1、第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 矢量代數矢量代數 常用正交曲線坐標系常用正交曲線坐標系 標量場的標量場的梯度梯度 矢量場的矢量場的散度散度 矢量場的矢量場的旋度旋度 無旋場與無散場無旋場與無散場 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理本章內容本章內容本章重點本章重點第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示用一條有方向的線段來表示 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示矢量可表示為：矢量可表示為： 其中其中 為為模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 為為單位矢量

2、單位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；1.1 矢量代數矢量代數1.1.1 標量和矢量標量和矢量 標量與矢量標量與矢量 標量：標量：只有大小，沒有方向只有大小，沒有方向的物理量的物理量(電壓電壓U、電荷量、電荷量Q、能量、能量W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強度）的物理量（作用力，電、磁場強度） 矢量的代數表示矢量的代數表示FEHBDAAeAAeAAAeA 說明：說明：矢量書寫時，矢量書寫時，印刷體印刷體為場量符號加粗，如為場量符號加粗，如 。教材上的。教材上的矢量符號即采用印刷體。矢量符號即采用印刷體。D第第2 2講講 矢量分析基礎矢量

3、分析基礎電磁場理論電磁場理論zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1.1.2 矢量代數運算矢量代數運算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和減法矢量的加法和減法矢量相加和相減可用矢量相加和相減可用平行四邊形法則平行四邊形法則求解：求解： 說明：說明：矢量的加法符合矢

4、量的加法符合交換律交換律和和結合律結合律：矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論cosABxxyyzzA BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量與標量相乘矢量與標量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。 矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）()A BB AABCA BA C 說明：說明：1 1、矢量的點積符合交換律和分配律：、矢量的點積符合交換律和分配律： 2 2、兩個矢量的點積為標量兩個矢量的點積

5、為標量 AB0A B /A BA BAB 3 3、AB矢量矢量 與與 的夾角的夾角AB第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論sin()()()xyznxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA Be ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）說明：說明：1 1、矢量的叉積矢量的叉積不符合不符合交換律，但交換律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、兩個矢量的叉積為矢量兩個矢量的叉積為矢量 ()A BBAABCA BA C 4 4、矢量運算恒等式、矢量運算恒等式()()()()()()AB CBCACA BAB C

6、B A CC A B sinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積ABABA BAB/A B0AB3 3、第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論三維空間任意一點的位置可通過三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點三條相互正交曲線的交點來確定。來確定。三種常用的正交坐標系為：三種常用的正交坐標系為：直角坐標系直角坐標系、圓柱面坐標系圓柱面坐標系和和球面球面坐標系坐標系。正交坐標系：正交坐標系：三條正交曲線組成、確定三維空間任意點位置的體三條正交曲線組成、確定三維空間任意點位置的體系；三條正交曲線稱為系；三條正交曲線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱為；描述坐標軸

7、的量稱為坐標變量坐標變量。1.2 三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1.2.1 直角坐標系直角坐標系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐標變量坐標變量, ,x y z坐標單位矢量坐標單位矢量,xyze e e 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0

8、zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyydddddd+dxyzSSSS第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論z、坐標變量：坐標變量：zeee、 、坐標單位矢量：坐標單位矢量：0 02z 變化范圍：變化范圍：坐標變換關系：坐標變換關系：22xyarctan()y xzzcosxsinyzz1.2.2 圓柱坐標系圓柱坐標系圓柱坐標系圓柱坐標系第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論u圓柱坐標系圓柱坐標

9、系與與直角坐標直角坐標之間單位矢量的變換關系之間單位矢量的變換關系 cossin0sincos0001xyzzeeeeee oxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系xeyeeeeeee cossin0sincos0001xyzzeeeeee第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSzeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量zeerz位置矢量位置矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體

10、積元ddd+dzSSSS第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論說明：說明：圓柱坐標系下矢量運算方法圓柱坐標系下矢量運算方法zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B zzzeeeA BAAABBB()()()zzzzzeA BA Be A BA Be A BA B加減：加減：標積：標積：矢積：矢積：ABOeeze第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1.2.3 球坐標系球坐標系, r坐標變量：坐標變量：eeer,坐標單位矢量

11、坐標單位矢量0r 002變化范圍：變化范圍：球球坐坐標標系系0（半半平平面面）0（圓圓錐錐面面）0rr （球球面面）),(000rP球球坐坐標標系系球球坐坐標標系系0（半半平平面面）0（圓圓錐錐面面）0rr （球球面面）),(000rP變換關系：變換關系：sincosxrsinsinyrcoszrarctan()y x222rxyz222arccos()zxyz第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 坐標單位矢量之間的關系坐標單位矢量之間的關系 u球坐標系球坐標系與與圓柱坐標圓柱坐標u球坐標系球坐標系與與直角坐標直角坐標oz單位圓單位圓 柱坐標系與求坐標系之間柱坐標系與求

12、坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系zeereesin0coscos0sin010rzeeeeeesincossinsincoscoscoscos sinsinsincos0rxyzeeeeee,sinrreeee,cosreeee 0,sincosreeee 第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元rerr位置矢

13、量位置矢量ddd+drSSSS第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論說明：說明：球面坐標系下矢量運算球面坐標系下矢量運算rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABe ABeABeAB() ()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeA BAAABBBe A BA BeA BA BeA BA B加減：加減：標積：標積：矢積：矢積：ABOeere第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論課外學習實訓課外學習實訓 1Aecos30sin303/21/2yzyzrAe

14、eeeee試分析產生此試分析產生此悖論悖論的原因。在此基礎上，撰寫一篇關于對的原因。在此基礎上，撰寫一篇關于對三個常用坐標系單位坐標矢量認識的學習報告。三個常用坐標系單位坐標矢量認識的學習報告。2、位于球坐標系下的位于球坐標系下的P點（點（1, 30, 90）處的矢量）處的矢量 ， 利用直角坐標系可表示為：利用直角坐標系可表示為：1、已知圓柱坐標系下的點已知圓柱坐標系下的點 和和 ，試在圓，試在圓 柱坐標系下寫出從柱坐標系下寫出從 到到P 的矢量的矢量 與從與從P 到到 的矢量的矢量 (3,30 ,1)P(1,90 ,2)PPRPR第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1

15、.3 標量場的梯度標量場的梯度1. 1. 標量場和矢量場標量場和矢量場q 標量場標量場：物理量是為標量：物理量是為標量q 矢量場矢量場：物理量是矢量物理量是矢量q 場的概念場的概念：物理量在空間區域上的一個確定分布：物理量在空間區域上的一個確定分布 例如：流速場例如：流速場、重力場重力場、電場、磁場等、電場、磁場等 例如：溫度場、電位場、高度場等。例如：溫度場、電位場、高度場等。q 場的表示方式場的表示方式q 如果場與時間無關，稱為如果場與時間無關，稱為靜態場靜態場，反之為，反之為時變場時變場。標量場標量場：( , , , )u x y z t ;( , )u r t;(, )u M t( ,

16、 , , );F x y z t矢量場：矢量場： ( , );F r t(, );F M t第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論2. 2. 標量場的等值面標量場的等值面等值面等值面: : 標量場取得同一數值的點在空標量場取得同一數值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數常數C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。標量場的等值面互不相交。 等值面的特點等值面

17、的特點：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態。的分布狀態。標量場的等值線標量場的等值線( (面面) )第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論3. 方向導數方向導數意義意義：方向導數表示場沿某方向的空間變化率。方向導數表示場沿某方向的空間變化率。00limcoscoscos|Mluuuuullxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減小；方向減小； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向導數的概念方向導數的概念 的方向余弦。的方向余弦。 l式中：式

18、中： coscoscos、第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論l特點特點：方向導數既與點方向導數既與點 M0 有關，也與有關，也與 方向有關。方向有關。問題問題：在什么方向上變化率最大在什么方向上變化率最大? ?最大的變化率為多少？最大的變化率為多少？梯度梯度第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論梯度的計算公式梯度的計算公式：zueueueuz1圓柱坐標系圓柱坐標系 ureurerueursin11球坐標系球坐標系zueyuexueuzyx直角坐標系直角坐標系 4. 標量場的梯度標量場的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標量場在某點的最大變

19、化率及描述標量場在某點的最大變化率及 其變化最大的方向其變化最大的方向概念概念：max|luuel luel 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向M0梯度的概念梯度的概念 u第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論lueul 梯度的性質梯度的性質 標量場的梯度為標量場的梯度為矢量矢量，且是坐標位置的函數，且是坐標位置的函數 標量場梯度的幅度表示標量場的標量場梯度的幅度表示標量場的最大變化率最大變化率 標量場梯度的方向標量場梯度的方向垂直于垂直于等值面，且為標量場等值面，且為標量場增加最快增加最快的方向的方向 標量場在給定點沿任意方向的標量場在給定點沿任意方向的方向導數

20、方向導數等于等于梯度在該方向投影梯度在該方向投影第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0式中：式中： 為常數；為常數； C,u v為坐標變量函數；為坐標變量函數； 第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 解解 (1)22()()PxyzPueeexyzxyzzyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.3.1 設一標量函數設一標量函數u ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標描述了空間標量場。試求：量場。試求： (

21、1) 該函數該函數u 在點在點 P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數求該函數u 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向導數，并以點方向的方向導數，并以點 P(1,1,1) 處的方向導數值與該點的梯度處的方向導數值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。值作以比較，得出相應結論。ooo60cos45cos60coszyxleeee222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPuuexeyeeeeexy 第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 (2)(1,1,1)122122

22、2Puxyl121(22) ()222lxyzxyzuu eexeyeeeel 212 yx而該點的梯度值為而該點的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Puxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標量函數點處標量函數 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向導數，故即最大的方向導數，故 恒成立。恒成立。PuPPuul 第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間形象直觀地描述了矢量場的空間 分布狀態分布狀態。),(d),(d),(dzyxFzzy

23、xFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論2. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大小？如何定量描述矢量場的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量的概念通量的概念nddSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSnddF eS穿過面積元穿過面積元 的通量。的

24、通量。如果如果 S 是閉合曲面，則是閉合曲面，則),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddnne外法向單位矢量外法向單位矢量第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論若若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發出矢量線的出矢量線的正源正源；0若若 ，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的負源負源；0若若 ，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內無無源源，或或正源負源代數和為正源負源代數和為0 0。0通過閉合面通過閉合面S

25、S的通量的物理意義：的通量的物理意義：000第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論3. 矢量場的散度矢量場的散度F 散度的定義散度的定義0( ) d( )limsVF rSF rV 在場空間中任意點在場空間中任意點M 處作一個包圍處作一個包圍體積元體積元 的的閉合曲面閉合曲面S，定義場矢量定義場矢量 在在M 點處的散度為：點處的散度為： V( )F r 矢量場的散度表征了矢量場的矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性通量源的分布特性( (體密度體密度) )； 說明說明 (正源正源)0F (負負源源)0F (無源）無源）0F第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場

26、理論電磁場理論 矢量場的矢量場的散度是標量散度是標量； 矢量場的散度是空間坐標的函數；矢量場的散度是空間坐標的函數； 若若 ，則該矢量場稱為，則該矢量場稱為有散場有散場， 為源密度為源密度( )0F r 若若 處處成立，則該矢量場稱為處處成立，則該矢量場稱為無散場無散場( )0F r圓柱坐標系圓柱坐標系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標系球坐標系zFyFxFFzyx直角坐標系直角坐標系散度的計算公式散度的計算公式第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 直角坐標系下散度表達式的推導直角坐標系下散度表達式的推導 00000000

27、0,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 則穿過前、后兩側面的凈通量值為則穿過前、后兩側面的凈通量值為取包圍取包圍P點的微體積元點的微體積元 V 為一直平行六面體，如圖所示。則為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算在直角坐標系中計算zzDxDyDPF同理，求出穿過另兩組側面的凈通量，并合成之，即得同理，求出穿過另兩組側面的凈通量，并合成之，即得zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd根據定義

28、，得根據定義，得zFyFxFVSFFzyxSVdlim0第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 散度的有關公式散度的有關公式：0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 為為常常矢矢量量為為標標量量函函數數為為常常數數第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論4. 散度定理散度定理（矢量場的高斯定理）（矢量場的高斯定理）VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S意義：意義：矢量場穿過空間任意矢量場穿過空間任意閉合曲面閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包圍的通量等于該閉合曲面所包圍體積體積中矢量場的散度

29、的體積分。中矢量場的散度的體積分。散度定理是散度定理是閉合曲面閉合曲面積分與積分與體體積分之間的一個變換關系。積分之間的一個變換關系。 說明：說明：如何證明？如何證明？應用散度定理要注意條件：應用散度定理要注意條件： 必須是封閉曲面必須是封閉曲面 的各分量具有一階連續的各分量具有一階連續 偏導數偏導數F第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1.5 1.5 矢量場的環流與旋度矢量場的環流與旋度 1. 矢量場的環流矢量場的環流 流速場流速場 電流的磁場電流的磁場vv磁感應線磁感應線I第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論( , ) dLF x y zl

30、環流的概念環流的概念 矢量場沿有向閉合曲線矢量場沿有向閉合曲線L的線積分稱的線積分稱為該矢量對閉合曲線為該矢量對閉合曲線L的環流，即的環流，即 環量的定義環量的定義FLdl環流意義環流意義：若矢量場環流不為零，則矢量場中存在產生矢若矢量場環流不為零，則矢量場中存在產生矢量場的漩渦源。量場的漩渦源。第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論n01rotlimdLSFFlS稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處處沿方向沿方向 的環流面密度。的環流面密度。n 定義定義：2. 環流面密度環流面密度nrot F說明：說明：( )F rnnrot F環流面密度環流面密度 是是 在在M點處沿點

31、處沿 方向的漩渦源密度方向的漩渦源密度 n在空間任一點在空間任一點M處以處以 為法向矢量為法向矢量做一面積元做一面積元 ，則，則S環流面密度環流面密度 與與面元方向面元方向 有關。有關。nnrot F( )F rdlnLSnrot F的定義的定義第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論而而 推導推導 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。rotxF 直角坐標系中直角坐標系中 、 、 的表達式的表達式rotxFrotyFrotzF12134dddddLllllFlFlFlFlFl)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(

32、1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzzoyDz DyLMzx1234 計算計算 的示意圖的示意圖 rotxFxe第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論于是于是 同理可得同理可得故得故得d()yzLFFFlyzyz 0drotlimLyzxSFlFFFSyzxFzFFzxyrotyFxFFxyzrot第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論概念概念：矢量場在矢量場在 M 點處的旋度為一矢量，其數值為點處的旋度為一矢量，其數值為M 點的環點的環 流面密度最大值，其方向為取得環量密度最大值時面積流面密度最大值，其方向為取得環量密度最大值時面積 元

33、的法線方向，即元的法線方向，即maxnnrotFeF3. 矢量場的旋度矢量場的旋度F 說明：說明：矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標的函數，是空間坐標的函數矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度漩渦源密度若若 處處成立，則稱其為處處成立，則稱其為無旋場無旋場( )0F r若若 ，則稱其為，則稱其為有旋場有旋場， 為為漩渦源密度漩渦源密度矢量矢量0FJJFeFnnrot 第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx 旋度的計算公式旋度的計算公式:1zzeeeFzFF

34、F2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 直角坐標系直角坐標系 圓柱坐標系圓柱坐標系 球坐標系球坐標系zyxzyxFFFzyxeee第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論旋度的有關公式旋度的有關公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論SCSFlFdd4. 斯托克斯定理斯托克斯定理曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結果抵消相等結果抵消意義：意義：矢量場

35、沿任意矢量場沿任意閉合曲線閉合曲線的環流的環流等于矢量場的旋度在該閉合曲等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的線所圍的曲面曲面的通量。的通量。 說明：說明：斯托克斯斯托克斯定理是定理是閉合曲線閉合曲線積分積分與與曲面曲面積分之間的一個變換關積分之間的一個變換關系式。系式。如何證明？如何證明？第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論散度和旋度的比較散度和旋度的比較 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1.6 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 1. 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 標量拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算

36、2u概念概念：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標系直角坐標系計算公式計算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標系圓柱坐標系球坐標系球坐標系uu2)(第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 矢量拉普拉斯運算矢量拉普拉斯運算2F概念概念：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：對于非直角分量，對于非直角分量，22()iiFF直角坐標系中：直角坐標系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基

37、礎電磁場理論電磁場理論2. 格林定理格林定理 SVSnV 2dd)(標量第一格林定理標量第一格林定理SV , neSVSV 2d)(d)(式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，的閉合曲面， 為表面為表面S 的外法向矢量的外法向矢量ne 標量第二格林定理標量第二格林定理： SVSV 22d)(d)(SVSnnV 22d)(d)(第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論1.7 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在以在以 S 為邊界的有限區域為邊界的有限區域 V 內，內，任意矢量場由其在區域任意矢量場由其在區域V內的內的散度散度、旋度旋度和和邊界條件邊界條件（即矢量場在有限區（即矢量場

38、在有限區域邊界上域邊界上 S 的分布）的分布）唯一唯一確定，且可確定，且可表示為：表示為：( )( )( )F ru rA r 式中式中：1( )1( )( )d d44VSF rn F ru rVSrrrr 1( )1( )( )dd44VSF rnF rA rVSrrrr 1. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理有界區域有界區域VSVorrrrn第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論 無界空間（無界空間（不存在邊界面不存在邊界面）1()( )d4VF ru rVrr 1( )( )d4VF rA rVrr 亥姆霍茲定理表明：亥姆霍茲定理表明：在在無界區域無界區域，矢量場可由其，

39、矢量場可由其散度散度及及旋度旋度確定。確定。在在有界區域有界區域，矢量場不但與該區域中的，矢量場不但與該區域中的散度散度和和旋度旋度有關，有關，還與區域還與區域邊界邊界上矢量場有關。上矢量場有關。已知已知矢量矢量F 的通量源密度的通量源密度矢量矢量 F 的旋度源密度的旋度源密度場域場域 邊界條件邊界條件在電磁場中在電磁場中電、磁場的散度電、磁場的散度電、磁場的旋度電、磁場的旋度場域邊界條件場域邊界條件亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線研究電磁場的一條主線。第第2 2講講 矢量分析基礎矢量分析基礎電磁場理論電磁場理論2. 矢量場按源的分類矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場0dClF性質