1、第2課時 函數的最大值、最小值函數的最大值和最小值函數的最大值和最小值1.1.最大值最大值對于定義域為對于定義域為I I的函數的函數f(xf(x) )，條件：，條件：f(x)f(x)M Mf(xf(x0 0)=M)=M結論：結論：M M是定義域為是定義域為I I的函數的函數f(xf(x) )的最大值的最大值. .幾何意義：函數幾何意義：函數y=f(xy=f(x) )圖象上最圖象上最_點的點的_._.思考：思考：函數函數f(xf(x)=-x)=-x2 211總成立嗎？總成立嗎？f(xf(x) )的最大值是的最大值是1 1嗎嗎? ?提示提示: :f(xf(x)=-x)=-x2 211總成立，但是不

2、存在總成立，但是不存在x x0 0使使f(xf(x0 0)=1)=1，所以，所以f(xf(x) )的最大值不是的最大值不是1 1，而是，而是0. 0. 高高縱坐標縱坐標2.2.最小值最小值對于定義域為對于定義域為I I的函數的函數f(xf(x) )，條件：，條件：結論：結論：M M是函數是函數f(xf(x) )在在I I上的最小值上的最小值. .幾何意義：幾何意義：函數函數y=f(xy=f(x) )圖象上最圖象上最_點的點的_._.f(x)f(x)M Mf(xf(x0 0)=M)=M低低縱坐標縱坐標判斷：判斷：( (正確的打正確的打“”，錯誤的打，錯誤的打“”)”)(1)(1)函數函數f(xf

3、(x)=x)=x的最小值是的最小值是-.( )-.( )(2)(2)函數函數f(xf(x)=-x)=-x2 2在在1,31,3上的最小值是上的最小值是-1.( )-1.( )(3)(3)函數函數f(xf(x)=2x)=2x在區間在區間1,3)1,3)上的最小值是上的最小值是-2-2，無最大，無最大值值.( ).( )提示：提示：(1)(1)錯誤錯誤. . 函數函數f(xf(x)=x)=x在在( (,+),+)上無最大值和最小上無最大值和最小值值. .(2)(2)錯誤錯誤. . 當當x=3x=3時函數時函數f(xf(x)=-x)=-x2 2在在1,31,3上取得最小值上取得最小值-9.-9.(3

4、)(3)正確正確. .由于函數由于函數f(xf(x)=2x)=2x在區間在區間1,3)1,3)上是增函數，故當上是增函數，故當x=-1x=-1時函數取得最小值時函數取得最小值-2-2，函數無最大值，函數無最大值. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3)【知識點撥【知識點撥】1.1.最大值、最小值定義的理解最大值、最小值定義的理解(1)(1)最大最大( (小小) )值定義中具備的兩個條件值定義中具備的兩個條件對于定義域內全部元素對于定義域內全部元素, ,都有都有f(x)M (f(x)Mf(x)M (f(x)M) )成立成立; ;M M首先是一個函數值首先是一個函數值, ,它是

5、值域的一個元素它是值域的一個元素, ,如如f(xf(x)=-x)=-x2 2的最的最大值是大值是0,0,有有f(0)=0,f(0)=0,注意定義中注意定義中“存在存在”一詞的理解一詞的理解. .(2)(2)兩條件缺一不可兩條件缺一不可, ,若只有前者若只有前者, M, M不是最大不是最大( (小小) )值值, ,如如f(xf(x)=-x)=-x2 211總成立總成立, ,但但1 1不是最大值不是最大值, ,更不能只有后者更不能只有后者, ,那樣就那樣就丟掉了最大值的核心了丟掉了最大值的核心了. .2.2.求最大值、最小值時的三個關注點求最大值、最小值時的三個關注點(1)(1)利用圖象寫出最值時

6、要寫最高利用圖象寫出最值時要寫最高( (低低) )點的縱坐標點的縱坐標, ,而不是橫而不是橫坐標坐標. .(2)(2)單調性法求最值勿忘求定義域單調性法求最值勿忘求定義域. .(3)(3)單調性法求最值單調性法求最值, ,尤其是閉區間上的最值尤其是閉區間上的最值, ,不判斷單調性而不判斷單調性而直接將兩端點值代入是最容易出現的錯誤直接將兩端點值代入是最容易出現的錯誤, ,求解時一定要注意求解時一定要注意. .3.3.辨析函數的最值和值域辨析函數的最值和值域(1)(1)函數的最值和值域反映的是函數的整體性質，針對的是整函數的最值和值域反映的是函數的整體性質，針對的是整個定義域個定義域. .(2)

7、(2)函數的值域一定存在，而函數的最大函數的值域一定存在，而函數的最大( (小小) )值不一定存在值不一定存在. .(3)(3)若函數的最值存在，則一定是值域中的元素若函數的最值存在，則一定是值域中的元素. .例如，函數例如，函數f(xf(x)=-x)=-x2 2對任意的對任意的xRxR，都有，都有f(x)1,f(x)1,但是但是f(xf(x) )的最大值不的最大值不是是1 1，因為，因為1 1不在不在f(xf(x) )的值域內的值域內. . 類型類型 一一 圖象法求函數最值圖象法求函數最值( (值域值域) ) 【典型例題【典型例題】1.1.函數函數y=f(xy=f(x) )，xx4,74,7

8、的圖象如圖，則其最大值、最的圖象如圖，則其最大值、最小值為小值為( )( )A.3A.3，2 B.32 B.3，-2-2C.3C.3，0 D.20 D.2，-2-22.2.寫出函數寫出函數f(xf(x)=|x+1|+|2)=|x+1|+|2x|x|，x(x(,3,3的單調區間和的單調區間和最值最值. .【解題探究【解題探究】1.1.利用圖象法求函數的最值時應寫最高利用圖象法求函數的最值時應寫最高( (低低) )點的點的縱坐標縱坐標, ,還是橫坐標？還是橫坐標？2.2.題題2 2中求函數的單調區間與最值時應按照怎樣的思路求解？中求函數的單調區間與最值時應按照怎樣的思路求解？探究提示：探究提示：1

9、.1.利用圖象寫出最值時要寫最高利用圖象寫出最值時要寫最高( (低低) )點的縱坐標點的縱坐標, ,而不是橫坐標而不是橫坐標. .2.2.應先作圖象，找出單調區間，最后確定最值應先作圖象，找出單調區間，最后確定最值. .【解析【解析】1.1.選選B.B.觀察圖象知，圖象的最高點觀察圖象知，圖象的最高點(3(3，3)3)，最低點，最低點(-1.5(-1.5，-2)-2)，所以其最大值、最小值分別為，所以其最大值、最小值分別為3 3，-2.-2.2. 2. 其圖象如下：其圖象如下：由圖象得單調遞減區間為由圖象得單調遞減區間為(-,-1(-,-1，單調遞增區間為，單調遞增區間為2,32,3, ,有最

10、小值有最小值3 3，無最大值，無最大值. . 1 2x,x(, 1f x3,x( 1,22x 1,x(2,3，【互動探究【互動探究】把題把題2 2中的問題改為求中的問題改為求f(x)5f(x)5的的x x的取值范圍的取值范圍. .【解析【解析】結合題結合題2 2圖象，令圖象，令g(xg(x)=5,)=5,則則x x的范圍為的范圍為x-2x-2或或x=3.x=3.【拓展提升【拓展提升】利用圖象法求函數最值利用圖象法求函數最值(1)(1)利用函數圖象求函數最值是求函數最值的常用方法利用函數圖象求函數最值是求函數最值的常用方法, ,對圖對圖象易作出的函數常用象易作出的函數常用. .(2)(2)圖象法

11、求最值的一般步驟圖象法求最值的一般步驟: :類型類型 二二 單調性法求函數的最值單調性法求函數的最值( (值域值域) )【典型例題【典型例題】1.1.已知函數已知函數f(xf(x)=x)=x2 2+2x+a(x+2x+a(x0,20,2) )有最小值有最小值-2-2，則，則f(xf(x) )的最大值為的最大值為( )( )A.4 B.6 C.1 D.2A.4 B.6 C.1 D.22.2.函數函數f(xf(x)= (x0).)= (x0).(1)(1)求證：求證：f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上是增函數上是增函數. .(2)(2)若函數若函數f(xf(x) )的定義域與值域都是的定

12、義域與值域都是 2 2，求，求a a的值的值. .11ax1,2【解題探究【解題探究】1.1.二次函數在閉區間內求最值的關鍵是什么二次函數在閉區間內求最值的關鍵是什么? ?2.2.題題2(1)2(1)證明證明f(xf(x) )的單調性的一般步驟是什么？它對解決的單調性的一般步驟是什么？它對解決(2)(2)是否有作用？是否有作用？探究提示：探究提示：1.1.求二次函數求二次函數f(xf(x) )在某區間在某區間m,nm,n上的最值的關鍵是判斷函上的最值的關鍵是判斷函數在數在m,nm,n內的單調性內的單調性. .2.2.證明證明f(xf(x) )單調性的步驟為取值單調性的步驟為取值作差變形作差變形

13、定號定號判斷判斷( (結結論論) )，可以利用其單調性解決，可以利用其單調性解決(2)(2)中的值域問題，進而求出中的值域問題，進而求出a a的的值值. .【解析【解析】1.1.選選B.f(xB.f(x)=x)=x2 2+2x+a(x+2x+a(x0,20,2) )為增函數，所以為增函數，所以最小值為最小值為f(0)=a=f(0)=a=2 2，最大值為，最大值為f(2)=8+a=6.f(2)=8+a=6.2.(1)2.(1)任取任取x x1 1，x x2 2(0,+)(0,+)，且，且x x1 1xx2 2，則則f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，即即f(xf(x) )在在(0,+

14、)(0,+)上是增函數上是增函數. .(2)(2)由由(1)(1)知，知，f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上是增函數，所以若函數上是增函數，所以若函數f(xf(x) )的定的定義域與值域都是義域與值域都是 2 2，則，則 即即解得解得a=a=1212122112xx111111f xf x()0axaxxxx x，1,2 11f( ),22f 22,112,a2112,a22.5【拓展提升【拓展提升】1.1.利用單調性求最值的一般步驟利用單調性求最值的一般步驟(1)(1)判斷函數的單調性判斷函數的單調性.(2).(2)利用單調性寫出最值利用單調性寫出最值. .2.2.利用單調性求最值

15、的三個常用結論利用單調性求最值的三個常用結論(1)(1)如果函數如果函數f(xf(x) )在區間在區間a,ba,b上是增上是增( (減減) )函數函數, ,則則f(xf(x) )在區在區間間a,ba,b的左、右端點處分別取得最小的左、右端點處分別取得最小( (大大) )值和最大值和最大( (小小) )值值. .(2)(2)如果函數如果函數f(xf(x) )在區間在區間(a,b(a,b上是增函數上是增函數, ,在區間在區間b,cb,c) )上上是減函數是減函數, ,則函數則函數f(xf(x) )在區間在區間(a,c(a,c) )上有最大值上有最大值f(bf(b).).(3)(3)如果函數如果函數

16、f(xf(x) )在區間在區間(a,b(a,b上是減函數上是減函數, ,在區間在區間b,cb,c) )上上是增函數是增函數, ,則函數則函數f(xf(x) )在區間在區間(a,c(a,c) )上有最小值上有最小值f(bf(b).).【變式訓練【變式訓練】已知函數已知函數f(xf(x)= x)= x2,52,5，求其最大，求其最大值與最小值值與最小值. .【解析【解析】任意取任意取x x1 1，x x2 22,52,5且且x x1 1xx2 2，則，則f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2)=)=xx1 1，x x2 22,52,5且且x x1 1x0)0，所以，所以f(xf(x)= x)=

17、 x2,52,5是減函數，是減函數，f(5)f(x)f(2)f(5)f(x)f(2)，故，故f(xf(x) )的最大值為的最大值為f(2)=2f(2)=2，最小值為，最小值為f(5)=f(5)=xx 1，12211221xxxxx1x1x1x1，xx 1，5.4類型類型 三三 函數最值的應用函數最值的應用 【典型例題【典型例題】1.1.綠園商店每月按出廠價每瓶綠園商店每月按出廠價每瓶3 3元購進一種飲料，根據以前的統元購進一種飲料，根據以前的統計數據，若零售價定為每瓶計數據，若零售價定為每瓶4 4元，每月可銷售元，每月可銷售400400瓶；若零售價瓶；若零售價每降低每降低( (升高升高)0.5

18、)0.5元，則可多元，則可多( (少少) )銷售銷售4040瓶，在每月的進貨當月瓶，在每月的進貨當月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應定為銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應定為_元元/ /瓶瓶. .2.2.一個運動員推鉛球，鉛球剛出手時離地面一個運動員推鉛球，鉛球剛出手時離地面 m m，鉛球落地點距，鉛球落地點距剛出手時相應地面上的點剛出手時相應地面上的點10m10m，鉛球運動中最高點離地面，鉛球運動中最高點離地面3m3m，如圖：如圖：已知鉛球走過的路線是拋物線，求該拋物線表示的函數的解已知鉛球走過的路線是拋物線，求該拋物線表示的函數的解析式析式. .53【解題探究【解題探究】1.

19、1.解實際應用問題時需要考慮定義域嗎？解實際應用問題時需要考慮定義域嗎？2.2.二次函數解析式有哪幾種設法？二次函數解析式有哪幾種設法？探究提示：探究提示：1.1.需要考慮定義域需要考慮定義域, ,因為解應用題因為解應用題, ,就是確定函數就是確定函數, ,求函數最值求函數最值的問題的問題, ,應時刻牢記函數的定義域應時刻牢記函數的定義域, ,不僅使函數式有意義，而不僅使函數式有意義，而且還要與實際問題相符合且還要與實際問題相符合. .2.(1)2.(1)一般式一般式: y=ax: y=ax2 2+bx+c(a0 ).+bx+c(a0 ).已知拋物線上任意三點時已知拋物線上任意三點時, ,通常

20、設函數解析式為一般式通常設函數解析式為一般式, ,然后然后列出三元一次方程組求解列出三元一次方程組求解. .(2)(2)頂點式頂點式: y=a(x-h): y=a(x-h)2 2+k(a0).+k(a0).已知拋物線的頂點坐標或對已知拋物線的頂點坐標或對稱軸方程時稱軸方程時, ,通常設函數解析式為頂點式通常設函數解析式為頂點式. .(3)(3)兩根式兩根式: y=a(x: y=a(xx x1 1)(x)(xx x2 2)( a0).)( a0).已知二次函數與已知二次函數與x x軸軸的兩個交點或已知與二次函數對應的一元二次方程的兩個實的兩個交點或已知與二次函數對應的一元二次方程的兩個實根時根時

21、, ,經常采用兩根式經常采用兩根式. .【解析【解析】1.1.設銷售價每瓶定為設銷售價每瓶定為x x元，利潤為元，利潤為y y元，元，則則y=(xy=(x3)(400+ 3)(400+ 40)=80(x40)=80(x3)(93)(9x)=x)=-80(x-6)-80(x-6)2 2+720(x3)+720(x3)，所以，所以x=6x=6時，時，y y取最大值取最大值. .答案：答案：6 62.2.由題意，拋物線的最大值為由題意，拋物線的最大值為3 3，故設拋物線方程為，故設拋物線方程為y=a(xy=a(xh)h)2 2+3(a0)+3(a0)，又其過點，又其過點(0, )(0, )，(10,

22、0)(10,0)，所以，所以 解得解得 拋物線方程為拋物線方程為y= (xy= (x4)4)2 2+3+3，xx0,100,10. .4x0.55322a 10h30,5ah3,31a,12h4,112【拓展提升【拓展提升】解實際應用題的四個步驟解實際應用題的四個步驟(1)(1)審題審題: :解讀實際問題解讀實際問題, ,找出已知條件、未知條件找出已知條件、未知條件, ,確定自變確定自變量和因變量的條件關系量和因變量的條件關系. .(2)(2)建模建模: :建立數學模型建立數學模型, ,列出函數關系式列出函數關系式. .(3)(3)求解求解: :分析函數性質分析函數性質, ,利用數學知識探究問

23、題解法利用數學知識探究問題解法( (一定注一定注意自變量的取值范圍意自變量的取值范圍).).(4)(4)回歸回歸: :數學問題回歸實際問題數學問題回歸實際問題, ,寫出答案寫出答案. .【變式訓練【變式訓練】快艇和輪船分別從快艇和輪船分別從A A地和地和C C地同時開出，如圖，地同時開出，如圖，各沿箭頭方向航行，快艇和輪船的速度分別是各沿箭頭方向航行，快艇和輪船的速度分別是4545千米千米/ /時和時和1515千米千米/ /時，已知時，已知ACAC150150千米，在快艇到達千米，在快艇到達C C地之前，經過多少地之前，經過多少時間，快艇和輪船之間的距離最短？時間，快艇和輪船之間的距離最短？【

24、解析【解析】設經過設經過x x小時后快艇和輪船之間的距離最短，距離設小時后快艇和輪船之間的距離最短，距離設為為y y，由由15015045= 45= 知定義域為知定義域為x|0 x x|0 x 可求得當可求得當x=3x=3時，時，y y有最小值有最小值故經過故經過3 3小時，快艇與輪船之間的距離最短小時，快艇與輪船之間的距離最短. . 103103222210y150 45x15x1510 x6x10 (0 x)3， 二次函數在區間上的最值二次函數在區間上的最值 【典型例題【典型例題】1.1.已知函數已知函數f(xf(x)=x)=x2 2-2ax+2-2ax+2，xx-1,1-1,1，求函數，

25、求函數f(xf(x) )的最的最小值小值. .2.2.設函數設函數f(xf(x)=x)=x2 2-2x+2,x-2x+2,xt,t+1t,t+1,tR,tR，求函數，求函數f(xf(x) )的的最小值最小值. .【解析【解析】1.f(x)=x1.f(x)=x2 2-2ax+2=(x-a)-2ax+2=(x-a)2 2+2-a+2-a2 2的圖象開口向上，且的圖象開口向上，且對稱軸為直線對稱軸為直線x=a.x=a.當當a1a1時，函數圖象如圖時，函數圖象如圖(1)(1)所示，函數所示，函數f(xf(x) )在區間在區間-1-1，1 1上是減函數，最小值為上是減函數，最小值為f(1)=3-2a;f

26、(1)=3-2a;當當-1a1-1a1時，函數圖象如圖時，函數圖象如圖(2)(2)所示，函數所示，函數f(xf(x) )在區間在區間-1,1-1,1上是先減后增，最小值為上是先減后增，最小值為f(af(a)=2-a)=2-a2 2; ;當當a-1a-1時，函數圖象如圖時，函數圖象如圖(3)(3)所示，函數所示，函數f(xf(x) )在區間在區間-1-1，1 1上是增函數，最小值為上是增函數，最小值為f(-1)=3+2a.f(-1)=3+2a.2.f(x)=x2.f(x)=x2 2-2x+2=(x-1)-2x+2=(x-1)2 2+1,x+1,xt,t+1t,t+1,tR,tR，對稱軸為直，對稱

27、軸為直線線x=1.x=1.當當t+11t+11，即，即t0t1t1時，函數圖象如圖時，函數圖象如圖(3)(3)所示，函數所示，函數f(xf(x) )在區間在區間t,t+1t,t+1上為增函數，所以最小值為上為增函數，所以最小值為f(tf(t)=t)=t2 2-2t+2.-2t+2.【拓展提升【拓展提升】求二次函數求二次函數f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)在區間在區間m,nm,n上上的最值的類型的最值的類型(1)(1)若對稱軸若對稱軸x= x= 在區間在區間m,nm,n內，則最小值為內，則最小值為f( )f( )，最大，最大值為值為f(m),f(nf(m),

28、f(n) )中較大者中較大者( (或區間端點或區間端點m,nm,n中與中與x= x= 距離較遠的距離較遠的一個對應的函數值為最大值一個對應的函數值為最大值).).(2)(2)若對稱軸若對稱軸x= m,x= n,x= n,則則f(xf(x) )在區間在區間m,nm,n上是減函數，最大上是減函數，最大值為值為f(mf(m),),最小值為最小值為f(nf(n).). b2ab2ab2ab2ab2a【規范解答【規范解答】利用函數的單調性求最值問題利用函數的單調性求最值問題【規范解答【規范解答】設設x x1 1,x,x2 2為為1,21,2上的任意兩個實數上的任意兩個實數, ,且且x x1 1xx2 2

29、, , 1 1分分【典例【典例】 【條件分析【條件分析】則則f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) ) 5 5分分xx1 1,x,x2 21,21,2, ,且且x x1 1xx2 2, ,xx1 1-x-x2 20.0.2112121212121212121299x(x)xx9xx(1)x xx x9xx.x x9 xxxxx xx x1 1x x2 2(1,4)(1,4)，x x1 1x x2 2-90-90, f(x)0, f(x1 1)f(x)f(x2 2) )，函數函數f(xf(x)=x+ )=x+ 在在1,21,2上為減函數上為減函數. . 10 10分分所以當所以當x=1x

30、=1時取最大值，時取最大值，最大值最大值f(1)=10,f(1)=10,當當x=2x=2時取最小值，時取最小值，最小值最小值f(2)=f(2)=從而函數的最大值是從而函數的最大值是f(1)=10,f(1)=10,最小值是最小值是f(2)=f(2)= . . 12 12分分9x13,2132【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.對單調性定義的把握對單調性定義的把握在函數的定義域中任給在函數的定義域中任給x x1 1xx2 2，比較出，比較出f(xf(x1 1)f(x)f(xf(x2 2) )的關系，從而得出是增函數還是減函數的關系，從而得出是增函數還是減函數. .如本例中如本例中f(xf(x1 1)-)-f(xf(x2 2)0,)0,得出得出f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2