1、1均勻反應堆的臨界理論均勻反應堆的臨界理論主講：馬續波主講：馬續波2Contents前言前言均勻裸堆的單群擴散理論均勻裸堆的單群擴散理論有反射層反應堆的單群擴散理論有反射層反應堆的單群擴散理論功率分布展平概念功率分布展平概念3在上一章中我們討論了中子在在上一章中我們討論了中子在非增殖介質非增殖介質內擴散內擴散的規律和中子擴散方程的解法。現在我們進一步的規律和中子擴散方程的解法。現在我們進一步將其用于討論由核燃料和慢化劑等組成的將其用于討論由核燃料和慢化劑等組成的有限均有限均勻增殖介質勻增殖介質（反應堆系統）內的中子擴散問題。（反應堆系統）內的中子擴散問題。中心問題是討論反應堆的臨界。中心問題是

2、討論反應堆的臨界。4在反應堆臨界理論中，主要研究兩方面的問題：在反應堆臨界理論中，主要研究兩方面的問題：l 各種形狀的反應堆達到臨界狀態的條件（臨界條件）各種形狀的反應堆達到臨界狀態的條件（臨界條件）: e.g., 臨界時系統的體積大小臨界時系統的體積大小(臨界體積臨界體積)和燃料成分（富集和燃料成分（富集度）及其裝載量（臨界質量）度）及其裝載量（臨界質量）。l 臨界狀態下系統內中子通量密度（或功率）的空間分布。臨界狀態下系統內中子通量密度（或功率）的空間分布。5實際的反應堆系統實際的反應堆系統l物理過程與中子能量物理過程與中子能量的復雜依賴關系的復雜依賴關系 “分群理論分群理論”l幾何與材料

3、的復雜性幾何與材料的復雜性 “ “均勻化均勻化”處理（處理（均均勻反應堆勻反應堆） 均勻反應堆：均勻反應堆：是指這樣一種堆，其堆芯的各種材料（燃料、是指這樣一種堆，其堆芯的各種材料（燃料、慢化劑、結構材料等等）是均勻地混合在一起的。因此整慢化劑、結構材料等等）是均勻地混合在一起的。因此整個堆芯的材料特性是一致的，核截面等數據都是一樣的。個堆芯的材料特性是一致的，核截面等數據都是一樣的。6均勻堆與非均勻堆均勻堆與非均勻堆l世界上數以千計的反應堆中，只有一個名叫世界上數以千計的反應堆中，只有一個名叫“水鍋爐水鍋爐”的實驗堆是均勻堆。其堆芯是硫酸鈾酰的水溶液。的實驗堆是均勻堆。其堆芯是硫酸鈾酰的水溶

4、液。l其他的都是非均勻堆，堆芯中的燃料和慢化劑是分開其他的都是非均勻堆，堆芯中的燃料和慢化劑是分開的，不混在一起。的，不混在一起。 既然如此，為何還要研究均勻反應堆？既然如此，為何還要研究均勻反應堆？Why?7研究思路：從容易的著手，逐步精確化研究思路：從容易的著手，逐步精確化1.均勻堆比較容易描述，建立的物理數學模型均勻堆比較容易描述，建立的物理數學模型比較簡單。但是，從中引出的基本概念有普遍比較簡單。但是，從中引出的基本概念有普遍應用價值。應用價值。2.工程設計中，對實際的非均勻反應堆進行分析工程設計中，對實際的非均勻反應堆進行分析時，也要先進行時，也要先進行 “均勻化均勻化”，化為均勻堆

5、。，化為均勻堆。81.單群中子擴散方程的建立單群中子擴散方程的建立2.均勻裸堆的單群擴散方程的解均勻裸堆的單群擴散方程的解3.熱中子反應堆的臨界條件熱中子反應堆的臨界條件4.幾種幾何形狀裸堆的幾何曲率和中子通量密度幾種幾何形狀裸堆的幾何曲率和中子通量密度分布分布5.反應堆曲率和臨界計算任務反應堆曲率和臨界計算任務6.單群理論的修正單群理論的修正均勻裸堆的單群理論均勻裸堆的單群理論9裸堆裸堆：無反射層的反應堆：無反射層的反應堆單群單群：全部中子都在一個能群里。實際上是假設：全部中子都在一個能群里。實際上是假設堆內里所有中子都是熱中子。堆內里所有中子都是熱中子。熱中子不能再慢化了，故方程非常簡單，

6、只需考熱中子不能再慢化了，故方程非常簡單，只需考慮中子的產生、吸收和泄漏。慮中子的產生、吸收和泄漏。 1 1. .單群理論的建立單群理論的建立10),(),(),(),(),(102trStrktrtrDttraa 對于由燃料與慢化劑組成的均勻增殖介質反應堆系統，單位時對于由燃料與慢化劑組成的均勻增殖介質反應堆系統，單位時間、單位體積內的間、單位體積內的裂變中子源強裂變中子源強為：為：),(),(trtrSfF 根據無限介質增殖因子定義根據無限介質增殖因子定義),(),(trktrSaF代入代入單群中子擴散方程單群中子擴散方程可得可得l D及及 a是對中子能譜平均后的數值；是對中子能譜平均后的

7、數值；l 在反應堆運行初期，須考慮外源中子，大多數情況下忽略外中子，認為在反應堆運行初期，須考慮外源中子，大多數情況下忽略外中子，認為裂變中子是反應堆內中子的唯一來源裂變中子是反應堆內中子的唯一來源?110),2(),2(tata221)()(1)()(LkdttdTtTDxx)()(),(tTxtx)()0 ,(0 xxa/2a/20 x無限平板反應堆),(),(),(),(12txktxtxDttxaa(4-3)無外源無限平板反應堆單群擴散方程無外源無限平板反應堆單群擴散方程初始條件為初始條件為(4-4)邊界條件為邊界條件為(4-5),(1),(),(122txLktxttxD(4-6)由

8、式(4-3)得利用分離變量法求解分離變量法求解，方程具有如下形式的解：(4-7)將(4-7)式代入(4-6)式(4-8)2 2. .均勻裸堆的單群擴散方程的解均勻裸堆的單群擴散方程的解12, 5 , 3 , 1nanBn, 3 , 2 , 1) 12(nanBnBxCBxAxsincos)(02cosBaA22)()(Bxx上式兩端必須等于某一常數，設為-B2，有0)()(22xBx或(4-9)波動方程(4-9)式的通解為由于初始通量密度分布0(x)關于x=0平面對稱，因此只能選擇滿足對稱條件的解，即BxAxcos)(由邊界條件(4-5)式可導出(x)滿足如下的邊界條件：(a/2)=0因此要求

9、或(4-10)xanAxBAxnnnn) 12(coscos)(波動方程(4-9)只對某些特定的特征值特征值Bn才有解，相應的解 n(x) 稱為此問題的特征函數稱為此問題的特征函數。1322222221)1 (/)1 (nnannBLlBLDDBLDLlnnltknCeT/) 1(nnnnlkdttdTtT1)()(1221)()(1nnnBLkdttdTtTDnnltknnexanAtx/)1(1) 12(cos),( 由于特征函數的正交性，對于每一個n值的項都是線形獨立，因此對應于每一個Bn2值和n(x)，都有一個Tn(t)與之對應該式可轉換為式中221nnBLkk(4-12)(4-13)

10、(4-14)l 為無限介質的熱中子壽命，為無限介質的熱中子壽命，ln是有限介質熱中子壽命是有限介質熱中子壽命。方程(4-12)解為其中C為待定常數。對于一維平板反應堆，其中子通量密度的完全解中子通量密度的完全解就是對n=1到n=所有項的總和，即(4-15)141. 對于一定幾何形狀和體積的反應堆芯部，若對于一定幾何形狀和體積的反應堆芯部，若B12對應的對應的k11，則，則(k1-1)為正值，中子通量密度為正值，中子通量密度 (x,t)將隨時間不斷增加，系將隨時間不斷增加，系統處于超臨界狀態。統處于超臨界狀態。3. 若調整堆芯尺寸或改變材料成分，使若調整堆芯尺寸或改變材料成分，使k1 =1，則其

11、余，則其余(kn-1)都將為負值。都將為負值。中子通量密度中子通量密度 (x,t)第一項將與時間無關，而其它各項將隨時間而衰減。第一項將與時間無關，而其它各項將隨時間而衰減。當時間足夠長時，當時間足夠長時，n1各項將衰減到零，系統處于穩態，中子通量密度各項將衰減到零，系統處于穩態，中子通量密度按基波形式按基波形式(B=B1)分布，系統處于臨界狀態分布，系統處于臨界狀態。, 3 , 2 , 1) 12(nanBn221nnBLkknnltknnexanAtx/)1(1) 12(cos),(3 3. .熱中子反應堆的臨界條件熱中子反應堆的臨界條件三種情況：三種情況：150)()(22rBrg112

12、121BLkk重要結論：重要結論：(1) 裸堆單群近似的臨界條件為：(4-17)B12為波動方程的最小特征值，記為Bg2，稱為特征曲率，稱為特征曲率；k1為有效增殖因子。(2) 反應堆處于臨界狀態時，中子通量密度按最小特征值中子通量密度按最小特征值Bg2對應的基波函對應的基波函數分布數分布，也就是說，穩態反應堆的中子通量密度空間分布滿足波動方程(4-18)16xaAxcos)(1)(1221aLkk無限平板反應堆的臨界條件無限平板反應堆的臨界條件為(4-19) 若系統材料組成給定若系統材料組成給定，則只有一個唯一的尺寸a0能使k1=1，即為臨界大小；當aa0時，則k11，為超臨界；當aa0時，

13、k10，超臨界； 0，次臨界| |表示反應堆偏離臨界狀態的程度。 PCM: 反應性單位，反應性單位，1PCM=10-5 元：元：$，分：，分： ，1 1 $ =100 =100 ; 1元反應性元反應性=1 eff （反應堆（反應堆動力學）動力學）(4-49)33 單群是一種非常近似的方法。對于熱中子反應堆，直接以上臨界條件有較大誤差單群是一種非常近似的方法。對于熱中子反應堆，直接以上臨界條件有較大誤差。 修正：修正：用用M2=L2+ 來替換上式中的來替換上式中的L211221gBLkk221LkBm11221gBMkk221MkBm熱中子反應堆的 修正單群理論修正單群理論。例題：例題：P100

14、6 6. .單群理論的修正單群理論的修正34反應堆的最佳形狀反應堆的最佳形狀這里所謂最佳最佳，是指用同樣材料，做成的反應堆臨界體積最小。組成反應堆的材料確定后，材料曲率就定組成反應堆的材料確定后，材料曲率就定了，堆的臨界幾何曲率了，堆的臨界幾何曲率Bg也定了。但是，也定了。但是，對同一個幾何曲率對同一個幾何曲率Bg值，可以有不同的形值，可以有不同的形狀和尺寸，對應不同的體積狀和尺寸，對應不同的體積。 35 2222222gxyzB B + B + Babcg22B()R222222.405()()grzBBBRH36 反應堆的最佳形狀（續）幾何形狀最佳尺寸最小臨界體積長方體abc161/圓柱D

15、1.08H148/球R130/ 3B3B3B371. 反射層的作用以及如何選擇反射層反射層的作用以及如何選擇反射層2. 一側帶有反射層的反應堆一側帶有反射層的反應堆 帶有反射層的球形堆帶有反射層的球形堆 一側帶有反射層的柱形堆一側帶有反射層的柱形堆3. 反射層節省反射層節省三、有反射層反應堆的單群擴散理論三、有反射層反應堆的單群擴散理論38 減少芯部中子的泄漏，從而減小芯部的臨界體積，節省一減少芯部中子的泄漏，從而減小芯部的臨界體積，節省一部分核燃料；部分核燃料； 提高反應堆的平均輸出功率，這是由于反射層的原因，其提高反應堆的平均輸出功率，這是由于反射層的原因，其芯部中子通量密度分布比裸堆的中

16、子通量密度分布更加平芯部中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的緣故。坦的緣故。如何選擇反射層？如何選擇反射層？ 反射層材料散射截面要大反射層材料散射截面要大 反射層材料吸收截面要小反射層材料吸收截面要小 良好的慢化能力良好的慢化能力熱中子堆熱中子堆常用的反射層材料有：常用的反射層材料有：H2O, D2O, 石墨，鈹等。石墨，鈹等。快堆快堆常用反射層材料：常用反射層材料：重核重核 ？1 1. .反射層的作用以及如何選擇反射層反射層的作用以及如何選擇反射層39221ccLkkB0)()()(2rkrrDcaccaccc芯部穩態單群擴散方程芯部穩態單群擴散方程 (角標角標 c)(4-52

17、)u 該方程只有對于臨界系統臨界系統才成立。u 對于任意給定材料成分及幾何形狀與尺寸的反應堆系統，它不一定處于穩態 引入一個特征參數引入一個特征參數k來進行調整使其達到臨界。0)()()(2rkkrrDcaccaccc或者寫為0)()(22rBrcccLc 為芯部的擴散長度。(4-53)(4-54) 多區問題多區問題: 分別寫出每一區的擴散方程分別寫出每一區的擴散方程證明證明: K為芯部的有效增殖因子為芯部的有效增殖因子2 2. .一側帶有反射層的反應堆一側帶有反射層的反應堆40221rrLk 0)()(22rkrrrr反射層穩態單群擴散方程反射層穩態單群擴散方程 （角標為（角標為 r）(4-

18、56)式中(4-57)Lr為反射層的擴散長度。 邊界條件邊界條件為：(1) 在芯部或反射層的交界面上rcrrccDD(4-58)(2) 在芯部或反射層的外推邊界上中子通量密度為零外推邊界上中子通量密度為零411. 帶有反射層的球形堆帶有反射層的球形堆（芯部半徑為（芯部半徑為R，反射層厚度為，反射層厚度為T）rrkArrkCrrrr)cosh()sinh()(rrTRkCrrr)(sinh)(rrBArcc)sin()(4-59)芯部方程式解芯部方程式解：反射層方程式解：反射層方程式解：(4-60)(tanhTRkCAr)sinh(1)cosh()sin()cos()sinh()sin(22Tk

19、RRTkkCDRRBRRBBADRTkCRRBArrrrccccrc根據：反射層外推邊界反射層外推邊界r=R+T處中子通量密度為零，有處中子通量密度為零，有上式代入(4-60)可得(4-61)方程(4-59)、(4-61)有兩個常數，由芯部與反射層交界面處邊界條件芯部與反射層交界面處邊界條件確定42rrtcccLTLRDRBRBDcoth1)cot(1帶反射層球形反應堆單群臨界方程反射層球形反應堆單群臨界方程給出了臨界曲率與臨界尺寸的關系給出了臨界曲率與臨界尺寸的關系 當堆芯材料、反射層材料尺寸已經確定時，用此公式計算臨界尺寸 a 的值。 當堆芯尺寸已經確定時，用它來計算達到臨界所需的堆芯材料

20、成分 材料定，曲率知，算尺寸 尺寸知，算曲率，配材料。431 裸堆裸堆 2 有反射層反應堆有反射層反應堆442. 側面帶有反射層的圓柱形反應堆側面帶有反射層的圓柱形反應堆 (半徑半徑R，高度，高度H，側面反射層厚度，側面反射層厚度T)0)2,()2,(HrHrrc0),(zTRr;rrccrcDD0),(),(22zrBzrccc芯部反射層0),(),(22zrkzrrrr(4-63)(4-64)邊界條件邊界條件為(1) 在z=H/2處(2) 在r=R+T處(3) 在r=R處(4-65)(4-66)(4-67)45RR 0 芯部周圍有反射層芯部周圍有反射層 部分泄露出芯部的中子在反部分泄露出芯

21、部的中子在反射層內被散射而返回芯部，減少了中子損失，提高射層內被散射而返回芯部，減少了中子損失，提高了中子的不泄露概率。了中子的不泄露概率。 因此在芯部材料性質相同情況下，臨界體積就要因此在芯部材料性質相同情況下，臨界體積就要比裸堆的臨界體積小。比裸堆的臨界體積小。反射層節省反射層節省 ：反應堆加上反射層所引起的臨界尺寸：反應堆加上反射層所引起的臨界尺寸的減少。的減少。(4-81)2 2. .反射層節省反射層節省46反射層節省472222222405. 22405. 2effeffzrzrcHRHRBBB對于圓柱形反應堆圓柱形反應堆，反射層節省通常分別用徑向和軸向的反射層徑向和軸向的反射層節省

22、來表示)22(,00HHRRzr(4-82) 可以把有可以把有反射層反應堆的幾何曲率用芯部外形尺寸增大反射層反應堆的幾何曲率用芯部外形尺寸增大 或或 2 來表示來表示。帶反射層球形堆反射層球形堆22RBg圓柱形反應堆圓柱形反應堆R Reffeff、Heff稱為稱為等效半徑等效半徑、等效高度等效高度48)tanh(rrLTLrrrcccLTLRDRBRBDcoth1)cot(1rrccLTLBBtanh)tan(帶反射層球形反應堆反射層節省反射層球形反應堆反射層節省(1) 反射層厚度很小，即反射層厚度很小，即 T Lr = Lr。 過大的增加反射層厚度是沒有太大意義的！過大的增加反射層厚度是沒有

23、太大意義的！rcrcLTRBLBcoth)cot(臨界方程臨界方程設Dc=Dr設反射層節省反射層節省 ，將R=R0- =/Bc- 代入上式得rrccLTLBBtanharctan1反射層節省反射層節省 因為因為 很小，可得很小，可得49討論題討論題一個裸堆，加上反射層以后，幾何曲率與材料曲率還相等嗎？50討論題答案 不相等了。不相等了。 裸堆如果原先是臨界的，加上反射層以后，裸堆如果原先是臨界的，加上反射層以后，就超臨界了。就超臨界了。 如欲仍然維持臨界，只能如欲仍然維持臨界，只能 改變堆芯成分，降低材料曲率改變堆芯成分，降低材料曲率 減小堆芯尺寸，把幾何曲率提高到與裸堆減小堆芯尺寸，把幾何曲率提高到與裸堆時一樣。時一樣。51VHdVrVK)(1max 反應堆內的中子通量密度空間分布是不均勻的，而功率密度和中子通量反應堆內的中子通量密度空間分布是不均勻的，而功率密度和中