1、專題04軸對稱章末重難點題型匯編【舉一反三】【人教版】考點6設(shè)計軸對稱圖案考點7等腰三角形的判定考慮8 “三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用考點9等邊三危形的判定與性質(zhì)考慮10感折變換軸又挪考點1判斷鈾對稱圖形考點2角平分線的應(yīng)用考點3裁段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用考點4等腰三用形的性質(zhì)考點5軸對性質(zhì)的應(yīng)用tMHHn【考點1判斷軸對稱圖形】【方法點撥】 掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。注意：理解軸對稱圖形的定義應(yīng)注意兩點：（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一

2、條，但至少要有一條。【變式1-1（2018秋？思明區(qū)校級期中）如圖，四個手機應(yīng)用圖標中是軸對稱圖形的是（【變式1-2（2018秋?開封期中）下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（）17C.D.【變式1-3（2018秋?宜興市校級期中）下列圖形中，不是軸對稱圖形的有（A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【考點2角平分線的應(yīng)用】【方法點撥】 掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個比較簡單的方法；（2）當遇到有關(guān)角平分線的問題時，通常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段。【例2】（2019春?港南區(qū)期中）如圖，在 ABC中

3、，/ C=90° , AC=BC, AD平分/ CAB交BC于D,DE LAB于E,若 AB=6cm,則 DBE的周長是（A. 6 cm【變式2-1（2018秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖,AD是 ABC的角平分線， DELAB于E,已知 ABC的面積為28. AC=6, DE = 4,則AB的長為（）A. 6B. 8C. 4D. 10【變式2-2（2018秋？思明區(qū)校級期中）如圖，ABC 中，AB=6, AC = 4, AD 平分/ BAC, DEAB 于點E, BFAC于點F, DE = 2,則BF的長為（A. 3B. 4C. 5D. 6【變式2-3（2018秋?西城區(qū)校級期中）如圖

4、,AD是 ABC中/ BAC的角平分線，DELAB于點E, S"bc= 24, DE = 4, AB=7,則 AC 長是（）A. 3B. 4C. 6D. 5【考點3線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點與點之間的距離，也就是兩點之間線段的長度。（2）在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。【例3】（2019春?普寧市期中）如圖：在 ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交 BC于點D、E,且點D在點E的左側(cè)，BC= 6cm,則 ADE的周長是（）B. 1

5、2cm【變式3-1（2019春?南華縣期中）如圖，在RtAABC 中，/ C = 90° ,AC=3, BC=4, AB的垂直平分線交BC于點D,連接AD,則 ACD的周長是（A. 7B. 8C. 9D. 10【變式3-2（2018秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，在 ABC中，點E在邊AC上，DE是AB的垂直平分線, ABC的周長為19, BCE的周長為12,則線段AB的長為（）A. 9B. 8C. 7D. 6【變式3-3（2018春?雨城區(qū)校級期中）如圖，在4ABC中，PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線，/BAC= 100° 那么/ PAQ 等于（C. 30°D,

6、 20°【考點4等腰三角形的性質(zhì)】【方法點撥】掌握等腰三角形的性質(zhì):1 .等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。2 .等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。3 .等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。40°【例4】（2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為則此等腰三角形的頂角是（）A. 50°B. 130C. 50° 或 140° D, 50° 或 130【變式4-1（2018秋?洪山區(qū)期中）如圖，已知AB = AC = BD,則/ 1

7、與/ 2的關(guān)系是（A. 3/ 1 - / 2= 180°C. / 1+3/2= 180°B. 2/1 + /2=180°D. / 1 = 2/2【變式4-2（2018秋？祁江區(qū)期中）如圖，若AB = AC,下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的A. (1) (2) (3)B. (1) (3) (4)C. (2) (3) (4) D. (1) (2) (4)【變式4-3（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，在第一個ABAi中/ B= 20° , AB=AiB,在AiB上取一點C,延長AA1到A2,使得A1A2=A1C,得到第二個 A1A2C;在A2c上取一

8、點D,延長A1A2至U A3,使得A2A3= A2D;，按此做法進行下去，則以點A4為頂點的等腰三角形的底角的度數(shù)為（C. 10【考點5軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用】D. 5°【方法點撥】掌握軸對稱的性質(zhì):1 .成軸對稱的兩個圖形全等。2 .成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分。3 .成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱。【例5】（2019春?貴陽期末）如圖，點 P是4ACB外的一點，點D, E分別是 ACB兩邊上的點，點 P關(guān) 于CA的對稱點P1恰好落在線段 ED上，P點關(guān)于CB的對稱點P2落在ED的延長線上，若 PE=2.5, PD=3, ED = 4,則線段 P1P2的

9、長為.【變式5-1（2019春?普寧市期末）如圖，在 ABC中，點D為BC邊上一點，點 D關(guān)于AB, AC對稱的點分別為 E、F,連接EF分別交AB、AC于M、N,分別連接 DM、DN,已知 DMN的周長是6cm,那么 EF =.【變式5-2（2019春？山亭區(qū)期末）如圖，在/ AOB的內(nèi)部有一點 P,點M、N分別是點P關(guān)于OA, OB的對稱點，MN分別交OA, OB于C, D點，若/ PCD的周長為30cm,則線段 MN的長為 cm.【變式5-3（2018春?鳳翔縣期末）如圖，點 P是/AOB外一點，點M、N分別是/ AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段 MN上，點P關(guān)于OB

10、的對稱點R落在線段MN的延長線上.若PM=2.5cm, PN= 3cm, MN = 4cm,則線段 QR 的長為.【考點6設(shè)計軸對稱圖案】【方法點撥】 設(shè)計軸對稱圖案往往以正方形、菱形、等邊三角形和網(wǎng)格紙（或格點紙）為基礎(chǔ)，因為這些 圖形本身就是軸對稱圖形，利用軸對稱的有關(guān)性質(zhì)容易設(shè)計出它們的對稱點或?qū)ΨQ部分。設(shè)計軸對稱圖案 時，要先確定出有幾條對稱軸，然后根據(jù)對稱軸的不同，合理地設(shè)計出整體的軸對稱圖案。具體設(shè)計時， 我們通常先以一條對稱軸為基線，根據(jù)構(gòu)思或需要，再添加其他的對稱軸，進一步設(shè)計美觀、完善的圖案。注意：（1）要設(shè)計的圖案是由哪些基本圖形組成的；（2）是不是軸對稱圖形，如果是軸對稱

11、圖形，要先確定它的對稱軸；（3）設(shè)計軸對稱的美術(shù)圖案時，除圖形對稱外，有時顏色也要“對稱”。【例6】（2019春?赫山區(qū)期末）如圖是網(wǎng)格中由五個小正方形組成的圖形，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）（1）圖中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；（2）圖中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且只有一條對稱軸（畫出一個即可）圖 圖【變式6-1（2019春?東明縣期末）如圖，下列 4X4網(wǎng)格圖都是由16個相間小正方形組成，每個網(wǎng)格圖中有4個小正方形已涂上陰影，在空白小正方形中，選取2個涂上陰影，使6個陰影小正方形組成個軸對稱圖形，請設(shè)計出四種方案.C BeC B【變式6-2（201

12、8秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在2X2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.請分別ABC成軸對稱圖形.在下列圖中畫一個位置不同、頂點都在格點上的三角形，使其與【變式6-3（2018秋?東臺市期中）方格紙中每個小方格都的邊長為1的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形稱為“格點多邊形”: 一: nr :.:（1）在圖1中確定格點D,并畫出一個以 A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形;（2）在圖2中畫一個格點正方形，使其面積等于10；（3）直接寫出圖3中4FGH的面積是.【考點7等腰三角形的判定】【方法點撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“

13、等角對等邊”牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反,要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。CG = GB, / 1=/2,求證： DGE是等腰三角形.【變式7-1（2018秋?雙陽區(qū)校級期中）如圖,BD是 ABC的角平分線，DE / BC,交AB于點E.求證:【變式7-2（2018秋?鳩江區(qū)期中）已知：如圖, 證： ABC是等腰三角形.O為 ABC的/ BAC的角平分線上一點，/ 1 = / 2,求 BED是等腰三角形.銳角ABC的兩條高BD、CE相交于點O,且OB=OC.【

14、變式7-3（2019秋?望謨縣期中）已知：如圖,求證： ABC是等腰三角形.BC【考點8 “三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點撥】 等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。【例8】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在 ABC中，/ BAC=90° , ADXBC, BE平分/ABC, G為EF的中點，求證：AGXEF .【變式8-1（2019秋?青山區(qū)期中）在 ABC中，BC邊上白高AG平分/ BAC .（1）如圖1,求證：AB = AC;(2)如圖 2,點 D、E 在 ABC 的邊 BC 上，AD = AE, BC= 10cm, DE=6cm,求 BD 的長.【

15、變式8-2（2019?衡陽校級期中）已知：如圖，在等邊三角形 ABC的AC邊上取中點D, BC的延長線上取一點 E,使 CE=CD.求證：BD=DE.BAC =90° , AB = AC.（1）若D為BC的中點，過 D作DM LDN分別交 AB、AC于M、N,求證：DM = DN;（2）若DM ±DN分別和BA、AC延長線交于 M、N,問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明.【考點9等邊三角形的判定與性質(zhì)】【方法點撥】等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形是軸對稱圖形，并且具有3條對稱軸；(2)等邊三角形的每個角都等于60°。等邊三角形的判定：(1)三邊相等的三角形是等邊三

16、角形。(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形。(3)有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。(4)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。【例9】(2018秋?松桃縣期末)如圖，點 P, M, N分別在等邊 ABC的各邊上，且 MPLAB于點P, MN，BC于點M, PNLAC于點N.(1)求證： PMN是等邊三角形；【變式9-1(2018秋?邵陽縣期末)如圖，在等邊 ABC中，/ ABC與/ ACB的平分線相交于點 O,且OD/ AB, OE/AC(1)試判定 ODE的形狀，并說明你的理由；(2)若BC= 10,求 ODE的周長.【變式9-2(2019秋?壽光市期末)如圖， A、B

17、、C三點在同一直線上，分別以 AB、BC為邊，在直線 AC 的同側(cè)作等邊 ABD和等邊 BCE,連接AE交BD于點M,連接CD交BE于點N,連接MN得 BMN .(1)求證： ABEA DBC.(2)試判斷 BMN的形狀，并說明理由.【變式9-3(2019秋？中江縣期末)如圖， ABC中，AB=BC = AC= 12cm,現(xiàn)有兩點 M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s,點N的速度為2cm/s,當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動.(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形AMN?(3)當點M、N在BC邊上運

18、動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形 AMN?如存在，請求出此時M、 N運動的時間.【考點10翻折變換】【例10】(2018春?錦江區(qū)期末)在探索三角形全等的條件時，老師給出了定長線段a, b,且長度為b的邊所對的角為n° (0<n<90° )小明和小亮按照所給條件分別畫出了圖1中的三角形，他們把兩個三角形重合在一起(如圖2),其中AB=a, BD = BC = b,發(fā)現(xiàn)它們不全等，但他們對該圖形產(chǎn)生了濃厚興趣， 并進行了進一步的探究：（1）當n = 45時（如圖2）,小明測得/ ABC = 65° ,請根據(jù)小明的測量結(jié)果，求/ABD的大小;（2）當

19、nw45時，將 ABD沿AB翻折，得到 ABD '（如圖3）,小明和小亮發(fā)現(xiàn)/ D' BC的大小與角度n有關(guān)，請找出它們的關(guān)系，并說明理由;（3）如圖4,在（2）問的基礎(chǔ)上，過點 B作AD'的垂線，垂足為點 E,延長AE到點F,使得EF =2【變式10-1（2019春?遷安市期末）已知/ MON=90° ,點A, B分別在射線 OM , ON上運動（不與點 O 重合）觀察：（1）如圖1,若/ OBA和/ OAB的平分線交于點 C, / ACB=° 猜想：（2）如圖2,隨著點A, B分別在射線 OM, ON上運動（不與點 O重合）.若BC是/ ABN的

20、平分線， BC的反向延長線與/ OAB的平分線交于點 E, / E的大小會變嗎？如果不會，求/ E的度數(shù)；如果會改 變，說明理由.拓展：（3）如圖3,在（2）基礎(chǔ)上，小明將 ABE沿MN折疊，使點E落在四邊形 ABMN內(nèi)點E'的位置.求 /BME' +/ANE'的度數(shù).【變式10-2（2019春?斫口區(qū)月考）如圖 1,點E, F分別在直線 AB, CD上，點P在AB, CD之間，連接EP, FP.過FP上的點 M作MN / EP,交 CD于點N,且/ MNF =/ AEP.（1）求證：AB / CD;（2）如圖2,將射線FC沿FP折疊后交EP于點G, GH平分/ EGF

21、,若GH /AB,請寫出/ EPF與/ GFC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3,將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后兩條射線相交于點Q,直接寫出當/EPF =度時，EQXFQ.【變式10-3】（2019春?廣陵區(qū)校級期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,把 ABC沿DE折疊，使點A落在點A處， 請你判斷/ 1 + /2與/ A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由思考（2）如圖2, BI平分/ ABC, CI平分/ ACB,把4ABC折疊，使點A與點I重合，若/ 1 + 72=100° ,求/ BIC的度數(shù)；拓展（3）如圖3,在銳角 ABC中，BFXAC于點F, CGXA

22、B于點G, BF、CG交于點 H,把 ABC折疊使點A和點H重合，試探索/ BHC與/ 1 + /2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【考點1判斷軸對稱圖形】【方法點撥】 掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。注意：理解軸對稱圖形的定義應(yīng)注意兩點：（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。【例1】（2019春?相城區(qū)期中）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）【分析】根據(jù)關(guān)于某條直線對稱的圖形叫軸對稱圖形，進而判斷得出即可.【答案】解：A、是軸

23、對稱圖形，不合題意;B、不是軸對稱圖形，符合題意;C、是軸對稱圖形，不合題意； D、是軸對稱圖形，不合題意； 故選：B.【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，對稱軸可使圖形兩部分折疊后重合.【變式1-1（2018秋？思明區(qū)校級期中）如圖，四個手機應(yīng)用圖標中是軸對稱圖形的是（B.C.【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可.【答案】解：A、B、C不是軸對稱圖形,D是軸對稱圖形，故選：D.【點睛】本題考查的是軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.【變式1-2（2018秋?開封期中）下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（

24、aQPD.【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.【答案】解：A、是軸對稱圖形，故本選項錯誤;B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項正確;D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； 故選：C.【點睛】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合.【變式1-3（2018秋?宜興市校級期中）下列圖形中，不是軸對稱圖形的有（A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.【答案】解：只有第 1個不是軸對稱圖形.故選：A.【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合.【考點2

25、角平分線的應(yīng)用】【方法點撥】 掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個比較簡單的方法；（2）當遇到有關(guān)角平分線的問題時，通常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段。【例2】（2019春?港南區(qū)期中）如圖，在 ABC中，/ C=90° , AC=BC, AD平分/ CAB交BC于D,DE LAB于E,若 AB=6cm,則 DBE的周長是（）A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC=BC = AE,然后求出

26、 DBE的周長=AB,代入數(shù)據(jù)即可得解.【答案】解：: AD 平分/CAB, DEXAB, /C=90° ,DE = CD,又. AC = BC, AC = AE,AC= BC= AE, .DBE 的周長=DE+BD + EB=CD+BD + EB=BC+EB = AE+EB=AB, AB= 6cm, .DBE 的周長=6cm.故選：A.【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)求出 DBE的周長=AB是解題的關(guān)鍵.【變式2-1（2018秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，AD是 ABC的角平分線，DELAB于E,已知 ABC的面積為28. A

27、C=6, DE = 4,則AB的長為（）A. 6B. 8C. 4D. 10【分析】作DF，AC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DF,根據(jù)三角形的面積公式計算即可.【答案】解：作DF，AC于F,. AD 是 ABC 的角平分線，DEAB, DFXAC,DF =DE = 4,X ABX DE+X ACX DF = 28,即4 ABX4+X6X 4= 28,2222解得，AB=8,故選：B.#【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.【變式2-2（2018秋？思明區(qū)校級期中）如圖， ABC中，AB=6, AC = 4, AD平分/ BAC, DEAB于點E

28、, BFAC于點F, DE = 2,則BF的長為（）BA. 3B. 4C. 5D. 6【分析】過D作DGAC于G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到 DG = DE = 2,根據(jù)三角形的面積公式列方程 即可得到結(jié)論.【答案】解：過 D作DG，AC于G , AD 平分/ BAC, DEXAB,DG= DE=2, . AB=6, AC = 4, SaABC= iAC?BF = &abd+Saacd =AB?DE+工AC?DG ,222X 4?BF = X 6X 2+X 4X2,222BF= 5,故選：C.【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【變式2-3（201

29、8秋?西城區(qū)校級期中）如圖， AD是 ABC中/ BAC的角平分線，DELAB于點E, Saabc= 24, DE = 4, AB=7,則 AC 長是（）EA. 3B. 4C. 6D. 5【分析】作DF_LAC于F,如圖，根據(jù)角平分線定理得到 DE=DF = 4,再利用三角形面積公式和 Saadb+SADC= Sa ABC得到X 4X 7+X x 4 X AC = 24 ,然后解一次方程即可. 22【答案】解：作DFLAC于F,如圖，. , AD 是 ABC 中/ BAC 的角平分線， DEAB, DF XAC,DE = DF = 4, SAADB+SaADC= SABC，X 4X 7+Lx

30、4X AC = 24,22AC= 5,故選：D.【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會利用面積法構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型.【考點3線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點與點之間的距離，也就是兩點之間線段的長度。（2）在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。【例3】（2019春?普寧市期中）如圖：在 ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交 BC于點D、E,且點D

31、在點E的左側(cè)，BC= 6cm,則 ADE的周長是（）19A. 3cmB. 12cmC. 9cmD. 6cm21【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB, EA=EC,根據(jù)三角形的周長公式計算即可.【答案】解：: AB和AC的垂直平分線分別交 BC于點D、E,DA = DB, EA= EC, .ADE 的周長=AD+DE+AE= BD+DE + EC= BC = 6cm,故選：D.【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距【變式3-1（2019春?南華縣期中）如圖，在線交BC于點D,連接AD,則 ACD的周卡IA. 7B. 8【分析】直接利

32、用線段垂直平分線的性質(zhì)得出【答案】解：: AB的垂直平分線交BC于點AD = BD,. BC=4, AC=3,RtAABC 中，/ C = 90° , AC=3, BC=4, AB 的同平分遢（）C. 9D. 10AD = BD,進而得出答案.D,離相等是解題的關(guān)鍵.CD+AD =CD + BD = BC=4,.ACD 的周長為：4+3-7.故選：A.【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，正確得出A【變式3-2（2018秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，在 ABC中，點 ABC的周長為19, 4BCE的周長為12,則線段 AB的長為iD = BD是解題關(guān)鍵.E在邊AC上，DE是AB的垂

33、直平分線,（ ）CBA. 9B. 8C. 7D . 6AE= BE,又由 BCE的周長為【分析】由DE為AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得12,可得AC+BC=12,繼而求得答案.【答案】解：: DE為AB的垂直平分線，AE= BE,.BCE的周長為12,BC+BE+CE= BC+AE+CE= BC+AC= 12cm,.ABC的周長為19,AB+AC+BC= 19,AB= 19- 12=7,故選：C.【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.【變式3-3(2018春?雨城區(qū)校級期中)如圖，在 ABC中，PM、QN分別是AB、AC的垂

34、直平分線，/BAC= 100° 那么/ PAQ 等于()A. 50°B, 40°C. 30°D, 20°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到/B+ZC=180° - 100° =80。，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB, QA=QC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可.【答案】解：BAC=100° ,. B+Z C= 180° - 100° = 80° ,PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線， .PA=PB, QA=QC, ./ PAB=Z B, / QAC = Z C,，/PAQ=18

35、0° - (/ PAB+/QAC) =180° - (/ B+Z C) =20° ,故選：D.【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.23【考點4等腰三角形的性質(zhì)】【方法點撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1 .等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。2 .等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。3 .等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。【例4】（2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為4

36、0則此等腰三角形的頂角是（）A. 50°B. 130°C. 50° 或 140°D. 50° 或 130°【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應(yīng)分開來討論.【答案】解：當為銳角時，如圖：. /ADE = 40° , / AED=90° ,，/A=50° ,當為鈍角時，如圖：頂角/ BAC = 180° 50° =130°故選：D.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵.53【變式4-1(

37、2018秋?洪山區(qū)期中)如圖，已知 AB = AC = BD,則/ 1與/ 2的關(guān)系是(B. 2/1 + /2=180°C. /1+3/2=180°D, Z 1 = 2/2【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得/1和/ C之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得/ 1和/ 2之間的關(guān)系.【答案】解： AB=AC=BD,.Z B=/ C= 180° - 2/ 1,1-/ 2=180° - 2/1,3/ 1 / 2=180° .【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)；熟練掌握等腰

38、三角形的性質(zhì)，弄清角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，本題難度適中.【變式4-2(2018秋?祁江區(qū)期中)如圖，若 AB = AC,下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是()(4)A. (1) (2) (3) B. (1) (3) (4) C. (2) (3) (4)D. (1) (2) (4)【分析】根據(jù)等腰三角形的判定對個選項逐一分析，只有不能被一條直線分成兩個小等腰三角形【答案】解：中作/ B的角平分線即可;過A點作BC的垂線即可；中以A為頂點AB為一邊在三角形內(nèi)部作一個 72度的角即可;只有選項不能被一條直線分成兩個小等腰三角形.AC B(3)【點睛】考查了等腰三角形的判定方法以

39、及三角形的內(nèi)角和定理；進行嘗試操作是解答本題的關(guān)鍵.【變式4-3（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，在第一個ABAi中/ B= 20° , AB=AiB,在AlB上取一點C,延長AAi到A2,使得AiA2=AlC,得到第二個 A1A2C;在A2c上取一點D,延長A1A2至U A3,使得A2A3= A2D;，按此做法進行下去，則以點A4為頂點的等腰三角形的底角的度數(shù)為（c. 10°D. 5°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/BAiA的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出/ CA2A1, / DA3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出/ A6的

40、度數(shù).【答案】解：在 ABAi 中，/ B=20° , AB = AiB,/BAiA=l'0 2一/屋80。,AlA2=AlC, / BAiA 是 AiA2c 的外角,/ CA2A1 =同理可得/ DA3A2=20°, / EA4A3=10° ,80°一 / An= T,211-1以點A4為頂點的底角為/ A5.,. Z A5 = 524CA2A1, / DA3A2 及/【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出/EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.【考點5軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用】 【方法點撥】掌握軸對稱的性質(zhì):1 .

41、成軸對稱的兩個圖形全等。2 .成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分。3 .成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱。【例5】(2019春?貴陽期末)如圖，點 P是4ACB外的一點，點D, E分別是 ACB兩邊上的點，點 P關(guān) 于CA的對稱點Pi恰好落在線段 ED上，P點關(guān)于CB的對稱點P2落在ED的延長線上，若 PE=2.5, PD=3, ED = 4,則線段 PiP2的長為.【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出PE=EPi, PD=DP2,進而利用DE = 4cm,得出PiD的長，即可得出P1P2的長.【答案】解：二點 P關(guān)于CA的對稱點Pi恰好落在線段ED上，P點關(guān)于CB的對稱

42、點P2落在ED的延 長線上， .PE=EPi, PD = DP2,. PE= 2.5cm, PD=3cm, DE = 4cm,P2D = 3cm, EPi= 2.5cm,即 DPi = DE - EPi = 4- 2.5= i.5 (cm),則線段 P1P2 的長為:PiD+DP2= i.5+3 = 4.5 (cm).故答案為4.5.【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，得出PE = EPi, PD=DP2是解題關(guān)鍵.【變式5-1(2019春?普寧市期末)如圖，在 ABC中，點D為BC邊上一點，點 D關(guān)于AB, AC對稱的點分別為 E、F,連接EF分別交AB、AC于M、N,分別連接 DM、D

43、N,已知 DMN的周長是6cm,那 么 EF =.【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知，EM=DM, FN = DN,所以由 DMN的周長公式得到 DMN的周長=EF.【答案】解：由軸對稱的性質(zhì)知，EM = DM, FN=DN,EF= EM+MN+FN = DM+MN + DN = A DMN 的周長=6cm. .DMN 的周長=EF = 6 cm.故答案是：6 cm.【點睛】考查了軸對稱的性質(zhì)，如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段 的垂直平分線.【變式5-2（2019春？山亭區(qū)期末）如圖，在/ AOB的內(nèi)部有一點 P,點M、N分別是點P關(guān)于OA, OB的對稱點，MN分別交OA

44、, OB于C, D點，若/ PCD的周長為30cm,則線段 MN的長為 cm.【分析】利用對稱性得到 CM = PC, DN = PD,把求MN的長轉(zhuǎn)化成 PCD的周長，問題得解.【答案】解：.點 P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為 C、D, .MC=PC, ND = PD,MN = CM+CD+ND = PC+CD + PD=30cm.【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等.【變式5-3（2018春?鳳翔縣期末）如圖，點 P是/AOB外一點，點M、N分別是/ AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段 MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在線段MN的延長

45、線上.若PM=2.5cm, PN= 3cm, MN = 4cm,則線段 QR 的長為.【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知：PM=MQ, PN=RN,先求得QN的長度，然后根據(jù) QR=QN+NR即可求得QR的長度.【答案】解：由軸對稱的性質(zhì)可知：PM = MQ = 2.5cm, PN=RN = 3cm,QN= MN - QM = 4 2.5 = 1.5cm, QR= QN + NR= 1.5+3 = 4.5cm .故答案為：4.5cm.【點睛】本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【考點6設(shè)計軸對稱圖案】【方法點撥】 設(shè)計軸對稱圖案往往以正方形、菱形、等邊三角形和網(wǎng)格紙（或格點

46、紙）為基礎(chǔ)，因為這些 圖形本身就是軸對稱圖形，利用軸對稱的有關(guān)性質(zhì)容易設(shè)計出它們的對稱點或?qū)ΨQ部分。設(shè)計軸對稱圖案 時，要先確定出有幾條對稱軸，然后根據(jù)對稱軸的不同，合理地設(shè)計出整體的軸對稱圖案。具體設(shè)計時， 我們通常先以一條對稱軸為基線，根據(jù)構(gòu)思或需要，再添加其他的對稱軸，進一步設(shè)計美觀、完善的圖案。 注意：（1）要設(shè)計的圖案是由哪些基本圖形組成的；（2）是不是軸對稱圖形，如果是軸對稱圖形，要先確定它的對稱軸；（3）設(shè)計軸對稱的美術(shù)圖案時，除圖形對稱外，有時顏色也要“對稱”。【例6】（2019春?赫山區(qū)期末）如圖是網(wǎng)格中由五個小正方形組成的圖形，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）（1）圖中，添加一

47、塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；（2）圖中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且只有一條對稱軸（畫出一個即可）圖 圖【分析】（1）直接利用軸對稱圖形的定義分析得出答案;（2）直接利用軸對稱圖形的定義分析得出答案.【答案】解：（1）如圖所示：即為所求；【點睛】此題主要考查了軸對稱變換，正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.【變式6-1（2019春?東明縣期末）如圖，下列 4X4網(wǎng)格圖都是由16個相間小正方形組成，每個網(wǎng)格圖中有4個小正方形已涂上陰影，在空白小正方形中，選取2個涂上陰影，使6個陰影小正方形組成個軸對稱圖形，請設(shè)計出四種方案.【分析】直接利用軸對稱圖形的定義分析得出

48、答案.【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，不同的對稱軸,【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，正確掌握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.【變式6-2（2018秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在2X2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.請分別在下列圖中畫一個位置不同、頂點都在格點上的三角形，使其與ABC成軸對稱圖形.可以有不同的對稱圖形，所以可以稱找出不同的對稱軸，再思考如何畫對稱圖形.【答案】畫對任意三種即可.【點睛】此題考查的是利用軸對稱設(shè)計圖案，基本作法:先確定圖形的關(guān)鍵點； 利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對稱點； 按原圖形中的方式順次連接對稱點【變式6-3(2018秋?東臺市期中)方格紙中每個小方格都的

49、邊長為1的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形稱為“格點多邊形”圖1(1)在圖1中確定格點D,并畫出一個以 A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形;(2)在圖2中畫一個格點正方形，使其面積等于10；(3)直接寫出圖3中4FGH的面積是【分析】(1)找出點A關(guān)于BC的對稱點即可;(2)先構(gòu)造以1和3為直角邊的直角三角形，然后以三角形的斜邊為邊構(gòu)造正方形即可;(3)構(gòu)造如圖所示的矩形，根據(jù) GFH的面積=矩形面積減去三角形直角三角形的面積求解即可.【答案】解：(1)如圖1所示:圖1(2)如圖2所示:(3)如圖3所示: FGH的面積=矩形 ABHC的面積- AFG的面積- BGH的面積- F

50、CH的面積= 5x6-yXlX3-yX3X5yX4X6 WWW=9故答案為：9.【點睛】本題主要考查的是勾股定理、軸對稱圖形的性質(zhì)，將三角形GEH的面積轉(zhuǎn)化為一個矩形與三個 直角三角形的面積的差是解題的關(guān)鍵.【考點7等腰三角形的判定】【方法點撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊”牢記：(1)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；(2)判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。【例71 (2019春?深圳期中)如圖， DE/BC, CG

51、 = GB, / 1=/2,求證： DGE是等腰三角形.【分析】根據(jù)已知條件，容易得出 ADE, 4ABC都是等腰三角形，則G為等腰 ABC底邊BC的中點,為此連接AG,由等腰三角形的軸對稱性質(zhì)，得出結(jié)果【答案】解：連接AG, DE / BC, ./ ABC = / 1, / ACB = Z 2.又,一/ 1 = 7 2, ./ ABC = / ACB.又 G為BC中點， AGXBC. AGLDE 且平分 DE,DG = GE. .DGE是等腰三角形.【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線的知識點，解題要充分利用已知條件，聯(lián)系所學結(jié)論，靈活選用解法.【變式7-1（2018秋?雙陽區(qū)

52、校級期中）如圖，BD是4ABC的角平分線，DE/ BC,交AB于點E.求證: BED是等腰三角形.1c【分析】依據(jù)角平分線即可得到/EBD = Z DBG,依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到/EDB=Z DBG,進而得出/EBD = /EDB,由此可得 BED是等腰三角形.【答案】證明 BD是 ABC的角平分線， ./ EBD = Z DBG . DE / BC, ./ EDB = Z DBG . ./ EBD = Z EDB,ED = EB,. .BED是等腰三角形.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【變式7-2（2018秋?鳩江區(qū)期中）已

53、知：如圖， O為4ABG的/ BAG的角平分線上一點，/1 = 7 2,求證：4ABG是等腰三角形.ABC【分析】要證明三角形是等腰三角形，只需證明/ABG=Z AGB即可，只要/ 5=7 6,只要三角形全等即可，作出輔助線可證明三角形全等，于是答案可得.【答案】證明：作 OELAB于E, OF ± AG T F , AO 平分/ BAG, .OE = OF （角平分線上的點到角兩邊的距離相等）Z 1 = 7 2,.OB = OG. RtAOBERtAOGF (HL).1 + Z 5=Z 2+Z6.即/ ABC = Z ACB.AB= AC.【點睛】此題主要考查等腰三角形的判定及全等

54、三角形的判定及性質(zhì)；作出輔助線構(gòu)建全等的三角形是正確解答本題的關(guān)鍵.【變式7-3（2019秋?望謨縣期中）已知：如圖，銳角ABC的兩條高BD、CE相交于點O,且OB= OC .求證： ABC是等腰三角形.【分析】由OB=OC,即可求得/ OBC=Z OCB,又由，銳角 ABC的兩條高BD、CE相交于點O,根 據(jù)三角形的內(nèi)角和等于 180° ,即可證得 ABC是等腰三角形.【答案】證明：; OB=OC,OBC = Z OCB, 銳角 ABC的兩條高BD、CE相交于點 O, ./ BEC = Z CDB=90° , . / BEC+Z BCE + Z ABC=Z CDB + Z DBC+/ ACB= 180° , .180° - Z BEC- Z BCE = 180° - Z C