1、第一章 時(shí)間序列本章目錄本章目錄時(shí)間序列的分解平穩(wěn)序列線(xiàn)性平穩(wěn)序列和線(xiàn)性濾波正態(tài)時(shí)間序列和隨機(jī)變量的收斂性嚴(yán)平穩(wěn)序列及其遍歷性Hilbert空間中的平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列的譜函數(shù)離散譜序列及其周期性1.1 1.1 時(shí)間序列的分解時(shí)間序列的分解一.時(shí)間序列的定義： 時(shí)間序列：按時(shí)間次序排列的隨機(jī)變量序列。 觀測(cè)樣本：隨機(jī)序列各隨機(jī)變量的觀測(cè)樣本。 個(gè)有序觀 測(cè)值 一次實(shí)現(xiàn)或一條軌道：時(shí)間序列的一組實(shí)際觀測(cè)。 時(shí)間序列分析的任務(wù)：數(shù)學(xué)建模，解釋、控制或預(yù)報(bào)。 12,XX1,23,nx xxxn二.時(shí)間序列的分解, 2 , 1, tRSTXtttt 趨勢(shì)項(xiàng) ，季節(jié)項(xiàng) ，隨機(jī)項(xiàng)注：1.單周期季節(jié)項(xiàng)： 只需要

2、 且可設(shè) 2.隨機(jī)項(xiàng)：可設(shè) 3.tTtStR()( ),S tsS tt1 ,2,SSSS10sjjS0,tERttsttttttXT SRXTS R例：某城市居民季度用煤消耗量分解方法: 1.趨勢(shì)項(xiàng)估計(jì) （1）分段趨勢(shì)(年平均)（2）線(xiàn)性回歸擬合直線(xiàn)（3）二次曲線(xiàn)回歸（4）滑動(dòng)平均估計(jì)tT2.估計(jì)趨勢(shì)項(xiàng)后,所得數(shù)據(jù)由季節(jié)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)組成, 季節(jié)項(xiàng)估計(jì)可由該數(shù)據(jù)的每個(gè)季節(jié)平均而得.3. 隨機(jī)項(xiàng)估計(jì)即為tS方法一：分段趨勢(shì)法方法一：分段趨勢(shì)法1 趨勢(shì)項(xiàng)（年平均）ttTX 減去趨勢(shì)項(xiàng)后,所得數(shù)據(jù)ttTX 2 2、季節(jié)項(xiàng)、季節(jié)項(xiàng)tS3.3.隨機(jī)項(xiàng)的估計(jì)隨機(jī)項(xiàng)的估計(jì) .24, 2 , 1,tSTxRtt

3、tt方法二：回歸直線(xiàn)法方法二：回歸直線(xiàn)法一、趨勢(shì)項(xiàng)估計(jì) 一元線(xiàn)性回歸模型 最小二乘估計(jì)為 可得到 .24, 2 , 1,9 .211 .5780ttTt2421111,),(.24, 2 , 1,21YxxxXtbtaxTttYXYYbaTT1)(), (1. 直線(xiàn)趨勢(shì)項(xiàng)消去趨勢(shì)項(xiàng)后消去趨勢(shì)項(xiàng)后, ,所得數(shù)據(jù)所得數(shù)據(jù)ttTX 2 2、季節(jié)項(xiàng)估、季節(jié)項(xiàng)估 為為24, 2 , 1,tSt3. 3. 隨機(jī)項(xiàng)估計(jì)為隨機(jī)項(xiàng)估計(jì)為.24, 2 , 1,tSTxRtttt方法三：方法三： 二次曲線(xiàn)法二次曲線(xiàn)法YXYYcbaTT1)(),(26 . 10 .175 .5948ttxt24, 2 , 1,2tc

4、tbtaxtt1. 1. 二次項(xiàng)估計(jì)（趨勢(shì)項(xiàng)）二次項(xiàng)估計(jì)（趨勢(shì)項(xiàng)）數(shù)據(jù)和二次趨勢(shì)項(xiàng)估計(jì)數(shù)據(jù)和二次趨勢(shì)項(xiàng)估計(jì)2. 2. 季節(jié)項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng)季節(jié)項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng) 例二、美國(guó)罷工數(shù)（例二、美國(guó)罷工數(shù)（51-8051-80年年) )（滑動(dòng)平均法）（滑動(dòng)平均法）051015202530300035004000450050005500600065001. 1. 趨勢(shì)項(xiàng)（趨勢(shì)項(xiàng)（5 5項(xiàng)平均）項(xiàng)平均）2.2.季節(jié)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)季節(jié)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)051015202530-1000-800-600-400-2000200400600800例三、化學(xué)溶液濃度變化數(shù)據(jù)例三、化學(xué)溶液濃度變化數(shù)據(jù)02040608010012014016

5、01802001616.51717.51818.5020406080100120140160180200-1-0.500.511.5一階差分1,2197tttyxxt 三 時(shí)間序列和隨機(jī)過(guò)程 設(shè) 是實(shí)數(shù) 的子集，如果對(duì)每個(gè)t屬于T，都有一個(gè)隨機(jī)變量 與之對(duì)應(yīng)，就稱(chēng)隨機(jī)變量的集合 是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 當(dāng)T是全體整數(shù)或全體非負(fù)整數(shù)時(shí)，稱(chēng)相應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)序列。 把隨機(jī)序列的指標(biāo)集合T看成時(shí)間指標(biāo)時(shí)，這個(gè)隨機(jī)過(guò)程就是時(shí)間序列。 當(dāng)T是全體實(shí)數(shù)或全體非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，相應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為連續(xù)時(shí)隨機(jī)過(guò)程。 如果把T認(rèn)為時(shí)間指標(biāo)，連續(xù)是的隨機(jī)過(guò)程就是連續(xù)的時(shí)間序列。 (,)R tX,ttXX t1.2 1.2 平

6、穩(wěn)序列平穩(wěn)序列一 平穩(wěn)序列 定義 如果時(shí)間序列 滿(mǎn)足 （1） 對(duì)任何的 （2） 對(duì)任何的 （3） 對(duì)任何的 就稱(chēng)是 平穩(wěn)時(shí)間序列，簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)間序列。稱(chēng)實(shí)數(shù) 為 的自協(xié)方差函數(shù)。 平穩(wěn)序列中隨機(jī)變量 的均值為 ，方差為 都是和t無(wú)關(guān)的常數(shù)。 協(xié)方差結(jié)構(gòu)的平移不變性是平穩(wěn)序列的特性，所以平穩(wěn)序列是二階矩平穩(wěn)序列。:ttXXtN2,ttN EX ,ttN EX, ()()tst st sN E XXtXtX ttXtEX2var()()ttXE X自協(xié)方差函數(shù)滿(mǎn)足以下三條性質(zhì)：（1）對(duì)稱(chēng)性： 對(duì)所有的K成立。（2）非負(fù)定性：對(duì)任何的 ，n階自協(xié)方差矩陣 是非負(fù)定的矩陣。（3）有界性： 對(duì)所有的k成立。

7、滿(mǎn)足上述性質(zhì)的實(shí)數(shù)列都稱(chēng)為非負(fù)定序列。kknN011122, 1120()nnnnk j k jnn 0k下面證明這些性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)性由定義直接得到。 為證明非負(fù)性，任取一個(gè) 維實(shí)向量 Tnaaa),(21n0 )()(211111 niiininjjijininjjijinTXaEXXaaEaa22()E XYEX EY為證明有界性，我們先介紹一個(gè)常用的不等式.引理 (Schwarz不等式） 對(duì)任何方差有限的隨機(jī)變量X和Y,有證明 不妨設(shè) ,關(guān)于a的一元 于是，判別式 取 時(shí)，有界性有Schwarz不等式得到： 20EX222()2 ()()0E XaE XYEYE aXY22224( ()40

8、E XEX EYtYtX221 1110()kKkE YYEYEY線(xiàn)性相關(guān)性定義： 自協(xié)方差矩陣退化的充分必要條件是存在非零的n維實(shí)向量 使得 這時(shí)我們稱(chēng)隨機(jī)變量是線(xiàn)性相關(guān)的。 Tnaaa),(211var()0niiia X自相關(guān)系數(shù) 定義：設(shè)平穩(wěn)序列 是標(biāo)準(zhǔn)化的序列 ， 的自協(xié)方 差函數(shù) 稱(chēng)為平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)。 tX tY tY0/,kkkZ二.白噪聲最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列是白噪聲，它在時(shí)間序列分析中有特殊的重要地位。定義（白噪聲） 設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)序列，如果對(duì)任意的稱(chēng) 是一個(gè)白噪聲，記做 當(dāng) 是獨(dú)立序列時(shí)，稱(chēng) 是獨(dú)立白噪聲； 當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)為零均值白噪聲； 當(dāng) 稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)白噪聲。 t, s tN2

9、,cov()0,ttstsEts t2( ,)WN t t020,1例2.3 Poisson過(guò)程和Poisson白噪聲如果連續(xù)時(shí)的隨機(jī)過(guò)程滿(mǎn)足（1） ，且對(duì)任何的ts0和非負(fù)整數(shù)k，（2）N(t)有獨(dú)立增量性：對(duì)任何n1和 隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，則稱(chēng)N(t)是一個(gè)強(qiáng)度為的Poisson過(guò)程。 數(shù)學(xué)期望和方差分別為 (0)0N( ()( )( )exp(),!ktsP N tN sktsk其中 是正數(shù)010nttt1( )(),1,2,3,jjN tN tjn( ),var( )E N ttN ttPoisson白噪聲定義：滿(mǎn)足上面三個(gè)條件稱(chēng)為Poisson白噪聲。 ave 表示的樣本均值，std

10、表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。下面的例子是Poisson白噪聲的60個(gè)樣本。 (1),1,2,nN nN nn（10(2)var(3) nnnE（）是一個(gè)獨(dú)立的白噪聲Poisson白噪聲的60樣本的產(chǎn)生1. 隨機(jī)產(chǎn)生服從(0,1)上均勻的200個(gè)樣本:2. 給出服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的200個(gè)獨(dú)立樣本;3. 給出參數(shù)為1的Poisson過(guò)程一條樣本軌道在i=1,61上的取值；參數(shù)為1的Poisson白噪聲的60個(gè)樣本I0102030405060-1-0.500.511.522.533.54樣本II0102030405060-1-0.500.511.52標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲的60個(gè)樣本: A=randn(1,60

11、)；plot(A) 三.正交平穩(wěn)序列 設(shè)X和Y是方差有限的隨機(jī)變量，如果E(XY)=0，就稱(chēng)X和Y是正交的，如果c o v(X,Y）=0，就稱(chēng)X和Y是不相關(guān)的。 定義 對(duì)于平穩(wěn)序列 和 ， （1） 如果對(duì)任何的 s, t Z, ，則稱(chēng) 和 是正交的； （2 ）如果對(duì)任何的 s, t Z， ，則稱(chēng) 和 是不相關(guān)的。定理2.2 設(shè) 和 分別是平穩(wěn)序列 和 的自協(xié)方差函數(shù)， 記 定義 tXt Y()0tsE XY tXt Ycov()0tsX YtXt Y( )Xk( )YktXt YxtytEXEY和t,ttZXY tZ（1）如果 和 正交，則 是平穩(wěn)序列，有自協(xié)方差函數(shù) （2）如果 和 不相關(guān)，

12、則 是平穩(wěn)序列，有自協(xié)方差函數(shù) 證明：（1）當(dāng) 和 正交，利用cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)得到 （2）由上面的推導(dǎo) 得到。 tXtXt Yt YtZtZ( )( )( )2,0,1,2,ZXYXYkkkk ( )( )( ),0,1,2,ZXYkkk ktXt Ycov(,)ov(,)cov(,)cov( ,)cov(,)cov( ,)()()()()2tstssttstststsXYtstsXYXYZ ZcXY XYXXY YX YY XtstsEX EYEY EXtsts cov(,)cov( ,)0tstsX YY X1.3 線(xiàn)性平穩(wěn)序列和線(xiàn)性濾波一.有限運(yùn)動(dòng)平均 定義

13、： 設(shè) 是WN(O, )，對(duì)于非負(fù)整數(shù)q和常數(shù)a0,a1,aq,我們稱(chēng) 是白噪聲 的（有限）運(yùn)動(dòng)平均，簡(jiǎn)稱(chēng)為MA，運(yùn)動(dòng)平均又稱(chēng) 滑動(dòng)平均。 MA的平穩(wěn)性 :tttZ20110,qtjtjttqt qjXaaaatZ t200,00,tq kjj kjt kttEXa akqEXXkqX平穩(wěn))2 , 0(,*85. 0*36. 0221WNXttttt0102030405060708090100-8-6-4-202468例：概率極限定理： 定理 （單調(diào)收斂定理） 如果非負(fù)隨機(jī)變量序列單調(diào)不減： 則當(dāng) 時(shí)，有對(duì)于任何時(shí)間序列 ，利用單調(diào)收斂定理得到 定理 （控制收斂定理）如果隨機(jī)變量序列 滿(mǎn)足 和

14、 時(shí)，則當(dāng) 時(shí)， 并且 120,naslimnnEElim ntttnttntEYEYE Yt Y,nas n0. .nas0E E nEE二. 線(xiàn)性平穩(wěn)序列定義：如果實(shí)數(shù)列 滿(mǎn)足 則稱(chēng) 是絕對(duì)可和的。對(duì)于絕對(duì)可和的實(shí)數(shù)列 ，定義零均值白噪聲 的無(wú)窮滑動(dòng)和如下 ，則 是平穩(wěn)序列。下面說(shuō)明 是平穩(wěn)序列。 由 Schwarz不等式得到于是Xt右邊的無(wú)窮級(jí)數(shù)是a.s.絕對(duì)收斂的，從而是a.s.收斂的。 由于 所以用控制收斂定理得到 現(xiàn)對(duì)t,s Z，定義 jajja ja tja,tjtjjXatZtXtXjtjjtjjjjjEaa Ea njtjjtjjnjaalim 0njtjnjnEXEatXt

15、X,nnnjtjnks knnjnknnnjktjs kjkaaVa a ts,則X X a.s.,并且利用公式可以知道 所以由控制收斂定理得到這就說(shuō)明了 是平穩(wěn)序列 22jktjs kjjkjEVa a Ea 2()()lim()lim()nntsnnjktjs knnjn jnjjt sjE X XEa a Ea a tX證明：當(dāng) 時(shí). 02|2/|2/12222/|2/12222/|2/12222/|2/|222kjkjjjkjjjjkjkjjjkjkjkjjkjjjkjjkaaaaaaaaaaaak定理：設(shè) 是WN(0， ),實(shí)數(shù)列 平方可和，線(xiàn)性平穩(wěn)序列 由上述 定義，則自協(xié)方差函數(shù)

16、 t2jatX三.時(shí)間序列的線(xiàn)性濾波 對(duì)序列 進(jìn)行滑動(dòng)求和：稱(chēng)為對(duì) 進(jìn)行線(xiàn)性濾波。其中決定可和的 稱(chēng)為一個(gè)保時(shí)線(xiàn)性濾波器。 如果輸入信號(hào) 是平穩(wěn)列則輸出 也是平穩(wěn)列。期望協(xié)方差函數(shù)tXtX,tjtjjYh XtZ jhtXt Y1111,( )cov(,)()()Ynjknjkj kjkn kjj knYYh h E XXh h =YtjtjXjjjEYh EXh例3.1 余弦波信號(hào)的濾波cos(),(,2 ), ttttttXSbtUtZUUU零均值平穩(wěn)，與獨(dú)立。信號(hào)St方差 ，噪聲方差 ，信噪比2/2b222/(2)b0102030405060708090100-2-1012345678注

17、：)2/sin()2/sin()2/sin(21)2/sin()cos()cos()cos()(cos(MjjjUtjbUjtbMjMjMjMjMjMjMjMj121sin(0.5)cos()(21)sin(/ 2)MttjjMtYXMbMtUM0102030405060708090100-4-3-2-1012341.4 正態(tài)時(shí)間序列和隨機(jī)變量的收斂性隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望和方差 矩陣隨機(jī)向量 期望 隨機(jī)向量 ，則X的協(xié)方差矩陣 協(xié)方差矩陣的計(jì)算公式 隨機(jī)向量線(xiàn)性變換 ,()i jm nXX,()()i ji jEXEX12(,)TnXXXX,cov(,)()() ()TXi jX XE XXco

18、v(,)()() ()() ()TTTXX XE XXE XXE X E X,( )TXYaBXEYaBEX Var YBB則如果存在m維常數(shù)列向量，mn常數(shù)矩陣B和iid的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量 使得Y= +BX,則稱(chēng)隨機(jī)變量 服從m維正態(tài)分布。這時(shí)EY= , =Var(Y)= Y的特征函數(shù)為 這是多維正態(tài)分布的等價(jià)定義。 記YN(, ) 12,nXXX12( ,)nYY YYTBB1( )exp2TTYtittt多維正態(tài)分布的充要條件定理 4.1 的充要條件是對(duì)任何 12=(,) ( , )TnN 12a=(a ,),(,)TnTTTnaaRYaN aaa有二.正條平穩(wěn)序列 定義：對(duì)于時(shí)間序列

19、，如果對(duì)任何n 1和 有 服從多元正態(tài)分布，則稱(chēng) 為正態(tài)時(shí)間序列 特別當(dāng) 還是平穩(wěn)序列時(shí)，又稱(chēng)為正態(tài)平穩(wěn)序列。 tXtXtX12, ,nt ttZ12( ),( ),( )nX tX tX t正態(tài)序列收斂定理定理4.3 如果正態(tài)序列 ,依分布收斂到隨機(jī)變量 則定理4.4 如果 服從WN(0， )，實(shí)數(shù)列絕對(duì)可和，則有 定義的平穩(wěn)序列時(shí)零均值正態(tài)序列，自協(xié)方差函數(shù)(3.5)給出。 證明：下證為正態(tài)序列，先證對(duì)任何 ,有其中 ,nnN (,var( ),var()var( )nnN EEE）并且 t2,jtjjXatZNm)9 . 4(), 0(),(21mTmNXXXXjijjimmkjmaa2

20、,)(對(duì)任何 , 定義則有當(dāng) 時(shí), 有 Tmbbbb),(21n0|)(|kkXnE0|)(|)(|)(|11mkkkkmkkkknnXbEnXbEYE11()mTkkkmnkkkYbXb Xbn由定理4.2, 得到 依分布收斂到 ，則 從而由 和定理4.1得到(4.9).用同樣方法可以證明: 對(duì)任何 有其中 .定理4.4成立.Yn).,(VarYEYNYbbVarYEYmT , 0Nl)10. 4(), 0(),(21mTlmllNXXXXjijjimmkjmaa2,)(1.5 嚴(yán)平穩(wěn)序列及其遍歷性 定義：設(shè) 是時(shí)間序列。如果對(duì)任意正整數(shù)n和k，隨機(jī)變量同分布，就稱(chēng) 是嚴(yán)平穩(wěn)序列。特征是分布

21、平移不變 性：對(duì)任何固定的k，時(shí)間序列 和 同分布。嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關(guān)系：1.二階矩有限的嚴(yán)平穩(wěn)為寬平穩(wěn)。 2.寬平穩(wěn)一般不是嚴(yán)平穩(wěn)。 3.正態(tài)平穩(wěn)列既是寬平穩(wěn)也是嚴(yán)平穩(wěn)。 4.平穩(wěn)序列 到 寬平穩(wěn)序列 到 弱平穩(wěn)序列。 5.嚴(yán)平穩(wěn)序列到強(qiáng)平穩(wěn)序列。 :tXtN:tXtN121(,)TnkXXXT2+kn+k和(Y,Y,Y):tXtN:t kXtN遍歷性：1.時(shí)間序列一般只是一條軌道。 2.要用時(shí)間序列 的一次實(shí)現(xiàn)推斷 的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。 遍歷性可以保證從一條軌道可以推斷整體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。 如果嚴(yán)平穩(wěn)序列是遍歷的，從他的一次實(shí)現(xiàn)就可以推斷出這個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)的所有有限維分布:有遍歷的嚴(yán)平穩(wěn)序列被稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)遍歷

22、序列。tXtX121122( ,)(,),nnnF x xxP Xx XxXxmN嚴(yán)平穩(wěn)序列定理定理5.1 如果 是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列，則有如下的結(jié)果： （1）強(qiáng)大數(shù)律：如果 則 （2）對(duì)任何多元函數(shù) 是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列. 下面的定理在判斷線(xiàn)性平穩(wěn)序列的遍歷性時(shí)時(shí)十分有用的。定理5.2 如果 是獨(dú)立同分布的WN(0, )實(shí)數(shù)列 平方可和, 則線(xiàn)性平穩(wěn)序列 是嚴(yán)平穩(wěn)序列的。tX1E X 111lim, . .ntntXEX a sn1212( ,),(,)mtttt mx xxYXXX ,jtjjXatZja t21.6 Hilbert 空間中的平穩(wěn)序列Hilbert空間 設(shè) 是平穩(wěn)序列，令所以 是一

23、個(gè)線(xiàn)性空間。 tX21()( )|,1,kjjjjjL Xa X taR tZjk kN22222, ,(), ,1(),()()(2)0(),0,()0()(3) ()(),(), ()()X Y ZL Xa bRXYYXL XXYZXYZL XXX XXL Xa XYaXbYL Xab XaXbY a bXab X 有（）2()L X在線(xiàn)性空間上定義內(nèi)積， 則有所以 是內(nèi)積空間，在任何內(nèi)積空間中都有Schwarz不等式令距離 則有 ,()X YE XY ,=,X YY XaXbY Za X Zb Y Z ,0,00X XX XX 并且當(dāng)且僅當(dāng)，a.s.2()L X12,X YX XY Y

24、12(,)XYXY XY 0=0, . .XYYXXYXY a s并且當(dāng)且僅當(dāng)三角不等式：這樣 又稱(chēng)為距離空間，不難看出在任意的內(nèi)積空間上都可以定義距離，是它自然成為距離空間。如果 也是內(nèi)積空間和距離空間， 是 的子空間。 定義6.1 對(duì) ： (1)如果 ,則稱(chēng) 在 中收斂到 （2)如果當(dāng) 時(shí)， 則稱(chēng) 是 中的基本列或Cauchy列。 XYXZZY2()L X2:LXEX 2()L X2L220,nLL0lim0nn2Ln0 n0nm,m n 2L完備的內(nèi)積空間：每個(gè)基本列都是極限在空間內(nèi)的內(nèi)積空間。 又稱(chēng)Hilbert空間。 是Hilbert空間。用 表示 中包含 的最小閉子空間則 是Hil

25、bert空間，稱(chēng)為由平穩(wěn)序列 生成的Hilbert空間。二.內(nèi)積的連續(xù)性 定理（內(nèi)積的連續(xù)性） 在內(nèi)積空間中，如果證明(1)由三角不等式得到。 2L2L2()L X2()LX2()LXtX0,0nn ，則有(1)(2),nnn nnnn和（2）有Schwarz不等式得到例： n維Hilbert空間 是線(xiàn)性空間，定義內(nèi)積 ，則為內(nèi)積空間。 是完備的內(nèi)積空間。 為歐氏模 ,nnnnnnnnnnn nRnR,Ta ba b Taaa例2 設(shè) 是零均值的平穩(wěn)列， ，則它的線(xiàn)性組合全 體構(gòu)成的內(nèi)積空間 是Hilbert空間稱(chēng)為有X生成的Hilbert空間。實(shí)際上， 是線(xiàn)性空 間和內(nèi)積空間下面我們來(lái)證明的

26、完備性。 證明：先設(shè) 是標(biāo)準(zhǔn)的白噪聲WN(0，1),對(duì)任何的線(xiàn)性組合 只要 由例1知道有 使得 當(dāng) 取 時(shí) 于是 是完備的tX12(,)TnXXXX1,:TnnnLsp XXa X aRnLtXTnna X2TTnmnma Xa X2Tnmnm=(a -a )(a -a )02nTnn=(a -a)(a -a)0naR0naaTa Xn nL 對(duì)一般的零均值的平穩(wěn)序列，可以設(shè)協(xié)方差陣 的秩是m, mn有非退化矩陣B使得Y=BX有協(xié)方差矩陣于是 且 為WN(0，1)的一段，由知道 為 線(xiàn)性組合，從而是完備的。三.復(fù)值時(shí)間序列 復(fù)隨機(jī)變量：如果X和Y 是隨機(jī)變量，稱(chēng)Z=X+iY是復(fù)隨機(jī)變量。 如果

27、EX和EY都存在，稱(chēng)Z=X+iY 的數(shù)學(xué)期存在,并且EZ=EX+iEY 二階矩有限的復(fù)隨機(jī)變量：如果 就稱(chēng)為Z的二階矩有限 隨機(jī)變量。 ()TE XX (1,1,1,0,0)TYB Bdiag 12( ,),0,0)mYY YY12,mY YY1XB Y12( ,)mY YYnL222E ZEXEY 按時(shí)間次序排列的復(fù)值隨機(jī)變量的序列 稱(chēng)為復(fù)時(shí)間序列。 如果復(fù)時(shí)間序列 滿(mǎn)足就稱(chēng) 是一個(gè)復(fù)值平穩(wěn)序列，稱(chēng) 是 的自協(xié)方差函數(shù)。 當(dāng) ，稱(chēng) 是一個(gè)復(fù)值零均值白噪聲。 nZnZnZnZnZ,()(), ,nn mnmEZE ZZn mZ k2, ,nmn mE Z Zn mZ 1.7 平穩(wěn)序列的譜函數(shù)1

28、.時(shí)域和頻域 遍歷的時(shí)間序列可以從延的時(shí)間分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，稱(chēng)為時(shí)域分析。 平穩(wěn)時(shí)間序列的二階性質(zhì)也可以從其頻率分解來(lái)研究，稱(chēng)為頻域分析。2.譜函數(shù)和譜密度 設(shè)平穩(wěn)序列 有自協(xié)方差函數(shù)（1）如果有-,上的單調(diào)不減右連續(xù)的函數(shù)F()使得 則稱(chēng)F()是 或 的譜分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為譜函數(shù)。（2）如果有-,上的非負(fù)函數(shù)f()使得 則稱(chēng)f()是 或 的譜密度函數(shù)或功率譜密度，簡(jiǎn)稱(chēng)為譜密度或 功率譜。 tXtXk( ),()0,ikkedFFkZtXk( ),ikkfedkZ譜函數(shù)和譜密度的關(guān)系 若 有譜函數(shù)f() ,則變上限的積分就是 的譜函數(shù)。當(dāng)譜函數(shù)F()絕對(duì)連續(xù)，它的幾乎處處導(dǎo)函數(shù)就是譜函數(shù)，特別，當(dāng)F()是連續(xù)函數(shù)，除去有限點(diǎn)外導(dǎo)函數(shù)存在且連續(xù)，則是譜密度。tXtX( )( )Ff s ds( ),( )( )0,( )FFfF當(dāng)存在當(dāng)不存在譜函數(shù)存在唯一性定理定理7.1 （Herglotz定理）平穩(wěn)序列的譜函數(shù)是唯一存在的。線(xiàn)性平穩(wěn)序列的譜密度定理7.2 如果 是WN(0， )實(shí)數(shù)列 平方可和，則線(xiàn)性平穩(wěn)序列 有譜密度,tjtjjXatZ22( )2ijjjfa eja t2兩正交序列的