幾何，分維，地球物理，應用一、分形幾何發展的歷史回顧分形的發展大致可分為三個階段。 第一階段為1 8 75 年至19 2 5 年。在此階段，人們己認識到幾類典型的分形集，并力圖對這類集合與經典幾何的差別進行描述、分析和刻劃。第二階段大致為19 26 年到1 9 75 年。在這半個世紀，人們實際上對分形集的性質作了深入的研究，特別是維數理論的研究已獲得了豐富的

2、結果。第三階段為19 75 年至今，是分形幾何在各個領域的應用取得全面發展,并形成獨立學科的階段。下面對這三個階段作簡要回顧。19 世紀，盡管人們已能區別連續與可微的差別，但普遍認為連續但不可微的情形是極為例外的，并且在理論與研究中應排除這類“ 怪物” ，特別認為一條連續曲線上不可微的點應是極少的。在1872年,Weierestras證明了連續函數： （1）（0<a<1，b為奇整數，ab>1+）在任一點x均不具有有限或無限導數。(Hardy于1916年證明只要ab1，上述結果仍成立)Weierestras這一結果在他所處的時代引起了極大的震動；但盡管人們在觀念上產生了改變，但

3、仍認為Weierestras型的函數是極為“病態” 的例子。即使如此，人們仍從不同方面推廣了上述函數，并對這類函數的奇異性質作了深入的研究，獲得了豐富的結果。Van Koch于1904年通過初等方法構造了現今稱為Van Koch曲線的處處不可微的連續曲線(見圖1)，并討論了該曲線的性質。由于該曲線的構造極為簡單，改變了人們認為連續不可微曲線的構造一定非常復雜的看法。特別重要的是，該曲線是第一個人為構造成的具有局部與整體相似的結構的例子，即現在稱為自相似的結構。Peano于1890年構造出填充平面的曲線(見圖2),這一曲線出現后，人們提出應正確考慮以前的長度與面積的概念。Peano曲線以及其它的

4、例子導致了后來拓撲維數的引入。與此同時，全不連通的集合從各個方面被提出。為討論三角級數的唯一性問題,Canter于1 8 72 年引入一類現今稱為Canter三分集的全不連通的緊集。在當時，人們認為這類集合在傳統的研究中是可以忽略的。但Canter的研究結果表明，這類集合在像三角級數的唯一性這樣重要問題的研究中不僅不能忽略，而且起著非常重要的作用。一類極為典型的隨機分形集，即布朗運動，在那時已受到物理學家的重視。Perrin在1913年對布朗運動的軌跡進行了深入的研究，明確指出布朗運動作為運動曲線不具有導數。他的這些論述在1920年左右，使年輕的Wiener受到震動，并促使他建立了很多布朗運動

5、的概率模型。為了表明自然混亂的極端形式，Wiener采用了“混沌”(chaos) 一詞。Perrin曾經注意到： 一方面，自然界的幾何是混亂的，不能用通常形式的歐幾里得幾何或微積分中那種完美的序表現出來；另一方面，它能使人們想到在19 0年左右創立的數學的復雜性。Mandelbrot在回顧Perin及Wiener的工作以及分形幾何的發展歷史時指出，分形幾何以下面兩種選擇為其特征：一是在自然界的混沌中選擇問題，因為描述整個混沌是既無意義又無可能的主張；另一個是在數學中選擇工具。這兩種選擇逐漸成熟并創造出了新的東西，在無控混沌與歐幾里得過分的有序之間,產生了一個具有分形序的新領域。前面已經談到，非

6、?！?復雜” 的集合已被引入，而且長度、面積等概念必須重新認識。為了測量這些集合，同時為了更一般的理論,Minkowskill于1901年引入了集合的Minkowskill容度。進,Hansd off 于1919年引入了Hausdoff測度和Hausdoff維數。實際上，這些概念指出，為測量一個幾何對象，必須依賴于測量方式以及測量所采用的尺度。從上面可以看到，在第一階段，人們己提出了典型的分形對象及其相關問題并為討論這些問題提供了最基本的工具。在第二階段，更為系統、深入地發展，深化了第一階段的思想，并逐漸形成理論，而且將研究范圍擴大到數學的許多分支中，在此我們僅簡述幾條重要的線索及有關的代表人

7、物的工作。首先,Besicovitch及其他學派的研究工作貫穿了第二階段。他們研究了曲線的維數，分形集的局部性質，分形集的結構,Kakeya集,s-集的分析與幾何性質，以及在數論、調和分析、幾何測度論中的應用。他們的研究結果極大地豐富了分形幾何理論。在此期間，維數理論得到了進一步發展并日臻成熟。Bonligand于1928年引入了Bonligand維數，Poutrjagin與Schnirelman于19 32年引入覆蓋維數,K olmogorov與Tikomirov于1995年引入嫡維數，另外，刻劃集合“大小” 的容量及容量維數亦引入了?？傊S數可以從不同的角度來刻劃集合的復雜性，起了重要的作

8、用。在這階段，Lovy在下面兩個方面的工作極為重要二其一，他第一個系統地研究了自相似集，我們現今研究的許多自相似集的性質可追溯到他的工作。 其二，他建立了分式布朗運動的理論，實際上，他是隨機分形理論系統研究的最重要的先驅者之一。此時，以Salem與Kahane為代表的法國學派從稀薄集的研究出發，對各種類型的Cantor集及稀薄集作了系統的研究，建立了相應的理論方法與技巧，并在調和分析理論中得到了重要的應用。同時，維數的乘積理論，投影理論，勢論方法，網測度技巧，隨機技巧均先后建立并成熟，己使分形幾何的研究具有自身的特色與方法。盡管在此階段分形的研究取得了許多重要的結果，并使這一學科在理論上初見雛

9、形，但絕大部分從事這一領域工作的人主要局限于純數學理論的研究，而未與其它學科發展聯系。 但另一方面，物理、地學、宇宙學和工程學等學科已產生了大量與分形幾何有關的問題，并迫切需要新的思想與有力的工具來處理它們二正是在這種形勢下,Mandelbrot B. B. 以他獨特的思想與超人的毅力，自60 年代以來，系統、深入、創造性地研究了海岸線的結構，1967 年，Mandelbrot在科學雜志發表“英國的海岸線有多長?”的論文，標志著分形概念的產生。1977 年Mandelbrot 發表“分形： 形式、機遇與分維”，1982 年又發表“自然界的分形幾何”，分形理論的思想進一步成熟起來。下面簡要介紹分

10、形幾何的特征、分維數等基本概念。二、分形簡述1.分形的概念及特征許多自然現象無法用傳統的歐幾里德幾何來描述，如曲折的海岸線、千姿百態的地貌、河流中的湍流等。雖然這些現象變幻無常且缺乏規則，但卻具有自我相似性。分形幾何以這些復雜性問題為對象，發展了一類專門的理論與方法。 所謂分形( Fractal) 原指“不規則的、分數的、支離破碎的”,其核心是自我相似性。描述分形的特征量是分形維數，簡稱分維。按照分形理論，分形體內任何一個相對獨立的部分( 分形元或生成元) ，在一定程度上都是整體的再現和縮影。這種現象，無論在客觀的自然界和社會領域，還是在主觀的思維領域，都是普遍存在的。一個分形集應具備以下幾個

11、典型性質：( l) 通常它本身的結構在大小尺度上有著某種“ 自相似” 形式(有的嚴格地相似，也有的只是近似的、或者統計的相似性) ；(2 )當圖形比例不斷縮小時，它可以有任意小的細節；(3)它的“分形維數”大于它的“拓撲維數”；(4)在大多數令人感興趣的情形下，它可以用非常簡單的方法定義，并可以用迭代計算產生其圖形；(5)分形的結果是傾向于“解釋性”的，而非“預言性”的。2.分形維及其計算為了研究分形集的幾何性質，傳統的“長度”、“面積”和“體積”的概念已經不夠用了。在分形幾何學中主要采用了“分維數”的計算方法。所謂“分維數”是指在更深、更廣泛的意義上定義n 維空間中超越“長度、面積、體積”舊

12、概念的新度量。它度量的是一個分形集“充滿空間的程度”。例如，一個分形集圖案的分維數為1.6 ，是指它在空間的分布比一維空間復雜一些，而比二維空間簡單一些。傳統幾何學(歐幾里得空間) 中的維數只能是整數，而在分形幾何中可以是任意正實數。計算“分維數”的方法有很多，因此，不同人采用不同計算方法所得的計算結果可能是不同的。但總的要求是： 分維數必須能反映“在不斷縮小直徑的很小的比例下，去觀測一個分形集,找出這個集的一個代表“維數”，使它能夠反映出該圖形的復雜程度，或“不規則程度的量度”，或“充滿空間的程度”。這里列出一些常用的分維的計算方法：(1)改變粗視化程度的計算法這種方法比較適合復雜曲線的分維

13、Do的計算。對曲線用不同的尺度公測量其長度,忽略比e 小的細節，得到長度N ()。顯然N ()隨著的減小而增大，若兩者之間符合下列冪函數關系N ()-D則該曲線的分維為Do=D。例如Koch曲線可用這種方法計算其分維。這種方法還適用于點分布、河流分布等情形的分維計算，而且可以推廣到信息維D l 的計算。(2)根據測度關系的計茸法其基本原理是: 改變觀測的范圍( 一維尺度r ) ,測得某個量(如M) 隨r變化的關系M (r )，若能滿足下式：M ( r ) r D則認為M 分布的維數是Do=D。如圖3中圓內點數隨圓半徑的分布可用該法計算維數。圖3.平面中點的分布(3)計盒維數法最典型而容易理解的

14、求分維數的方法是“計盒維數法”(Box Counting)。對一個平面中的分形集圖形F 來說，可以用寬度為占的正方形盒子打成方格網來覆蓋這個圖形。數一數共有多少個方格套上這個圖形。然后，逐步縮小方格的寬度占，每次都來數一數覆蓋這個圖形的方格數目N。于是可以用下式： （2）估計出其盒分維數。幾乎所有的分維數的定義都可以采取類似的形式。即式(2) 的右邊是一個0的極限值。在實際計算時，當然不能取無限小，因為0時，我們將無法數它的方格數目了。圖4.用記盒數方法計算分維數3. 分形幾何的分類下圖給出了分形幾何的整體框架。嚴格線性分形指分形是嚴格自相似的，存在數學上的無限嵌套，如Cantor集、Koch

15、曲線等。統計線性分形的自相似性僅在統計意義下成立，如布朗運動軌跡。在自然界，存在著許多具有自相似性的對象，但更廣泛存在的是廣義自相似、或稱自仿射的對象。相似是在所有方向上以同一比率收縮或擴展一個幾何體的均勻的線性變換，而仿射是在不同方向上按不同比率進行收縮或擴展的非均勻線性變換，自仿射分形是自相似分形的一種推廣。因此，自仿射分形將會展現出比自相似分形更為廣闊的應用范圍。圖5 分形幾何的整體框架3、 分形幾何學在地球物理中的應用1.現有應用在地震( 這里指天然地震) 研究中，近年來應用分形幾何取得了一些成果。研究表明，地震活動在時間、空間及能量上都表現出分維特征。我們知道: 地震越大，發生的次數

16、越少，Gutenberg-Riehter關系(1941年)InN = a-bM (3)給出了地震發生頻率與地震震級(M )之間的關系，其中N 為震級在M 以上的地震總次數，a 為常數，b( > 0) 為系數。震級( M ) 與地震能量( E ) 之間存在關系InE = A + 1.5M (4)其中A 為常數，當E以焦耳為單位時，A = 4 . 8。因此，由(3) 式和(4)式得到：NE-2/3b (5)這表明地震次數隨能量的變化呈冪次關系。如用能量工作標度，則其分形維數為：DF=2b/3 (6)一般情況下，b1，b值反映的地震大小(能量)分布的自相似性跨越了能量的15 個數量級，這是十分

17、驚人的自然線性分形的現象。Kazt (1986年)關于不均勻性質脆性破裂傳播的模擬表明，破裂的尺度分布遵守冪次關系，這也說明了天然地震能量分布自相似的原因。Kagan和Knopoff(1980年)的研究表明了地震之間距離的分布具有分形特征。余震分布的大森冪指數法則( 1 9 0 0 年) 顯示了地震在時間上存在的分形結構。值得強調的是，臨震降維現象已成為地震預報中受到關注的一種前兆。由于地震孕育區地下介質中能量的聚集，使地震序列逐步從隨機態向混沌態發展，從而使大震前地震分布的分維下降。很多實際資料分析表明，臨震( 大震) 前地震序列表現出時間和空間上的降維現象，即大震前的地震序列分維數低于震后

18、的地震序列分維數。2. 可能的應用在地球物理中，分形幾何的應用目前僅限于地震研究中，在應用地球物理中的應用研究才剛剛開始，還未取得明顯的結果。但是，從應用地球物理和分形幾何兩方面的特點來看，分形幾何在應用地球物理中的應用至少包括幾個方面 : (1 ) 裂隙或巖溶間題的研究。由于裂隙和巖溶分布的復雜性和非均勻性，常規的歐幾里得幾何不能充分描述它們的分布，而分形幾何學可能在這里起到一定的作用。(2 ) 孔隙巖石中滲透、擴散和滲流研究。由于分形幾何可以較好地描述非均勻介質，輔以隨機模擬將有助于描述孔隙巖石中流體的滲透、擴散和滲流特性，這將在開發地球物理研究中發揮一定的作用。(3 ) 礦床儲量和等級估計。地下礦藏或油氣分布的非均勻性和不連續