1、本章主要內容本章初步介紹傅里葉變換方法應用于通信系統本章初步介紹傅里葉變換方法應用于通信系統中的幾個主要方面中的幾個主要方面濾波、調制和抽樣濾波、調制和抽樣。系統函數系統函數H(j)及傅里葉變換分析法；及傅里葉變換分析法；包括無失真傳輸條件；包括無失真傳輸條件；理想低通濾波器模型；理想低通濾波器模型；系統的物理可實現條件；系統的物理可實現條件；調制解調的原理與實現；調制解調的原理與實現；帶通系統的運用；帶通系統的運用；抽樣信號的傳輸與恢復；抽樣信號的傳輸與恢復；頻分復用與時分復用。頻分復用與時分復用。則依卷積定理有則依卷積定理有 te tr E R th H)(j)(j)(j HER )(j)

2、(j)(j ERH 傅里葉變換形式的系統函數設設),()( Ete若若)(j E或或),()( Rtr)(j R或或),()( Hth)(j H或或對于穩定系統對于穩定系統 jj ssHH)(j)(j)(j eHH )()()(tethtr 頻率響應特性 d)()(j0 teh d)(00jj ehetteH0j0)(j ：系統的幅頻特性：系統的幅頻特性 )(jH )(：相頻特性：相頻特性 ,)( 0jtete 設激勵為設激勵為 則系統的零狀態響應為則系統的零狀態響應為)( te等于激勵等于激勵)(j0 H乘以加權函數乘以加權函數系統函數的物理意義系統可以看作是一個信號處理器系統可以看作是一個

3、信號處理器激勵激勵：E(j )響應：響應：H(j )E(j )(j)(j)(j eeEE )(j)(j)(j heHH )(j)(j)(j HER )()()( her 加權加權由由的幅度的幅度)()( HE 修正修正由由的相位的相位 E對于不同的頻率對于不同的頻率 ，有不同的加權作用，這也是信，有不同的加權作用，這也是信號分解，求響應再疊加的過程。號分解，求響應再疊加的過程。 對信號各頻率對信號各頻率分量進行加權分量進行加權5.2 利用系統函數求響應系統的頻響特性與系統的頻響特性與H(s)的關系的關系正弦信號激勵下的穩態響應正弦信號激勵下的穩態響應非周期信號激勵下系統的響應非周期信號激勵下系

4、統的響應一系統的頻響特性與H(s)的關系 在虛軸上有極點不同。在虛軸上有極點不同。當當極點：極點：在虛軸上及右半平面無在虛軸上及右半平面無當當)(j )(jsHsHHthFsHs ti tvC )()(thtvt即即時，求出時，求出當輸入為當輸入為 ttuCttiCtvth)(1d)(1)()( j1)()(j1)()(thFHsthLsH例：例：二正弦信號激勵下系統的穩態響應 理效果。理效果。代表了系統對信號的處代表了系統對信號的處。加權，相移加權，相移頻率的信號，幅度由頻率的信號，幅度由與激勵同與激勵同作為激勵的穩態響應為作為激勵的穩態響應為正弦信號正弦信號 jjsin000HHt )(s

5、in)(000 tH，系統的頻率響應為系統的頻率響應為設激勵信號為設激勵信號為)(j0)()( ,sin eHHt 則系統的則系統的穩態響應穩態響應為為三非周期信號的響應 傅氏分析從頻譜改變的觀點說明激勵與響應波形的差傅氏分析從頻譜改變的觀點說明激勵與響應波形的差 異，系統對信號的加權作用改變了信號的頻譜，物理異，系統對信號的加權作用改變了信號的頻譜，物理概念清楚；概念清楚；用傅里葉分析法求解過程煩瑣，不如拉氏變換容易；用傅里葉分析法求解過程煩瑣，不如拉氏變換容易；引出引出H(j)重要意義在于研究信號傳輸的基本特性，重要意義在于研究信號傳輸的基本特性，簡歷濾波器的基本概念，并理解頻響特性的物理

6、意義，簡歷濾波器的基本概念，并理解頻響特性的物理意義，這些理論內容在信號傳輸和濾波器設計等實際問題中這些理論內容在信號傳輸和濾波器設計等實際問題中具有十分重要的指導意義具有十分重要的指導意義。總結系統可以看作是一個信號處處理器：系統可以看作是一個信號處處理器： ， 是一個加權函數，是一個加權函數， jH加權。加權。對信號各頻率分量進行對信號各頻率分量進行 )(j 加權，加權，信號的幅度由信號的幅度由 H 修正。修正。信號的相位由信號的相位由 對于不同的頻率對于不同的頻率 ，有不同的加權作用，這也是信，有不同的加權作用，這也是信號分解，求響應再疊加的過程。號分解，求響應再疊加的過程。 例5-2-

7、1211)(j H 1tg)( )632sin(51 t:3sin t)723sin(101 t解：解：)45sin(21 t ? 3sin,2sin,sin j11j為多少為多少時的輸出時的輸出當輸入分別為當輸入分別為若若tttH :sint:2sin t例5-2-2 )(1tv)(2tvRC11 22 00 Cv 。端電壓端電壓利用傅里葉分析方法求利用傅里葉分析方法求，加入矩形脈沖加入矩形脈沖電路，在輸入端電路，在輸入端下圖所示下圖所示tvtvRC212211 EOt )(1tv分析：分析： jssHteFthjHjEjHjR jRFtr1 解: RCsRCsCRsCsH1111 jjH

8、1的傅里葉變換式為的傅里葉變換式為激勵信號激勵信號tv jjejEeEjV 12Sa21 的傅式變換的傅式變換響應響應tv2 222122SajjejVeEjjVjHjV jsRC1令令求v2(t) jejEjjv 12 jejjE 111 jjejEejE 11 tuetueEtutuEtvtt2 tueEtueEtt11波形及頻譜圖波形及頻譜圖波形及頻譜圖 )(1tv)(2tvRC11 22 EOt )(1tvO jHO j1V EO j2V122 EOt )(2tv說明；功率帶寬為功率帶寬為系統具有低通特性，半系統具有低通特性，半 波形變圓滑。波形變圓滑。以指數規律上升和下降以指數規律上

9、升和下降經低通后經低通后高頻成分高頻成分急劇下降，蘊含著急劇下降，蘊含著急劇上升，急劇上升，輸入信號在輸入信號在,.0 tt.1下降時間就要縮短下降時間就要縮短上升，上升，分量通過，響應波形的分量通過，響應波形的增加，允許更高的頻率增加，允許更高的頻率，即帶寬，即帶寬稱為時間常數，稱為時間常數， RCRCRC失真失真無失真傳輸條件無失真傳輸條件利用利用失真失真波形形成波形形成一失真線性系統引起的信號失真由兩方面的因素造成線性系統引起的信號失真由兩方面的因素造成幅度失真：各頻率分量幅度產生不同程度的衰減；幅度失真：各頻率分量幅度產生不同程度的衰減；相位失真：各頻率分量產生的相移不與頻率成正比，相

10、位失真：各頻率分量產生的相移不與頻率成正比，使響應的各頻率分量在時間軸上的相對位置產生變化。使響應的各頻率分量在時間軸上的相對位置產生變化。 信號經系統傳輸，要受到系統函數信號經系統傳輸，要受到系統函數 的加權，輸出的加權，輸出波形發生了變化，與輸入波形不同，則產生失真。波形發生了變化，與輸入波形不同，則產生失真。 jH線性系統的失真線性系統的失真幅度，相位變化，不產生新的頻幅度，相位變化，不產生新的頻率成分；率成分；非線性系統產生非線性失真非線性系統產生非線性失真產生新的頻率成分。產生新的頻率成分。 對系統的不同用途有不同的要求：對系統的不同用途有不同的要求：無失真傳輸；無失真傳輸；利用失真

11、利用失真波形變換。波形變換。二無失真傳輸條件幅度可以比例增加幅度可以比例增加可以有時移可以有時移波形形狀不變波形形狀不變h(t) te tr trot0t teot)()()( jHjEjR )()(0ttKetr 0)()(tjejKEjR 0)()()(tjKejEjRjH ),()( jHth已知系統已知系統 te 若激勵為若激勵為 tr 響應為響應為時不失真時不失真那么那么)()(0ttKetr 0)(:tKjH 即即頻譜圖幾點認識：幾點認識：要求幅度為與頻率無關的常數要求幅度為與頻率無關的常數K，系統的通頻帶為，系統的通頻帶為無限寬。無限寬。相位特性與相位特性與 成正比，是一條過原點

12、的負斜率直線。成正比，是一條過原點的負斜率直線。 不失真的線性系統其沖激響應也是沖激函數。不失真的線性系統其沖激響應也是沖激函數。 O jH KO 0t 相位特性為什么與頻率成正比關系？ thttKKejHtj 00)( 只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的遲只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的遲延時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。延時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。 延遲時間延遲時間t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率： 0ddt 群時延群時延或稱群延時或稱群延時 dd 在滿足信號傳輸不產生相位失真的情在滿足信號傳輸不產生相位失真的情況下，系統的群時延特性應為常數

13、。況下，系統的群時延特性應為常數。 例 信號傳輸后失真信號傳輸后失真此系統不滿足此系統不滿足0ddt tsintOtOt 2sintOtt2sinsin 2sin ttOtO 32sin ttO 32sin2sin tt輸入輸入輸出輸出總結系統的無失真傳輸條件系統的無失真傳輸條件)()(:0ttKth 時域時域0)( :tjKejH 頻域頻域0)(,)(tKjH 即即均為實常數均為實常數和和0tK理想低通的頻率特性理想低通的頻率特性理想低通的沖激響應理想低通的沖激響應理想低通的階躍響應理想低通的階躍響應理想低通對矩形脈沖的響應理想低通對矩形脈沖的響應 ccteH 01j0j一理想低通的頻率特性

14、C C O )(j H1C C O )( 的低頻段內，傳輸信號無失真的低頻段內，傳輸信號無失真 ( ) 。c 0在在0 t只有時移只有時移 為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡稱頻帶。稱頻帶。 C 0t 即：即： ccH 01j)(j)( Hth d)(j21)(j)(j1teHHFth CCccttttette 00j0)(jj121d121二理想低通的沖激響應 ccttee d121jj0 00jj02111ttttCCeejtt 00sinttttccc 0Sattcc )(tht0tc C 0Sattthcc 波形t 1 t 1 1比較輸

15、入輸出，可見嚴重失真；比較輸入輸出，可見嚴重失真；2 2理想低通濾波器是個物理不可實現的非因果系統理想低通濾波器是個物理不可實現的非因果系統幾點認識 當當 經過理想低通時，經過理想低通時， 以上的頻率成分都衰以上的頻率成分都衰 減為減為0，所以失真。，所以失真。 t c 信號頻帶無限寬信號頻帶無限寬， 1t 而理想低通的通頻帶而理想低通的通頻帶( (系統頻帶系統頻帶) )有限的有限的 c 0時，時，當當 c )()(tth 原因：從原因：從h(t)看，看，t0時已有值。時已有值。 ccteHth 01j)(0j 0jj1teR )(cc CCtteeRFtr dj1)(21)()(jj10三理

16、想低通的階躍響應 dj21d2100jj ccccttttee dsin222100 ctt 0ttx 令令 xxxttcdsin12100 激勵激勵 j1)()( t=ute系統系統響應響應)()()(thtutr xxsinx1O 2 3 4 ySiyO2 2 1. 下限為下限為0；2. 奇偶性：奇函數。奇偶性：奇函數。正弦積分 yxxxy0dsin=)Si(3 . 最大值出現在最大值出現在 最小值出現在最小值出現在 x x 0Si121tttrC 階躍響應波形tO tu1 trtO210trtC C 2階躍響應的上升時間階躍響應的上升時間tr 與網絡的截止頻率與網絡的截止頻率B（帶寬）（

17、帶寬） 成反比成反比 。 1 rtBBtCr12 CCfB 2B B是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。幾點認識1 trtO210trtC C 1 1上升時間：輸出由最小值到最大值所經歷的時間，上升時間：輸出由最小值到最大值所經歷的時間， ： rt 記作記作ct 0最大值位置：最大值位置：ct 0最小值位置：最小值位置： 0為系統延遲時間為系統延遲時間t)()()(1 tutute四理想低通對矩形脈沖的響應 )(Si )(Si1)(001 tttttrCCt te1O tr1t0t 0t20 tO121吉伯斯現象吉伯斯現象 ：跳變點有：跳變

18、點有9%9%的上沖。的上沖。（例如：升余弦類型）（例如：升余弦類型）21 1 時，才有如圖示，近似矩形脈沖的響時，才有如圖示，近似矩形脈沖的響 Crt21應。如果應。如果 過窄或過窄或 過小，則響應波形上升與下降時過小，則響應波形上升與下降時間連在一起完全失去了激勵信號的脈沖形象。間連在一起完全失去了激勵信號的脈沖形象。 C 討論 5.5 系統的物理可實現性佩利維納準則一種可實現的低通一種可實現的低通佩利維納準則佩利維納準則二佩利維納準則物理可實現的網絡物理可實現的網絡 滿足平方可積條件滿足平方可積條件頻率特性頻率特性因果條件因果條件時域特性時域特性 jHjHtuthth d )()()( 2

19、 佩利維納準則佩利維納準則系統可實現的必要條件系統可實現的必要條件 d1)(jln2H調制原理調制原理調幅、抑制載波調幅及其解調波形調幅、抑制載波調幅及其解調波形在通信系統中，信號從發射端傳輸到接收端，為實現在通信系統中，信號從發射端傳輸到接收端，為實現信號的傳輸，往往要進行調制和解調：信號的傳輸，往往要進行調制和解調：高頻信號容易以電磁波形式輻射出去高頻信號容易以電磁波形式輻射出去多路信號的傳輸多路信號的傳輸頻分復用頻分復用相關課程中講解相關課程中講解“調制與解調調制與解調”的側重點不同：的側重點不同：“信號與系統信號與系統”應用傅里葉變換的性質說明搬應用傅里葉變換的性質說明搬移信號頻譜的原

20、理；移信號頻譜的原理；“通信原理通信原理” 研究不同的調制方式對系統性研究不同的調制方式對系統性能的影響；能的影響；“通信電子電路通信電子電路”調制解調電路的分析。調制解調電路的分析。一調制原理說明率以縮小天線尺寸。率以縮小天線尺寸。必須盡量提高信號的頻必須盡量提高信號的頻天線尺寸天線尺寸波長約為波長約為以語音信號為例以語音信號為例為被輻射信號的波長為被輻射信號的波長天線的尺寸天線的尺寸根據電磁波理論根據電磁波理論30km 300km 101 1調制調制：將信號的頻譜搬移到任何所需的較高頻段調制：將信號的頻譜搬移到任何所需的較高頻段上的過程。上的過程。調制的分類調制的分類按載波按載波正弦型信號作為載波正弦型信號作為載波脈沖串或一組數字信號作為載波脈沖串或一組數字信號作為載波連續性連續性模擬（連續）調制模擬（連續）調制數字